精編北師大版數(shù)學(xué)資料核心必知1模擬方法在大量重復(fù)試驗的前提下，可以用隨機事件發(fā)生的頻率來估計其發(fā)生的概率，但確定隨機事件發(fā)生的頻率常常需要人工做大量的重復(fù)試驗，既費時又費力，并且有時很難實現(xiàn)因此，我們可以借助于模擬方法來估計某些隨機事件發(fā)生的概率2幾何概型(1)定義：向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機地投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，即P(點M落在G1)，則稱這種模型為幾何概型(2)說明：幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長度之比問題思考1幾何概型的概率計算與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀有關(guān)嗎？提示：幾何概型的概率只與它的長度(面積或體積)有關(guān)，而與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無關(guān)2在幾何概型中，如果A為隨機事件，若P(A)0，則A一定為不可能事件；若P(A)1，則A一定為必然事件，這種說法正確嗎？提示：這種說法不正確如果隨機事件所在的區(qū)域是一個單點，由于單點的長度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，顯然它不是不可能事件；如果一個隨機事件所在的區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件 講一講1.取一根長為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度都不小于1 m的概率有多大？嘗試解答如圖所示，記事件A剪得兩段繩子長都不小于1 m，把繩子三等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時，事件A發(fā)生全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是繩子的長度3 m，事件A包含的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是中間一段的長度為3×1(m)，故事件A發(fā)生的概率P(A).在求解與長度有關(guān)的幾何概型時，首先找到幾何區(qū)域D，這時區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發(fā)生對應(yīng)的區(qū)域d，在找d的過程中，確定邊界點是問題的關(guān)鍵，但邊界點是否取到卻不影響事件A的概率 練一練1在區(qū)間1,2上隨機取一個數(shù)x，則|x|1的概率為_解析：由|x|1得，1x1，故易知所求概率為.答案：講一講2.假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：307：30把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間是7：008：00，問你父親在離開家前能拿到報紙(稱為事件A)的概率是多少？嘗試解答如圖，送報人到達的時間是6：307：30的任一時刻，父親離開家去工作的時間是7：008：00的任一時刻，如果在直角坐標系內(nèi)以x軸表示報紙送到的時間，y軸表示父親離開家的時間，因為報紙送到的時間和父親離開家的時間都是隨機的，所以隨機試驗的所有結(jié)果(x，y)是圖中所示正方形中等可能的任意一點事件A(父親離開家前能拿到報紙)發(fā)生須xy，即正方形內(nèi)陰影部分，事件A發(fā)生的概率只與陰影部分的面積大小有關(guān)，這符合幾何概型的條件A12××，1，所以P(A).在研究射擊、射箭、投中、射門等實際問題時，常借助于區(qū)域的面積來計算概率的值此時，只需分清各自區(qū)域特征，分別計算其面積，以公式P(A) 計算事件的概率即可練一練2在平面直角坐標系xOy中，設(shè)D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點的距離不大于1的點構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機投一點，則落入E中的概率為_解析：如圖所示，區(qū)域D表示邊長為4的正方形的內(nèi)部(含邊界)，區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此P.答案：講一講3.有一杯2升的水，其中含有一個細菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個細菌的概率嘗試解答把判斷這個細菌所在的位置看成一次試驗，設(shè)所取的0.1升水中含有這個細菌為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是0.1升，全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是2升，所以P(A)0.05.如果試驗的結(jié)果所成的區(qū)域可用體積來度量，我們要結(jié)合問題的背景，選擇好觀察角度，準確找出基本事件所占的總體積及事件A所分布的體積其概率的計算P(A).練一練3在棱長為3的正方體內(nèi)任意取一個點，求這個點到各面的距離均大于1的概率解：記事件A為“點到各面的距離均大于1”，則滿足題意的點構(gòu)成的區(qū)域為：位于該正方體中心的一個棱長為1的小正方體的內(nèi)部由幾何概型的計算公式，可得滿足題意的概率為P(A). 講一講4.設(shè)A為圓周上一定點，在圓周上等可能的任取一點與A連接，求弦長超過半徑的倍的概率嘗試解答如圖所示，在O上有一定點A，任取一點B與A連結(jié)，則弦長超過半徑的倍，即為AOB的度數(shù)大于90°，而小于270°.記“弦長超過半徑的倍”為事件C，則C表示的范圍是AOB(，)則由幾何概型概率的公式，得P(C).如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率的計算公式為P(A). 練一練4在轉(zhuǎn)盤游戲中，假設(shè)轉(zhuǎn)盤有三種顏色：紅、綠、藍當轉(zhuǎn)盤停止時，如果指針指向紅色為贏，綠色為平，藍色為輸若每種顏色被平均分成四塊，不同顏色相間排列，要使贏的概率為，輸?shù)母怕蕿?，求每個綠色扇形的圓心角為多少度(假設(shè)轉(zhuǎn)盤停止位置都是等可能的)解：由于轉(zhuǎn)盤停止旋轉(zhuǎn)時，指針指向每個位置都是等可能的，并且位置是無限多的，所以符合幾何概型的特點，問題轉(zhuǎn)化為求圓盤角度或周期問題因為贏的概率為，故紅色所占角度為周角的，即P172°.