精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修4學(xué)案:2.3.1 數(shù)乘向量 Word版含解析
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精編【課堂坐標(biāo)】高中數(shù)學(xué)北師大版必修4學(xué)案:2.3.1 數(shù)乘向量 Word版含解析
精編北師大版數(shù)學(xué)資料§3從速度的倍數(shù)到數(shù)乘向量3.1數(shù)乘向量1理解向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(重點(diǎn))2理解向量共線定理,并應(yīng)用其解決相關(guān)問題(難點(diǎn))3會(huì)利用向量共線定理判斷三點(diǎn)共線及線線平行(易混點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理數(shù)乘向量閱讀教材P82P84“例3”以上部分,完成下列問題1數(shù)乘向量及運(yùn)算律(1)向量數(shù)乘的定義一般地,實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量,記作a.它的長度和方向規(guī)定如下:|a|a|;當(dāng)>0時(shí),a與a的方向相同;當(dāng)<0時(shí),a與a的方向相反;當(dāng)0時(shí),a0.(2)向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)a,b為向量,為實(shí)數(shù),則向量數(shù)乘滿足:結(jié)合律:(a)()a;分配律:()aaa;(ab)ab.2共線向量定理(1)判定定理a是一個(gè)非零向量,若存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得ba,則向量b與非零向量a共線(2)性質(zhì)定理若向量b與非零向量a共線,則存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得ba.判斷(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)實(shí)數(shù)與向量a的積還是向量()(2)實(shí)數(shù)與向量a的和a與差a都是向量()(3)對(duì)于非零向量a,向量6a與向量2a方向相反()(4)向量8a的模是向量4a的模的2倍()(5)若ba(a0),則a與b方向相同或相反()(6)若ab,則存在R,使得ba.()【解析】由數(shù)乘向量的意義知,(1)正確,(2)錯(cuò)誤,(3)正確,(4)正確;(5)當(dāng)b0時(shí),不能判斷方向相同或相反,因而(5)錯(cuò)誤;(6)當(dāng)a0,b0時(shí),就不存在實(shí)數(shù),使ba,故(6)錯(cuò)誤【答案】(1)(2)×(3)(4)(5)×(6)×質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后,請(qǐng)將你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流:疑問1:_解惑:_疑問2:_解惑:_疑問3:_解惑:_小組合作型向量的線性運(yùn)算計(jì)算:(1)3(6ab)9;(2)2;(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算【自主解答】(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.1向量數(shù)乘的運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,主要是“合并同類項(xiàng)”“提取公因式”,這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量,實(shí)數(shù)看成向量的系數(shù)2向量也可以通過列方程來解,把所求向量當(dāng)做未知量,利用解代數(shù)方程的方法求解再練一題1化簡:(1)5(3a2b)4(2b3a);(2)(a2b)(3a2b)(ab)【解】(1)5(3a2b)4(2b3a)15a10b8b12a3a2b.(2)(a2b)(3a2b)(ab)abab.向量共線定理及應(yīng)用已知e1,e2是不共線的向量,a3e14e2,b6e18e0,判斷a與b是否共線?【精彩點(diǎn)撥】利用向量共線定理進(jìn)行判斷【自主解答】若a與b共線,則存在R.使ab,即3e14e2(6e18e2),所以(36)e1(48)e20.因?yàn)閑1與e2不共線,所以所以不存在所以a與b不共線1本題充分利用了向量共線定理,即b與a(a0)共線ba,因此用它既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題,也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值2向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示,進(jìn)而互相表示,從而判斷共線再練一題2設(shè)e1,e2是兩個(gè)不共線向量,已知2e18e2,e13e2,2e1e2.(1)求證:A,B,D三點(diǎn)共線(2)若3e1ke2,且B,D,F(xiàn)三點(diǎn)共線,求k的值【解】(1)證明:由已知得(2e1e2)(e13e2)e14e2.2e18e2,2,又與有公共點(diǎn)B.A,B,D三點(diǎn)共線(2)由(1)可知e14e2,由3e1ke2,且B,D,F(xiàn)三點(diǎn)共線,得,即3e1ke2e14e2,得解得k12.探究共研型向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用探究1若存在實(shí)數(shù),使,則A,B,C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何?【提示】A,B,C三點(diǎn)共線探究2根據(jù)數(shù)乘向量的幾何意義由()可以得到什么結(jié)論?【提示】與共線探究3向量共線定理有哪兩個(gè)方面的應(yīng)用?【提示】(1)判斷兩個(gè)向量共線,若存在一個(gè)實(shí)數(shù),使ba(a0),則a與b共線(2)表示兩個(gè)共線向量之間的關(guān)系若a與b共線(a0)則必存在一個(gè)實(shí)數(shù).使ba.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),過OAB的重心的直線交OA于點(diǎn)P,交OB于點(diǎn)Q,a,b,m a,n b,求證:3.【精彩點(diǎn)撥】解答本題可先利用三角形重心性質(zhì),共線向量基本定理把用表示出來,再用向量求和法則,將其用a,b表示出來,然后表示出,最后利用Q,G,P三點(diǎn)共線,即可得證【自主解答】如圖,設(shè)G是ABC的重心,連接OG并延長,交AB于點(diǎn)F,則×(ab)(ab),(ab)n bab,m a(ab)ab.Q,G,P三點(diǎn)共線,則存在實(shí)數(shù)k使k,abkakb,化簡得mn3mn,3.1由已知向量表示未知向量時(shí),要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律,還應(yīng)重視平面幾何定理的應(yīng)用2當(dāng)用已知向量表示未知向量比較困難時(shí),應(yīng)考慮方程思想,利用方程的觀點(diǎn)進(jìn)行求解再練一題3已知ABC中,AB5,AC5,BC6,內(nèi)角平分線的交點(diǎn)為O,若,求實(shí)數(shù)與的和【解】如圖,ABAC5,由已知可得,D為BC的中點(diǎn),由角的平分線性質(zhì)定理知,即.于是,(),即,.故.構(gòu)建·體系1設(shè)a是非零向量,是非零實(shí)數(shù),下列結(jié)論正確的是()Aa與a的方向相反B|a|a|Ca與2a的方向相同 D|a|a【解析】a與2a的方向相同【答案】C2已知向量a,b,且a2b,5a6b,7a2b,則一定共線的三點(diǎn)是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):66470045】AA,B,D BA,B,CCB,C,D DA,C,D【解析】a2b(5a6b)(7a2b)3a6b3(a2b)3.所以A,B,D三點(diǎn)共線【答案】A3若|a|5,b與a的方向相反,且|b|7,則a_b.【解析】因?yàn)閨a|5,|b|7,所以.又因?yàn)閎與a的方向相反,所以ab.【答案】4在四邊形ABCD中,2,則四邊形ABCD為_(填“梯形、矩形、菱形、平行四邊形”之一)【解析】因?yàn)?,所以四邊形ABCD中有ABDC,AB2CD,所以四邊形ABCD是梯形【答案】梯形5如圖231所示,已知在梯形ABCD中,ABCD且AB3CD.若a,b,試用a,b表示向量.圖231【解】因?yàn)锳BCD,且AB3CD,所以3,a,所以ba.我還有這些不足:(1)_(2)_我的課下提升方案:(1)_(2)_