精編北師大版數(shù)學(xué)資料§7向量應(yīng)用舉例71點(diǎn)到直線的距離公式72向量的應(yīng)用舉例1了解直線法向量的概念，掌握點(diǎn)到直線的距離(重點(diǎn))2會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題、力學(xué)問題及一些實(shí)際問題(難點(diǎn))3進(jìn)一步體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具基礎(chǔ)·初探教材整理向量應(yīng)用舉例閱讀教材P101P103，完成下列問題1點(diǎn)到直線的距離公式若M(x0，y0)是平面上一定點(diǎn)，它到直線l：AxByC0的距離為：d.2直線的法向量(1)定義：稱與直線的方向向量垂直的向量為該直線的法向量(2)公式：設(shè)直線l：AxByC0，取其方向向量v(B，A)，則直線l的法向量n(A，B)3向量的應(yīng)用向量的應(yīng)用主要有兩方面：一是在幾何中的應(yīng)用；二是在物理中的應(yīng)用判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)ABC是直角三角形，則·0.()(2)若，則直線AB與CD平行()(3)向量，的夾角與直線AB，CD的夾角不相等()(4)直線AxByC0的一個(gè)法向量是(A，B)()【解析】ABC是直角三角形，若A90°，則·0，(1)×；兩向量平行，對(duì)應(yīng)的兩直線可以是重合，(2)×；(3)(4)均正確【答案】(1)×(2)×(3)(4)質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型向量在平面幾何中的應(yīng)用已知D是ABC中AC邊上一點(diǎn)，且ADDC21，C45°，ADB60°，求證：AB是BCD外接圓的切線圖271【自主解答】設(shè)BCD外接圓的圓心為O，半徑為R，連接OB，OC，OD，取b，c，d，則|b|c|d|，又由題意，知和分別為120°和90°的弧b·d0，b·c|b|c|cos 120°R2.又c3c3(dc)3d2c，b3d2c.·(b3d2c)·bR22c·bR2R20，即，AB是O的切線1解決此類問題，通常利用平面向量基本定理，將一些相關(guān)向量用選定的基底來表示，再利用運(yùn)算法則，運(yùn)算律以及一些重要性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，最后把結(jié)果還原為幾何關(guān)系2本題是將切線問題轉(zhuǎn)化為兩向量的垂直關(guān)系再練一題1已知RtABC，C90°，設(shè)ACm，BCn，若D為斜邊AB的中點(diǎn)，(1)求證：CDAB；(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示)【解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)，(n，m)(1)證明：D為AB的中點(diǎn)，D，|，|，|，即CDAB.(2)E為CD的中點(diǎn)，E，設(shè)F(x,0)，則，(x，m)A，E，F(xiàn)共線，解得(x，m)，即x，即F，|，即AF.向量在物理中的應(yīng)用某人在靜水中游泳，速度為4km/h.(1)如果他徑直游向河對(duì)岸，水的流速為4 km/h，他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？速度大小為多少？(2)他必須朝哪個(gè)方向游才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)(求出其與河岸夾角的余弦值即可)？他實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？【精彩點(diǎn)撥】解本題首先要根據(jù)題意作圖，再把物理問題轉(zhuǎn)化為向量的有關(guān)運(yùn)算求解【自主解答】(1)如圖，設(shè)人游泳的速度為，水流的速度為，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則此人的實(shí)際速度為，根據(jù)勾股定理，|8，且在RtACO中，COA60°，故此人實(shí)際沿與水速夾角60°的方向前進(jìn)，速度大小為8 km/h.(2)如圖，設(shè)此人的實(shí)際速度為，水流速度為.實(shí)際速度游速水速，故游速為，在RtAOB中，|4，|4，|4.cosBAO，故此人的前進(jìn)方向與河岸夾角的余弦值為，且逆著水流方向，實(shí)際前進(jìn)速度的大小為4km/h.1用向量解決物理問題首先要建立數(shù)學(xué)模型，把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，其次要注意物理中的矢量與數(shù)學(xué)中向量的區(qū)別與聯(lián)系2速度、加速度、位移、力的合成和分解，實(shí)質(zhì)上就是向量的加減法運(yùn)算，求解時(shí)常用向量求和的平行四邊形法則和三角形法則3在數(shù)學(xué)中，向量數(shù)量積的運(yùn)算是由物理中力對(duì)物體所做的功抽象出來的，這也是向量在物理中的主要應(yīng)用之一再練一題2一架飛機(jī)從A地向北偏西60°方向飛行1 000 km到達(dá)B地，因大霧無法降落，故轉(zhuǎn)向C地飛行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A，C兩地相距2 000 km，求飛機(jī)從B地到C地的位移圖272【解】法一：由題意得|1 000，|2 000，BAC60°，|2|2|2|22|·|·cos 60°2 00021 00022×1 000×2 000×3×106，|1 000(km)，ABC90°.