精編北師大版數(shù)學資料【成才之路】2015-2016學年高中數(shù)學 第1章 3反證法課時作業(yè) 北師大版選修2-2一、選擇題1反證法是()A從結(jié)論的反面出發(fā)，推出矛盾的證法B對其否命題的證明C對其逆命題的證明D分析法的證明方法答案A解析反證法是先否定結(jié)論，在此基礎上，運用演繹推理，導出矛盾，從而肯定原結(jié)論的真實性2否定結(jié)論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()A有一個解B有兩個解C至少有三個解D至少有兩個解答案C3應用反證法導出矛盾的推導過程中，要把下列哪些作為條件使用：結(jié)論相反判斷，即假設；原命題的條件；公理、定理、定義等；原結(jié)論()ABC D答案C4“M不是N的子集”的充分必要條件是()A若xM，則xNB若xN，則xMC存在x1M且x1N，又存在x2M且x2ND存在x0M且x0N答案D解析按定義，若M是N的子集，則集合M的任一個元素都是集合N的元素所以，要使M不是N的子集，只需存在x0M，但x0N.故選D.5“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”的否定為()A自然數(shù)a、b、c都是奇數(shù)B自然數(shù)a、b、c都是偶數(shù)C自然數(shù)a、b、c中至少有兩個偶數(shù)D自然數(shù)a、b、c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)答案D解析恰有一個偶數(shù)的否定有兩種情況，其一是無偶數(shù)，其二是至少有兩個偶數(shù)6若a、b、c不全為零，必須且只需()Aabc0Ba、b、c中至少有一個為0Ca、b、c中只有一個是0Da、b、c中至少有一個不為0答案D解析a、b、c不全為零，即a、b、c中至少有一個不為0.二、填空題7某同學準備用反證法證明如下問題：函數(shù)f(x)在0,1上有意義，且f(0)f(1)，如果對于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|<|x1x2|，求證|f(x1)f(x2)|<.那么其反設應該是_答案如果對于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|<|x1x2|，則|f(x1)f(x2)|解析根據(jù)題意知，反證法解題是從假設原命題不成立開始，把結(jié)論的否定作為條件，連同其他條件一起經(jīng)過推斷，得出與已知條件或已有原理相矛盾，從而肯定原命題的正確性這里進行假設時，注意把函數(shù)f(x)在0,1上有意義，且f(0)f(1)剝離出來作為已知條件8用反證法證明命題“若p1p22(q1q2)，則關于x的方程x2p1xq10與x2p2xq20中，至少有一個方程有實數(shù)根”時，應假設為_答案兩個方程都沒有實數(shù)根三、解答題9求證：一個三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60.證明已知A、B、C為ABC的三個內(nèi)角求證：A、B、C中至少有一個不小于60.證明：假設ABC的三個內(nèi)角A、B、C都小于60，即A<60，B<60，C<60，三式相加得ABC<180.這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，A、B、C都小于60的假設不能成立一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不小于60.10已知非零實數(shù)a、b、c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，求證：、不能構(gòu)成等差數(shù)列證明假設、能構(gòu)成等差數(shù)列，則由，于是得bcab2ac.而由于a、b、c構(gòu)成等差數(shù)列，即2bac.所以由兩式得，(ac)24ac，即(ac)20，于是得ac，這與a、b、c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列矛盾故假設不成立，因此、不能構(gòu)成等差數(shù)列.一、選擇題1(2014濟南模擬)設x，y，z>0，則三個數(shù)，()A都大于2 B至少有一個大于2C至少有一個不小于2 D至少有一個不大于2答案C解析假設這三個數(shù)都小于2，則三個數(shù)之和小于6，又()()()2226，與假設矛盾，故這三個數(shù)至少有一個不小于2.另取xyz1，可排除A、B.2(2014山東理，4)用反證法證明命題“設a，b為實數(shù)，則方程x3axb0至少有一個實根”時，要做的假設是()A方程x3axb0沒有實根B方程x3axb0至多有一個實根C方程x3axb0至多有兩個實根D方程x3axb0恰好有兩個實根答案A解析至少有一個實根的否定為：沒有實根反證法的假設為原命題的否定3設a、b、c為一個三角形的三邊，S(abc)，若S22ab，試證S<2A用反證法證明該題時的假設為()AS22ab BS>2aCS2a DS2a答案C解析對“<”的否定應為“”，故選C4如果A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則()AA1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是鈍角三角形CA1B1C1是鈍角三角形，A2B2C2是銳角三角形DA1B1C1是銳角三角形，A2B2C2是鈍角三角形答案D解析由條件知，A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則A1B1C1是銳角三角形，假設A2B2C2是銳角三角形由得那么，A2B2C2，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾所以假設不成立，所以A2B2C2是鈍角三角形二、填空題5“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應是_答案存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角6設有一組圓Ck：(xk1)2(y3k)22k4(kN*)下列四個命題：(1)存在一條定直線與所有的圓均相切(2)存在一條定直線與所有的圓均相交(3)存在一條定直線與所有的圓均不相交(4)所有的圓均不經(jīng)過原點其中真命題的代號是_(寫出所有真命題的代號)答案(2)、(4)解析判斷(1)是否正確用反證法：因為Ck：(xk1)2(y3k)22k4(kN*)表示以(k1,3k)為圓心，以k2為半徑的一組圓，假若存在一條直線AxByC0(A2B20)與所有的圓均相切，則必有k2對于任意kN*恒成立，即k2A(k1)3BkC0恒成立，或k2A(k1)3BkC0恒成立，這是不可能的，故(1)不正確(2)存在直線y3(x1)過所有圓的圓心(3)由于半徑k2隨著k的無限增大而增大，故不存在這樣的直線與所有的圓均不相交(4)由于將x0，y0代入方程中得不到恒等式，故所有的圓不經(jīng)過原點是正確的三、解答題7已知a、b是正有理數(shù)，、是無理數(shù)，證明：必為無理數(shù)證明假設為有理數(shù)，記p，因為a、b是正有理數(shù)，所以p>0.將p兩邊平方，得ap2b2p，所以.因為a、b、p均為有理數(shù)，所以必為有理數(shù)，這與已知條件矛盾，故假設錯誤所以必為無理數(shù)點評數(shù)學中的有些命題，所給條件不足以從正面證明結(jié)論正確，可采用反證法，否定結(jié)論，由此推出與已知或假設矛盾，證得結(jié)論8已知函數(shù)f(x)ax(a>1)(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)0沒有負實數(shù)根分析(1)可直接用定義證明單調(diào)性；(2)應用反證法要注意準確作出反設證明(1)任取x1，x2(1，)，不妨設x1<x2，則x2x1>0.ax2x1>1，且ax1>0，所以ax2ax1ax1(ax2x11)>0.又因為x11>0，x21>0，所以>0.于是f(x2)f(x1)ax2ax1>0，故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)假設存在x0<0(x01)滿足f(x0)0，則ax0.又0<ax0<1，所以0<<1，即<x0<2，與假設矛盾故x0<0不成立，故方程f(x)0沒有負實數(shù)根點評本題第(2)問如果不用反證法證明也可以利用第(1)問函數(shù)單調(diào)性證明，即x<1時，f(x)>0，1<x0時，f(x)f(0)1，故當x<0時，f(x)0，所以無負實數(shù)根