精編北師大版數(shù)學(xué)資料§3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量3.1數(shù)乘向量1理解向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(重點(diǎn))2理解向量共線定理，并應(yīng)用其解決相關(guān)問題(難點(diǎn))3會(huì)利用向量共線定理判斷三點(diǎn)共線及線線平行(易混點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理數(shù)乘向量閱讀教材P82P84“例3”以上部分，完成下列問題1數(shù)乘向量及運(yùn)算律(1)向量數(shù)乘的定義一般地，實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a.它的長度和方向規(guī)定如下：|a|a|；當(dāng)>0時(shí)，a與a的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，a與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0.(2)向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)a，b為向量，為實(shí)數(shù)，則向量數(shù)乘滿足：結(jié)合律：(a)()a；分配律：()aaa；(ab)ab.2共線向量定理(1)判定定理a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba，則向量b與非零向量a共線(2)性質(zhì)定理若向量b與非零向量a共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)實(shí)數(shù)與向量a的積還是向量()(2)實(shí)數(shù)與向量a的和a與差a都是向量()(3)對(duì)于非零向量a，向量6a與向量2a方向相反()(4)向量8a的模是向量4a的模的2倍()(5)若ba(a0)，則a與b方向相同或相反()(6)若ab，則存在R，使得ba.()【解析】由數(shù)乘向量的意義知，(1)正確，(2)錯(cuò)誤，(3)正確，(4)正確；(5)當(dāng)b0時(shí)，不能判斷方向相同或相反，因而(5)錯(cuò)誤；(6)當(dāng)a0，b0時(shí)，就不存在實(shí)數(shù)，使ba，故(6)錯(cuò)誤【答案】(1)(2)×(3)(4)(5)×(6)×質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型向量的線性運(yùn)算計(jì)算：(1)3(6ab)9；(2)2；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算【自主解答】(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.1向量數(shù)乘的運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”，這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看成向量的系數(shù)2向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)做未知量，利用解代數(shù)方程的方法求解再練一題1化簡：(1)5(3a2b)4(2b3a)；(2)(a2b)(3a2b)(ab)【解】(1)5(3a2b)4(2b3a)15a10b8b12a3a2b.(2)(a2b)(3a2b)(ab)abab.向量共線定理及應(yīng)用已知e1，e2是不共線的向量，a3e14e2，b6e18e0，判斷a與b是否共線？【精彩點(diǎn)撥】利用向量共線定理進(jìn)行判斷【自主解答】若a與b共線，則存在R.使ab，即3e14e2(6e18e2)，所以(36)e1(48)e20.因?yàn)閑1與e2不共線，所以所以不存在所以a與b不共線1本題充分利用了向量共線定理，即b與a(a0)共線ba，因此用它既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值2向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線再練一題2設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.(1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線(2)若3e1ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值【解】(1)證明：由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2.2e18e2，2，又與有公共點(diǎn)B.A，B，D三點(diǎn)共線(2)由(1)可知e14e2，由3e1ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，得，即3e1ke2e14e2，得解得k12.探究共研型向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用探究1若存在實(shí)數(shù)，使，則A，B，C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？【提示】A，B，C三點(diǎn)共線探究2根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義由()可以得到什么結(jié)論？【提示】與共線探究3向量共線定理有哪兩個(gè)方面的應(yīng)用？【提示】(1)判斷兩個(gè)向量共線，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba(a0)，則a與b共線(2)表示兩個(gè)共線向量之間的關(guān)系若a與b共線(a0)則必存在一個(gè)實(shí)數(shù).使ba.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過OAB的重心的直線交OA于點(diǎn)P，交OB于點(diǎn)Q，a，b，m a，n b，求證：3.【精彩點(diǎn)撥】解答本題可先利用三角形重心性質(zhì)，共線向量基本定理把用表示出來，再用向量求和法則，將其用a，b表示出來，然后表示出，最后利用Q，G，P三點(diǎn)共線，即可得證【自主解答】如圖，設(shè)G是ABC的重心，連接OG并延長，交AB于點(diǎn)F，則×(ab)(ab)，(ab)n bab，m a(ab)ab.Q，G，P三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)k使k，abkakb，化簡得mn3mn，3.1由已知向量表示未知向量時(shí)，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律，還應(yīng)重視平面幾何定理的應(yīng)用2當(dāng)用已知向量表示未知向量比較困難時(shí)，應(yīng)考慮方程思想，利用方程的觀點(diǎn)進(jìn)行求解再練一題3已知ABC中，AB5，AC5，BC6，內(nèi)角平分線的交點(diǎn)為O，若，求實(shí)數(shù)與的和【解】如圖，ABAC5，由已知可得，D為BC的中點(diǎn)，由角的平分線性質(zhì)定理知，即.于是，()，即，.故.構(gòu)建·體系1設(shè)a是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是()Aa與a的方向相反B|a|a|Ca與2a的方向相同 D|a|a【解析】a與2a的方向相同【答案】C2已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點(diǎn)是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66470045】AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D【解析】a2b(5a6b)(7a2b)3a6b3(a2b)3.所以A，B，D三點(diǎn)共線【答案】A3若|a|5，b與a的方向相反，且|b|7，則a_b.【解析】因?yàn)閨a|5，|b|7，所以.又因?yàn)閎與a的方向相反，所以ab.【答案】4在四邊形ABCD中，2，則四邊形ABCD為_(填“梯形、矩形、菱形、平行四邊形”之一)【解析】因?yàn)?，所以四邊形ABCD中有ABDC，AB2CD，所以四邊形ABCD是梯形【答案】梯形5如圖231所示，已知在梯形ABCD中，ABCD且AB3CD.若a，b，試用a，b表示向量.圖231【解】因?yàn)锳BCD，且AB3CD，所以3，a，所以ba.我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_