精編北師大版數(shù)學(xué)資料 章末分層突破章末分層突破 自我校對(duì) sin2 cos2 1 sin cos tan C S2 T2 _ _ _ _ _ 三角函數(shù)式的求值問(wèn)題 三角函數(shù)式的求值主要有三種類(lèi)型：一是給角求值；二是給值求值；三是給值求角 1給角求值：這類(lèi)題目的解法相對(duì)簡(jiǎn)單，主要是利用所學(xué)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、 兩角和與差的正弦、 余弦、 正切公式及二倍角公式等，化非特殊角為特殊角，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中要注意上述公式的正用及逆用 2給值求值：這類(lèi)題目的解法較上類(lèi)題目靈活、多變，主要解答方法是利用三角恒等變形中的拆角變形及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，和、差、倍、半角公式的綜合應(yīng)用 由于此類(lèi)題目在解答過(guò)程中涉及的數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)思想相對(duì)較多，因此也是平時(shí)乃至高考考查的一個(gè)熱點(diǎn) 3給值求角：這類(lèi)問(wèn)題的解法規(guī)律是根據(jù)已知條件，求出該角的某種三角函數(shù)值，并根據(jù)條件判斷出所求角的范圍，然后確定角的大小，其難點(diǎn)在于有時(shí)不但要看角的三角函數(shù)值的符號(hào)，還要看其大小，以縮小角的范圍 已知 04， 04， 且 3sin sin(2)， 4tan 21tan22，求 的值 【精彩點(diǎn)撥】 因?yàn)?2()，()，由已知條件 3sin sin(2)，即可求得 tan() 【規(guī)范解答】 3sin sin(2)， 3sin()sin()， 即 2sin()cos 4cos()sin . tan()2tan . 又 4tan 21tan22， tan 2tan 21tan2212， tan()2tan 1. 又04，04， 4. 再練一題 1已知2x0，sin xcos x15. (1)求 sin 2x 和 cos xsin x 的值； (2)求sin 2x2sin2x1tan x的值 【解】 (1)由 sin xcos x15，平方得 1sin 2x125，所以 sin 2x2425.因?yàn)?xsin x， 所以 cos xsin x12sin xcos x75. (2)sin 2x2sin2x1tan x2sin xcos x2sin2x1sin xcos x 2sin xcos xsin xcos xsin xcos x sin 2xcos xsin xcos xsin x24251724175. 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，主要有以下幾類(lèi)：對(duì)三角的和式，基本思路是降冪、消項(xiàng)和逆用公式；對(duì)三角的分式，基本思路是分子與分母的約分和逆用公式，最終變成整式或較簡(jiǎn)式子；對(duì)二次根式，則需要運(yùn)用倍角公式的變形形式在具體過(guò)程中體現(xiàn)的則是化歸的思想， 是一個(gè)“化異為同”的過(guò)程， 涉及切弦互化，即“函數(shù)名”的“化同”； 角的變換， 即“單角化倍角”、 “單角化復(fù)角”、 “復(fù)角化復(fù)角”等具體手段以實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 化簡(jiǎn)： (1)2sin 130 sin 100 1 3tan 370 1cos 10； (2)cos4x sin4xcos4x sin4x. 【精彩點(diǎn)撥】 (1)把“切化弦”然后逆用和差公式及二倍角公式求解 (2)利用同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角和與差的正切公式化簡(jiǎn) 【規(guī)范解答】 (1)原式2sin 50 sin 80 1 3tan 10 2 cos 5 2sin 50 sin 80 cos 10 3sin 10cos 102cos 5 2sin 50 2sin 402cos 52sin 50 cos 50 2cos 5 2 2sin50 45 2cos 52. (2)原式1tan4x1tan 4xtan4tan4x1tan 4 tan4x tan44x tan x. 再練一題 2化簡(jiǎn) sin2 sin2cos2 cos212cos 2cos 2. 【解】 原式sin2sin2cos2cos212(2cos21) (2cos21) sin2sin2cos2cos212(4cos2cos22cos22cos21) sin2sin2cos2cos2cos2cos212 sin2sin2cos2(1cos2)cos212 sin2sin2cos2 sin2cos212 sin2(sin2cos2)cos212 sin2cos21211212. 