精編北師大版數學資料4正弦函數和余弦函數的定義與誘導公式4.1單位圓與任意角的正弦函數、余弦函數的定義4.2單位圓與周期性1理解任意角的正弦、余弦的定義及其應用(重點)2.掌握同角的正弦、余弦函數值間的關系(重點)3.理解周期函數的定義(難點)基礎初探教材整理1正、余弦函數閱讀教材P13P15“例1”以上部分，完成下列問題任意角的正弦、余弦函數的定義(1)單位圓的定義在直角坐標系中，以原點為圓心，以單位長為半徑的圓，稱為單位圓(2)如圖141所示，設是任意角，其頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓O交于點P(u，v)，那么：圖141正弦函數余弦函數定義點P的縱坐標v定義為角的正弦函數，記作vsin_點P的橫坐標u定義為角的余弦函數，記作ucos_通常表示法ysin x定義域為全體實數，值域為1,1ycos x定義域為全體實數，值域為1,1在各象限的符號判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)正弦函數、余弦函數的自變量都是角()(2)正弦函數、余弦函數的角度通常用弧度制，而不用角度制()(3)角確定，則角的正弦、余弦函數值與點P在終邊上的位置無關()(4)若sin <0，則為第三或第四象限角()【解析】根據三角函數的定義，知(1)正確，(3)正確；盡管在正弦函數、余弦函數的定義中，角的值既可以用角度制，又可以用弧度制來表示，若用角度制表示時，如30sin 30就無法進行運算，改用弧度制時，sin就可以運算了，即自變量的單位與函數值的單位都用十進制數統(tǒng)一了，因而(2)正確；若sin <0，的終邊也可能落在y軸的負半軸上，因而(4)錯【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2周期函數閱讀教材P16P17練習以上部分，完成下列問題1終邊相同的角的正弦、余弦函數值的關系(1)終邊相同的角的正弦函數值相等，即sin(xk2)sin_x(kZ)(2)終邊相同的角的余弦函數值相等，即cos(xk2)cos_x(kZ)2一般地，對于函數f(x)，如果存在非零實數T，對定義域內的任意一個x值，都有f(xT)f(x)，則稱f(x)為周期函數，T稱為這個函數的周期3特別地，正弦函數、余弦函數是周期函數，稱2k(kZ，k0)是正弦函數、余弦函數的周期，其中2是正弦函數、余弦函數正周期中最小的一個，稱為最小正周期判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)2k(kZ)是正弦、余弦函數的周期()(2)f(x)x2滿足f(36)f(3)，故f(x)x2為周期函數()(3)對正弦函數f(x)sin x有ff，所以是f(x)的周期()【解析】(1)錯誤kZ且k0時，2k是正弦、余弦函數的周期(2)錯誤因為f(26)f(2)(3)錯誤ff()不滿足任意性【答案】(1)(2)(3)質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型正弦、余弦函數的定義已知的終邊經過點P(a，a)，a0，求sin ，cos .【精彩點撥】利用正弦函數、余弦函數的定義可求sin ，cos .【自主解答】當a>0時，ra，得sin ，cos .當a<0時，ra，得sin ，cos .利用三角函數的定義求值的策略1求一個角的三角函數值，需確定三個量：角的終邊上異于原點的點的橫、縱坐標及其到原點的距離2若終邊在直線上時，因為角的終邊是射線，應分兩種情況處理3若已知角，則需確定出角的終邊與單位圓的交點坐標再練一題1已知角的終邊在直線y2x上，求角的正弦值和余弦值. 【導學號：66470006】【解】設直線上任意一點P(a,2a)，a0，則r|a|.當a>0時，sin ，cos .當a<0時，sin ，cos .三角函數值的符號判斷(1)判斷符號：sin 340cos 265；(2)若sin 2>0，且cos <0，試確定所在的象限【精彩點撥】(1)由角的終邊所在象限分別判斷三角函數值的符號，進一步確定各式符號(2)根據正弦、余弦在各個象限的符號確定2的象限，進而確定所在的象限【自主解答】(1)340是第四象限角，265是第三象限角，sin 340<0，cos 265<0，sin 340cos 265>0.(2)sin 2>0，2k<2<2k(kZ)，k<<k(kZ)當k為偶數時，設k2m(mZ)，有2m<<2m(mZ)；當k為奇數時，設k(2m1)(mZ)，有2m<<2m(mZ)為第一或第三象限角又由cos <0，可知為第三象限角1正弦、余弦函數值在各象限內取正數的規(guī)律可概括為“正弦上為正、余弦右為正”，即當角的終邊在x軸的上方時sin >0；當角的終邊在y軸的右側時，cos >0.2對于確定角所在象限的問題，應首先界定題目中所有三角函數的符號，然后根據各三角函數的符號來確定角所在象限，則它們的公共象限即為所求3由k<<k(kZ)確定所在象限時應對k進行分類討論再練一題2(1)判斷的符號；(2)若sin >0，cos <0，判斷角所在象限【解】(1)2，3，4，6，sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0，>0.(2)sin >0，的終邊在一、二象限或y軸的正半軸上cos <0，的終邊在二、三象限或x軸的負半軸上故當sin >0且cos <0時，在第二象限探究共研型利用正弦、余弦函數的周期性求值探究130與390的終邊相同，兩角的同一三角函數值相等嗎？【提示】相等探究2終邊相同的角的同一函數值都相等嗎？為什么？【提示】都相等因兩角終邊相同，其始邊與單位圓交于同一點，由三角函數定義知函數值相等探究3公式sin(2kx)sin x，kZ，cos(2kx)cos x，kZ，揭示了什么規(guī)律，有什么作用？【提示】(1)由公式可知，三角函數的值有“周而復始”的變化規(guī)律，即角的終邊每繞原點旋轉一周，函數值將重復出現一次(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函數值，轉化為求0到2(或0到360)角的三角函數值求下列各角的三角函數值(1)sin；(2)cos 1 500；(3)sin ；(4)cos .【精彩點撥】當角不在02之間時，常利用“終邊相同的角的三角函數值相等”，把該角轉化到02之間，再求值【自主解答】(1)sinsinsin .(2)cos 1 500cos(436060)cos 60.(3)sin sinsin .(4)cos coscos .1利用終邊相同的正弦、余弦值之間的關系可把任意角的三角函數化歸為0,2)內的三角函數，實現“負化正，大化小”，體現了數學中的化歸(轉化)思想2一定要熟記一些特殊角的三角函數，有利于準確求值3.正弦1余弦0再練一題3求下列三角函數值(1)cos(1 050)；(2)sin；(3)log2(4 sin 1 110)【解】(1)1 050336030，1 050的角與30的角終邊相同cos(1 050)cos 30.(2)42，角與角的終邊相同sinsin.(3)sin 1 110sin(336030)sin 30，log2(4sin 1 110)log2log221.構建體系1已知P(3,4)是終邊上一點，則sin 等于()A.BCD【解析】r5，sin .【答案】C2cos的值為()ABCD【解析】coscoscos.【答案】D3已知函數yf(x)是周期函數，周期T6，f(2)1，則f(14)_. 【導學號：66470007】【解析】f(14)f(262)f(2)1.【答案】14使得lg(cos tan )有意義的角是第_象限角【解析】要使原式有意義，必須cos tan >0，即需cos tan 同號，所以是第一或第二象限角【答案】一或二5求下列各式的值(1)sin 1 470；(2)cos .【解】(1)sin 1 470sin(436030)sin 30.(2)cos coscos .我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_