精編北師大版數(shù)學(xué)資料3.2平面向量基本定理1了解平面向量基本定理及其意義(重點(diǎn))2能應(yīng)用平面向量基本定理解決一些實(shí)際問題(難點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理平面向量基本定理閱讀教材P85P86“例4”以上部分，完成下列問題如果e1，e2(如圖237)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2(如圖237)，其中不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底圖237判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面向量的一組基底e1，e2中可以有一個(gè)向量為零向量()(2)任意兩個(gè)向量都可以作為基底()(3)平面向量的基底不是唯一的()(4)零向量不可作為基底中的向量()【解析】(1)×，因?yàn)榱阆蛄颗c任何向量均共線(2)×，兩不共線的向量才可作為平面的一組基底(3)(4)均正確【答案】(1)×(2)×(3)(4)質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型平面向量基本定理的理解如果e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，是實(shí)數(shù)，判斷下列說法是否正確，并說明理由(1)若，滿足e1e20，則0；(2)對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)向量a，使得ae1e2成立的實(shí)數(shù)，有無數(shù)對(duì)；(3)線性組合e1e2可以表示平面內(nèi)的所有向量；(4)當(dāng)，取不同的值時(shí)，向量e1e2可能表示同一向量【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)平面向量基本定理的內(nèi)容來判斷【自主解答】(1)正確若0，則e1e2，從而向量e1，e2共線，這與e1，e2不共線相矛盾，同理可說明0.(2)不正確由平面向量基本定理可知，唯一確定(3)正確平面內(nèi)的任一向量a可表示成e1e2的形式，反之也成立(4)不正確結(jié)合向量加法的平行四邊形法則易知，當(dāng)e1和e2確定后，其和向量e1e2便唯一確定1對(duì)于平面內(nèi)任何向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示；反之，平面內(nèi)的任一向量也可以分解為兩個(gè)不共線的向量的和的形式2向量的基底是指平面內(nèi)不共線的向量，事實(shí)上，若e1，e2是基底，則必有e10，e20，且e1與e2不共線，如0與e1，e1與2e1，e1e2與2(e1e2)等均不能構(gòu)成基底再練一題1設(shè)e1，e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：e1與e1e2；e12e2與e22e1；e12e2與4e22e1；e1e2與e1e2.其中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號(hào)是_(寫出所有滿足條件的序號(hào))【解析】中，設(shè)e1e2e1，則無解，e1e2與e1不共線，即e1與e1e2可作為一組基底；中，設(shè)e12e2(e22e1)，則(12)e1(2)e20，則無解，e12e2與e22e1不共線，即e12e2與e22e1可作為一組基底；中，e12e2(4e22e1)，e12e2與4e22e1共線，即e12e2與4e22e1不可作為一組基底；設(shè)e1e2(e1e2)，則(1)e1(1)e20，無解e1e2與e1e2不共線，即e1e2與e1e2可作為一組基底【答案】運(yùn)用基底表示向量如圖238，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分別是DC和AB的中點(diǎn)，若a，b，試用a，b表示，.圖238【精彩點(diǎn)撥】利用三角形法則或平行四邊形法則，尋找所求向量與a，b的關(guān)系【自主解答】如圖所示，連接CN，則四邊形ANCD是平行四邊形則a；ba；ab.利用基底表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用向量的加法、減法以及數(shù)乘向量進(jìn)行線性運(yùn)算，解決此類問題時(shí)，要仔細(xì)分析所給圖形，借助于平面幾何知識(shí)的向量共線定理及平面向量基本定理解決再練一題2如圖239，在ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知c，d，試用c，d表示和.圖239【解】設(shè)a，b，則由M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)可得：b，a，即bac.，即abd.由可得a(2dc)，b(2cd)，即(2dc)，(2cd)探究共研型平面向量基本定理應(yīng)用探究1如果e1，e2是兩個(gè)不共線的確定向量，則與e1，e2在同一平面內(nèi)的任一向量a，能否用e1，e2表示？依據(jù)是什么？【提示】能依據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則探究2如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？【提示】不一定當(dāng)a與e1共線時(shí)可以表示，否則不能表示探究3基底給定時(shí)，向量分解形式唯一嗎？【提示】向量分解形式唯一如圖2310，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，AF與BD交于E，求證：E為線段BD的三等分點(diǎn)圖2310【精彩點(diǎn)撥】要證E為線段BD的三等分點(diǎn)，只需證BB，可設(shè)BB.選取，A作為基底，通過ABA，建立相應(yīng)的方程組，并進(jìn)行運(yùn)算，求出即可【自主解答】設(shè)Aa，Ab，則BAAba，AADAAba.因?yàn)锳，E，F(xiàn)與B，D，E分別共線，所以存在實(shí)數(shù)，R，使AA，BB.于是Aab，Bba.由ABA，得(1)abab.因?yàn)閍，b不共線，由平面向量基本定理，得1，且.解得，BB，即E為線段BD(靠近D)的一個(gè)三等分點(diǎn)1利用向量證明幾何問題是其工具性的體現(xiàn)操作時(shí)，為明確方向，常常選取問題中不共線的線段對(duì)應(yīng)的向量作為基底2平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1，e2的線性組合1e12e2.在具體求1，2時(shí)有兩種方法：一是直接利用三角形法則、平行四邊形法則及平面向量基本定理；二是利用待定系數(shù)法，即利用定理中1，2的唯一性列方程組求解再練一題3已知D，E，F(xiàn)分別是ABC的BC，CA，AB邊上的中點(diǎn)試用向量法證明：AD，BE，CF交于一點(diǎn)【證明】如圖，令a，b為基底，則ab，ab，ab，設(shè)AD與BE交于點(diǎn)G，且，則有ab，ab.又有a(1)b，解得.ab，aabab×(ab)而(ab)，點(diǎn)GCF，AD，BE，CF交于一點(diǎn)構(gòu)建·體系1設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組：與；與；與；與.其中可作為表示這個(gè)平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()ABCD【解析】根據(jù)基底的概念知兩個(gè)向量必須不共線，結(jié)合圖形知正確【答案】B2已知向量e1與e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，則xy等于()A3 B3 C0 D2【解析】因?yàn)?3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，所以(3x4y6)e1(2x3y3)e20，所以由得xy30，即xy3.【答案】A3.在ABC中，若D，E，F(xiàn)依次是的四等分點(diǎn)，則以e1，e2為基底時(shí)，_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66470048】圖2311【解析】e1e2，因?yàn)镈，E，F(xiàn)依次是的四等分點(diǎn)，所以(e1e2)，所以e2(e1e2)e1e2.【答案】e1e24已知向量i，j不共線，實(shí)數(shù)，滿足等式3i(10)j2i(47)j，則的值為_，的值為_【解析】由3i(10)j2i(47)j得i(35)j0，因?yàn)閕，j不共線所以0,350，即.【答案】05設(shè)M，N，P是ABC三邊上的點(diǎn)，且，若a，b，試用a，b將，表示出來【解】如圖，()ba.ab.()ab.我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_