專(zhuān)題升級(jí)訓(xùn)練 數(shù)列的求和及其綜合應(yīng)用 (時(shí)間:60分鐘滿(mǎn)分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)1.已知數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,則an的前5項(xiàng)和S5為()A.20B.30C.25D.40來(lái)源:2.(2013山東煙臺(tái)模擬,3)設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an,Sn為前n項(xiàng)和,且S10=10,S30=70,那么S40=()A.150B.-200C.150或-200D.400或-503.已知Sn是非零數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且Sn=2an-1,則S2 014等于()A.1-22 014B.22 014-1C.22 015-1D.22 0134.若數(shù)列an是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1>0,a1 003+a1 004>0,a1 003a1 004<0,則使數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是()A.2 005B.2 006C.2 007D.2 0085.設(shè)數(shù)列an是首項(xiàng)為1公比為4的等比數(shù)列,把a(bǔ)n中的每一項(xiàng)都減去3后,得到一個(gè)新數(shù)列bn,bn的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意的nN*,下列結(jié)論正確的是()A.4bn=bn+1且Sn=(4n-1)B.4bn-6=bn+1且Sn=(4n-1)C.4bn+9=bn+1且Sn=(4n-1)-3nD.4bn-9=bn+1且Sn=(4n-1)-3n6.(2013北京東城模擬,7)對(duì)于函數(shù)y=f(x),部分x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:x123456789y7458135來(lái)源:26數(shù)列xn滿(mǎn)足x1=2,且對(duì)任意nN*,點(diǎn)(xn,xn+1)都在函數(shù)y=f(x)的圖象上,則x1+x2+x3+x4+x2 012+x2 013的值為()A.9 394B.9 380C.9 396D.9 400二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)7.在等差數(shù)列an中,首項(xiàng)a1=0,公差d0,若ak=S6,則k的值為.8.已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=,且對(duì)任意的正整數(shù)m,n都有am+n=aman,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=.9.對(duì)于數(shù)列an,定義數(shù)列an+1-an為數(shù)列an的“差數(shù)列”,若a1=2,an的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n,則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=.三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)10.(本小題滿(mǎn)分15分)在數(shù)列an中,a1=,若函數(shù)f(x)=x3+1在點(diǎn)(1,f(1)處切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(an+1,an).(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式Sn.11.(本小題滿(mǎn)分15分)已知函數(shù)f(x)=,數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1,an+1=f,nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bn=(n2),b1=3,Sn=b1+b2+bn,若Sn<對(duì)一切nN*成立,求最小正整數(shù)m.12.(本小題滿(mǎn)分16分)(2013江蘇,19)設(shè)an是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d0),Sn是其前n項(xiàng)和.記bn=,nN*,其中c為實(shí)數(shù).(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Snk=n2Sk(k,nN*);(2)若bn是等差數(shù)列,證明:c=0.#一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)1.C2.A3.B解析:Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1(n2),兩式相減得an=2an-2an-1,即an=2an-1,數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列,由S1=2a1-1,得a1=1,S2 014=22 014-1.4.B解析:由a1>0,a1 003+a1 004>0,a1 003a1 004<0,可知數(shù)列an是遞減的等差數(shù)列,來(lái)源:a1 003>0,a1 004<0.又a1 003+a1 004=a1+a2 006>0,a1+a2 007=2a1 004<0,S2 006=>0,S2 007=2 007a1 004<0,最大自然數(shù)n是2 006.5.C解析:由已知得bn=4n-1-3,故有4bn+9=4(4n-1-3)+9=4n-3=bn+1,Sn=(1+4+42+4n-1)-3n=(4n-1)-3n.6.A解析:由題意得,x1=2,x2=4,x3=8,x4=2,數(shù)列的周期為3,故x1+x2+x3+x4+x2 012+x2 013=671(x1+x2+x3)=67114=9 394.來(lái)源:二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)7.168.2-解析:令m=1,則an+1=a1an,數(shù)列an是以a1=為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,Sn=2-.9.2n+1-2解析:an+1-an=2n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+22+2+2=+2=2n.Sn=2n+1-2.三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)10.解:(1)證明:因?yàn)閒(x)=3x2,所以切線(xiàn)的斜率為k=3,切點(diǎn)(1,2),切線(xiàn)方程為y-2=3(x-1)3x-y-1=0.又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(an+1,an),所以3an+1-an-1=0,即3an+1=an+1,所以3an+1-=an-3=an-,即數(shù)列為一等比數(shù)列,公比q=.(2)由(1)得為一公比為q=,首項(xiàng)為a1-的等比數(shù)列,則an-.an=,來(lái)源:Sn=.11.解:(1)an+1=f=an+,an是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.an=1+(n-1)n+.(3)當(dāng)n2時(shí),bn=,又b1=3=,Sn=b1+b2+bn=,Sn<對(duì)一切nN*成立,即對(duì)一切nN*成立.又,即m2 023.最小正整數(shù)m為2 023.12.解:證明由題設(shè),Sn=na+d.(1)由c=0,得bn=a+d.又因?yàn)閎1,b2,b4成等比數(shù)列,所以=b1b4,即=a,化簡(jiǎn)得d2-2ad=0.因?yàn)閐0,所以d=2a.因此,對(duì)于所有的mN*,有Sm=m2a.從而對(duì)于所有的k,nN*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.(2)設(shè)數(shù)列bn的公差是d1,則bn=b1+(n-1)d1,即=b1+(n-1)d1,nN*,代入Sn的表達(dá)式,整理得,對(duì)于所有的nN*,有n3+n2+cd1n=c(d1-b1).令A(yù)=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),則對(duì)于所有的nN*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*)在(*)式中分別取n=1,2,3,4,得A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,從而有由,得A=0,cd1=-5B,代入方程,得B=0,從而cd1=0.即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.若d1=0,則由d1-d=0,得d=0,與題設(shè)矛盾,所以d10.又因?yàn)閏d1=0,所以c=0.