精編北師大版數(shù)學(xué)資料學(xué)業(yè)分層測評(十四)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1輪船A和輪船B在中午12時(shí)同時(shí)離開海港O，兩船航行方向的夾角為120，兩船的航行速度分別為25 n mile/h，15 n mile/h，則14時(shí)兩船之間的距離是()A50 n mileB70 n mileC90 n mileD110 n mile【解析】到14時(shí)，輪船A和輪船B分別走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得兩船之間的距離為l70 n mile.【答案】B2如圖237所示，從山頂望地面上C，D兩點(diǎn)，測得它們的俯角分別為45和30，已知CD100米，點(diǎn)C位于BD上，則山高AB等于()圖237A100米B50米C50米D50(1)米【解析】設(shè)山高為h，則由題意知CBh，DBh，所以hh100，即h50(1)米【答案】D3如圖238，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DCa，從C，D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)仰角分別是，()，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()圖238A.B.C.D【解析】在ADC中，DAC.由正弦定理得，AC，ABACsin .【答案】A4有一個(gè)長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75，現(xiàn)要將其傾斜角改為30，則坡底要伸長()A1千米B千米C.千米D2千米【解析】如圖，BAO75，C30，AB1，ABCBAOBCA753045.在ABC中，AC千米【答案】B5(2014四川高考)如圖239，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時(shí)氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于()圖239A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m【解析】如圖，在ACD中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060(m)在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)【答案】C二、填空題6某人向正東方向走x km后向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km，那么x的值為_.【解析】如圖所示，在ABC中，ABx，BC3，AC，ABC30.由余弦定理得()232x223xcos 30，即x23x60，解得x1，x22，檢驗(yàn)均符合題意【答案】或27在200 m的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別為30，60，則塔高為_【解析】如圖，設(shè)塔AB高為h，在RtCDB中，CD200 m，BCD906030，BC(m)在ABC中，ABCBCD30，ACB603030，BAC120.在ABC中，由正弦定理得，AB m.【答案】 m8江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距_m.【解析】如圖，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)【答案】10三、解答題9A、B、C、D四個(gè)景點(diǎn)，如圖2310，CDB45，BCD75，ADC15.A、D相距2 km，C、D相距(3)km，求A、B兩景點(diǎn)的距離圖2310【解】在BCD中，CBD180BCDCDB60，由正弦定理得，即BD2.在ABD中，ADB451560，BDAD，ABD為等邊三角形，AB2.即A、B兩景點(diǎn)的距離為2 km.10據(jù)氣象臺預(yù)報(bào)，距S島正東方向300 km的A處有一臺風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30 km的速度向北偏西30的方向移動(dòng)，在距臺風(fēng)中心270 km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺風(fēng)的影響，問：S島是否受其影響？若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時(shí)S島開始受到臺風(fēng)的影響？持續(xù)時(shí)間多久？說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：67940044】圖2311【解】設(shè)臺風(fēng)中心經(jīng)過t小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，由題意，SAB903060，在SAB中，SA300，AB30t，SAB60，由余弦定理得：SB2SA2AB22SAABcos SAB3002(30t)2230030tcos 60，若S島受到臺風(fēng)影響，則應(yīng)滿足條件|SB|270，即SB22702，化簡得t210t190，解得5t5，所以從現(xiàn)在起，經(jīng)過5小時(shí)S島開始受到影響，5小時(shí)后影響結(jié)束持續(xù)時(shí)間為(5)(5)2小時(shí)即S島受臺風(fēng)影響，從現(xiàn)在起，經(jīng)過5小時(shí)臺風(fēng)開始影響S島，持續(xù)2小時(shí)能力提升1一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45，沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 m【解析】設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.【答案】A2甲船在島A的正南B處，以4 km/h的速度向正北航行，AB10 km，同時(shí)乙船自島A出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間為()A. minB hC21.5 minD2.15 h【解析】如圖所示，當(dāng)兩船航行t h時(shí)，甲船到D處，乙船到C處，則AD104t，AC6t，CAD120或AD4t10，AC6t，CAD60.CD2(6t)2(104t)226t(104t)28t220t100，當(dāng)t h時(shí)，CD2最小，即兩船最近，t h min.【答案】A3某同學(xué)騎電動(dòng)車以24 km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處測得電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30方向上，15 min后到點(diǎn)B處，測得電視塔S在電動(dòng)車的北偏東75方向上，則點(diǎn)B與電視塔的距離是_km.圖2312【解析】如題圖，由題意知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知，BS3.【答案】34如圖2313，一輛汽車從O點(diǎn)出發(fā)，沿海岸一條直線公路以100 km/h的速度向東勻速行駛，汽車開動(dòng)時(shí)，在O點(diǎn)南偏東方向距O點(diǎn)500 km且在海岸距離為300 km的海上M處有一快艇，與汽車同時(shí)出發(fā)，要把一件重要的物品遞送給這輛汽車的司機(jī)，問快艇至少必須以多大的速度行駛，才能把物品遞送到司機(jī)手中？并求快艇以最小速度行駛時(shí)方向與OM所成的角圖2313【解】如圖所示，設(shè)快艇從M處以v km/h的速度出發(fā)， 沿MN方向航行，t h后與汽車在N點(diǎn)相遇，在MON中，MO500，ON100t，MNvt.設(shè)MON，由題意知，sin ，則cos ，由余弦定理知MN2OM2ON22OMONcos ，即v2t250021002t22500100t，整理得，v223 600，當(dāng)，即t時(shí)，v3 600，vmin60.即快艇至少必須以60 km/h的速度行駛，此時(shí)MN60375.MQ300，設(shè)MNO，則sin ，90，即MN與OM所成的角為90.