取AC的中點(diǎn)D，由|2|且BAD60°，知為正南方向，有ABD60°，于是DBC30°.所以飛機(jī)從B地到C地的位移的大小為1 000km，方向?yàn)槟掀?0°.法二：建立如圖所示坐標(biāo)系，并取a500，則(2acos 150°，2asin 150°)(a，a)，(4acos 210°，4asin 210°)(2a，2a)，(a，3a)，|2a，即|1 000(km)又cos C，C30°.結(jié)合圖形可知的方向?yàn)槟掀?0°，所以飛機(jī)從B地到C地的位移的大小為1 000km，方向?yàn)槟掀?0°.探究共研型向量在解析幾何中的應(yīng)用探究1教材中在證明點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，為什么有d|·n0|?【提示】如圖所示，過M作MNl于N，則d|.在RtMPN中，|是在方向上的射影的絕對(duì)值，則|cosPMN|×1×cosPMN|×|n0|×|cosPMN|·n0|，d|·n0|.探究2你認(rèn)為利用向量方法解決幾何問題的關(guān)鍵是什么？【提示】關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成向量的坐標(biāo)，然后進(jìn)行向量的運(yùn)算探究3用向量法解決幾何問題常用到哪些知識(shí)？【提示】相等向量、共線向量、垂直向量的坐標(biāo)形式經(jīng)常用到已知圓C：(x3)2(y3)24，及點(diǎn)A(1,1)，M是C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段MA的延長線上，且2，求點(diǎn)N的軌跡方程【精彩點(diǎn)撥】要求點(diǎn)N的軌跡方程，需設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后利用已知條件，轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，再利用代入法求解【自主解答】設(shè)N(x，y)，M(x0，y0)，由2，得(1x0,1y0)2(x1，y1)，即代入C方程，得(32x3)2(32y3)24，即x2y21.點(diǎn)N的軌跡方程為x2y21.向量在解析幾何中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是作為題設(shè)條件；二是作為解決問題的工具使用，充分體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化的思想，是高考考查的熱點(diǎn)之一解決此類問題的思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是向量平行或垂直的坐標(biāo)表示；二是向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)再練一題3已知過點(diǎn)A(0,2)，且方向向量為a(1，k)的直線l與圓C：(x2)2(y3)21相交于M，N兩點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且·12，求k及直線l的方程【解】設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)由題意知，l的方程為ykx2，由得(1k2)x2(42k)x40.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2，x1x2.·(x1，y1)·(x2，y2)x1x2y1y212，y1kx12，y2kx22，x1x2(kx12)(kx22)0，即(1k2)x1x22k(x1x2)80，(1k2)×2k×80，解得k，直線l的方程為yx2，即x2y40.構(gòu)建·體系1一物體受到相互垂直的兩個(gè)力F1，F(xiàn)2的作用，兩力大小都為5N，則兩個(gè)力的合力的大小為()A5NB5NC5N D5N【解析】根據(jù)向量的平行四邊形法則，合力F的大小為×55(N)【答案】D2在四邊形ABCD中，·0，且，則四邊形ABCD是()A梯形 B菱形C矩形 D正方形【解析】由·0，得，又，所以與平行且相等，從而四邊形ABCD是矩形【答案】C3過點(diǎn)P(1，1)且垂直于向量n(2，1)的直線方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66470059】【解析】所求直線的方向向量為m(1,2)，所求直線的斜率為k2，所求直線方程為y12(x1)，即2xy30.【答案】2xy304已知點(diǎn)A(1,1)，M(x，y)，且A與M不重合，若向量與向量a(1,2)垂直，則點(diǎn)M的軌跡方程為_【解析】由題意得(x1，y1)因?yàn)閍，所以·a0，所以(x1，y1)·(1,2)x12(y1)0，即x2y30(x1)【答案】x2y30(x1)5已知ABC為直角三角形，設(shè)ABc，BCa，CAb.若C90°，試證：c2a2b2.【證明】以C點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系則A(b,0)，B(0，a)(0，a)(b,0)(b，a)，|c.故c2a2b2.我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_