同理，藍色占周角的，即P2120°，所以綠色的角度P3360°120°72°168°.再將P3分成四等份，得P3÷4168°÷442°，即每個綠色扇形的圓心角為42°.【解題高手】【易錯題】如圖，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM<AC的概率錯解在AB上截取線段AC，使ACAC.則P(AM<AC)P(AM<AC).錯因因為該題所涉及的基本事件是與角度有關(guān)的，而不是在線段AB上取點，即該題是與角度有關(guān)的幾何概型，而不是與長度有關(guān)的幾何概型正解在AB上取ACAC，則ACC67.5°.P(AM<AC).1在500 mL的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出2 mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率為()A0B0.002 C0.004 D1解析：選C 由幾何概型公式得：P0.004.2(遼寧高考)在長為12 cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20 cm2的概率為()A. B. C. D.解析：選C 設(shè)|AC|x cm,0<x<12，則|CB|(12x) cm，要使矩形面積大于20 cm2，只要x(12x)>20，則x212x20<0,2<x<10，所以所求概率為P.3(湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則()A. B. C. D.解析：選D 由已知，點P的分界點恰好是邊CD的四等分點，由勾股定理可得AB22AD2，解得2，即.4 如圖所示，在平面直角坐標系內(nèi)，射線OT落在60°的終邊上，任作一條射線OA，射線OA落在xOT內(nèi)的概率為_解析：記B射線OA落在xOT內(nèi)，xOT60°，P(B).答案：5兩根相距6 m的木桿系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于2 m的概率是_解析：由題意P.答案：6國家安全機關(guān)監(jiān)聽錄音機記錄了兩個間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30 min長的磁帶上，從開始30 s處起，有10 s長的一段內(nèi)容包含兩間諜犯罪的信息后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯了鍵，使從此處起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了那么由于按錯了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？解：記A按錯鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉，A的發(fā)生就是在0到 min時間段內(nèi)按錯鍵P(A).一、選擇題1在區(qū)間0,3上任取一點，則此點落在區(qū)間2,3上的概率是()A. B. C. D.解析：選A 區(qū)間2,3長度為1，總區(qū)間0,3的長度為3，P.2 如圖，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為()A. B. C. D無法計算解析：選B 由幾何概型的公式知：，又：S正方形4，S陰影.3有四個游戲盤，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎小明希望中獎，他應(yīng)當選擇的游戲盤為()解析：選A A游戲盤的中獎概率為，B游戲盤的中獎概率為，C游戲盤的中獎概率為，D游戲盤的中獎概率為，A游戲盤的中獎概率最大4A是圓上的一定點，在圓上其他位置任取一點B，連接A、B兩點，它是一條弦，則它的長度大于等于半徑長度的概率為()A. B. C. D.解析：選B 如圖，當取點落在B、C兩點時，弦長等于半徑；當取點落在劣弧上時，弦長小于半徑；當取點落在優(yōu)弧上時，弦長大于半徑所以弦長超過半徑的概率P.5在區(qū)間0,1內(nèi)任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的平方和也在0,1內(nèi)的概率是()A. B. C. D.解析：選A 設(shè)在0,1內(nèi)取出的數(shù)為a，b，若a2b2也在0,1內(nèi)，則有0a2b21.如圖，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為邊長為1的正方形，滿足a2b2在0,1內(nèi)的點在單位圓內(nèi)(如陰影部分所示)，故所求概率為.二、填空題6函數(shù)f(x)x2，x5,5，那么任取一點x05,5，使f(x0)0的概率是_解析：由f(x0)0得x020，x02，又x05,5，x05,2設(shè)使f(x0)0為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域長度是2(5)7，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是5(5)10，則P(A).答案：7圓上的任意兩點間的距離大于圓的內(nèi)接正三角形邊長的概率是_解析：如圖所示，從點A出發(fā)的弦中，當弦的另一個端點落在劣弧B上的時候，滿足已知條件，當弦的另一個端點在劣弧A或劣弧A上的時候不能滿足已知條件又因為ABC是正三角形，所以弦長大于正三角形邊長的概率是.答案：8已知點P是邊長為4的正方形內(nèi)任一點，則P到四個頂點的距離均大于2的概率是_解析：如圖所示，邊長為4的正方形ABCD，分別以A、B、C、D為圓心，并以2為半徑畫圓截正方形ABCD后剩余部分是陰影部分則陰影部分的面積是424×××22164，所以所求概率是1.答案：1三、解答題9在ABC內(nèi)任取一點P，求ABP與ABC的面積之比大于的概率解：設(shè)P點、C點到AB的距離分別為dP、dC，則SABPAB·dP，SABCAB·dC，所以，要使>，只需使P點落在某條與AB平行的直線的上方，當然P點應(yīng)在ABC之內(nèi)，而這條與AB平行的直線EF與AB的距離要大于dC的.由幾何概率公式，得P2.10甲、乙兩人約定晚6點到晚7點之間在某處見面，并約定甲若早到應(yīng)等乙半小時，而乙還有其他安排，若他早到則不需等待求甲、乙兩人能見面的概率解：用x軸、y軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間若甲早到，當yx30時，兩人仍可見面；若乙早到，則兩人不可能見面，因此，必須有xy.如圖，事件A“兩人可以見面”的可能結(jié)果是陰影部分的區(qū)域故P(A).