三角恒等式的證明 三角恒等式的證明，就是運(yùn)用三角公式，通過(guò)適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q，消除三角恒等式兩端結(jié)構(gòu)上的差異，這些差異有以下幾個(gè)方面：角的差異；三角函數(shù)名稱(chēng)的差異；三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)形式上的差異針對(duì)上面的差異，選擇合適的方法進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化 證明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右歸一、恒等變形、分析法、綜合法 三角恒等式的證明可分為兩類(lèi)： 不附條件的三角恒等式的證明和附條件的三角恒等式的證明不附條件的三角恒等式的證明多用綜合法、分析法、恒等變形等附條件的三角恒等式的證明關(guān)鍵在于恰當(dāng)、合理地運(yùn)用條件，或通過(guò)變形觀察所給條件與要證等式之間的聯(lián)系，找到問(wèn)題的突破口，常用代入法或消元法證明 求證：sin 4x1cos 4xcos 2x1cos 2xcos x1cos xtan x2. 【精彩點(diǎn)撥】 等式兩邊涉及到的角有 4x,2x，x，x2等角，故可將左邊 4x,2x，x 化為x2的形式 【規(guī)范解答】 左邊2sin 2xcos 2x2cos22xcos 2x2cos2xcos x1cos x 2sin 2x cos22x cos x2cos22x 2cos2x 2cos2x2 sin 2x2cos x 2cos2x22sin x cos x2cos x 2cos2x2 2sin x2cos x22cos2x2sin x2cos x2tan x2右邊 等式成立 再練一題 3求證：1sin 4cos 42tan 1sin 4cos 41tan2. 【證明】 原式等價(jià)于1sin 4cos 41sin 4cos 42tan 1tan2， 即1sin 4cos 41sin 4cos 4tan 2，而上式左邊 12sin 2 cos 212sin2212sin 2 cos22cos221 2sin 2cos 22sin222sin 2cos 22cos22 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2 tan 2右邊， 所以原式得證. 三角函數(shù)與平面向量的綜合應(yīng)用 三角函數(shù)與平面向量相結(jié)合是近幾年來(lái)高考的亮點(diǎn)， 它常常包括向量與三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值與證明的結(jié)合，向量與三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的結(jié)合等幾個(gè)方面 此類(lèi)題目所涉及向量的知識(shí)往往比較基礎(chǔ)，所涉及的三角函數(shù)往往是討論三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值 已知向量 acos 3x2，sin 3x2，bcos x2，sin x2，且 x3，4. (1)求 a b 及|ab|； (2)若 f(x)a b|ab|，求 f(x)的最大值和最小值 【精彩點(diǎn)撥】 本題主要考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的模及兩角和與差的三角函數(shù)(1)按向量數(shù)量積與向量加法運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)求解、化簡(jiǎn)；(2)化簡(jiǎn) f(x)，并參照 x3，4，求出最大值和最小值 【規(guī)范解答】 (1)a bcos 3x2cos x2sin 3x2sin x2cos 2x， |ab|cos 3x2cos x22sin 3x2sin x22 22cos 2x2|cos x|. x3，4， cos x0， 即|ab|2cos x. (2)f(x)cos 2x2cos x2cos2x2cos x1 2cos x12232， 且 x3，4， 12cos x1. 當(dāng) cos x12時(shí)，f(x)取得最小值32； 當(dāng) cos x1 時(shí)，f(x)取得最大值為1. 再練一題 4已知向量 m(sin x,1)，n3Acos x，A2cos 2x (A0)，函數(shù) f(x)m n的最大值為 6. (1)求 A； (2)將函數(shù) yf(x)的圖像向左平移12個(gè)單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) yg(x)的圖像，求 g(x)在0，524上的值域 【解】 (1)f(x)m n 3Asin xcos xA2cos 2x A32sin 2x12cos 2x Asin2x6. 因?yàn)?A0，由題意知 A6. (2)由(1)f(x)6sin2x6. 將函數(shù) yf(x)的圖像向左平移12個(gè)單位后得到 y6sin2x1266sin2x3的圖像； 再將得到圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變，得到 y6sin4x3的圖像 因此 g(x)6sin4x3. 因?yàn)?x0，524，所以 4x33，76， 故 g(x)在0，524上的值域?yàn)?,6. 轉(zhuǎn)化與化歸思想 三角式的恒等變形是解三角函數(shù)問(wèn)題的方法基礎(chǔ)，所謂三角式的恒等變形，就是運(yùn)用有關(guān)概念和公式把給定的三角式化為另一等價(jià)形式 轉(zhuǎn)化與化歸思想是三角恒等變形應(yīng)用最廣泛，也是最基本的數(shù)學(xué)思想，它貫穿于三角恒等變形的始終，要認(rèn)真體會(huì)理解，在解題過(guò)程中學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用 已知向量 a(2sin x，cos x)，b( 3cos x，2cos x)，定義函數(shù) f(x)a b1. (1)求函數(shù) f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間； (3)畫(huà)出函數(shù) g(x)f(x)，x712，512的圖像，由圖像寫(xiě)出 g(x)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心 【精彩點(diǎn)撥】 本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、三角公式及三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，化簡(jiǎn)函數(shù)式為 f(x)Asin(x)B 的形式，然后求解 【規(guī)范解答】 f(x)2 3sin xcos x2cos2x1 3sin 2xcos 2x2sin2x6. (1)T22. (2)2k22x62k32k6xk23(kZ)， 函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k6，k23(kZ) (3)列表及圖像如下： x 712 3 12 6 512 2x6 2 0 2 y 0 2 0 2 0 從圖像可以看出，此函數(shù)有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心12，0 ，無(wú)對(duì)稱(chēng)軸 再練一題 5已知函數(shù) f(x)Acosx46，xR，且 f3 2. (1)求 A 的值； (2)設(shè) ，0，2，f443 3017，f423 85，求 cos()的值 【解】 (1)因?yàn)?f3 2， 所以 Acos1436 Acos 422A 2，所以 A2. (2)由(1)知 f(x)2cosx46， f4432cos362sin 3017，所以 sin 1517，因?yàn)?0，2， 所以 cos 817.又因?yàn)?f4232cos662cos 85， 所以 cos 45，因?yàn)?0，2，所以 sin 35，所以 cos()cos cos sin sin 817451517351385. 1(2015 重慶高考)若 tan 13，tan( )12，則 tan ( ) A17 B16 C57 D56 【解析】 tan tan()tantan 1tan tan 12131121317. 【答案】 A 2 (2015 浙江高考)函數(shù) f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，最小值是_ 【解析】 f(x)sin2xsin xcos x1 1cos 2x212sin 2x13222sin2x4. 故最小正周期 T22.當(dāng) sin2x41 時(shí)，f(x)取得最小值為32223 22. 【答案】 3 22 3(2015 上海高考)函數(shù) f(x)13sin2x 的最小正周期為_(kāi) 【解析】 因?yàn)?2sin2x1cos 2x，所以 f(x)132(1cos 2x)1232cos 2x，所以函數(shù) f(x)的最小正周期為22. 【答案】 4(2015 四川高考)已知 sin 2cos 0，則 2sin cos cos2 的值是_ 【解析】 由 sin 2cos 0，得 tan 2. 所以 2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan2141411. 【答案】 1 5(2015 四川高考)sin 15 sin 75 _. 【解析】 sin 15 sin 75 sin 15 cos 15 222sin 15 22cos 15 2(sin 15 cos 45 cos 15 sin 45 ) 2sin 60 23262. 【答案】 62