第十一篇復(fù)數(shù)、算法、推理與證明(必修3、選修12)第1節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能【選題明細(xì)表】知識點(diǎn)、方法題號復(fù)數(shù)的相關(guān)概念3、6、8、9、11、15復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1、2、4復(fù)數(shù)的幾何意義3、5、12、13復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用7、10復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用14、16A組一、選擇題1.(2012年高考遼寧卷)復(fù)數(shù)2-i2+i等于(A)(A)35-45i(B)35+45i(C)1-45i(D)1+35i解析:2-i2+i=(2-i)2(2+i)(2-i)=3-4i5=35-45i.故選A.2.(2013潮州二模)設(shè)i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)i2+i等于 (A)(A)15+25i (B) -15+25i (C)15-25i (D)-15-25i 解析:i2+i=i(2-i)(2+i)(2-i)=2i+15=15+25i.故選A.3.(2013汕頭二模)已知i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(1+ai)(2+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a等于(A)(A)2(B)12(C)-12(D)-2解析:由(1+ai)(2+i)=2-a+(2a+1)i是純虛數(shù)得2-a=0,2a+10,解得a=2.故選A.4.(2013廣東高三聯(lián)考)復(fù)數(shù)-i+1-i1+i等于(A)(A)-2i(B)12i(C)0(D)2i解析:-i+1-i1+i=-i-i=-2i,選A.5.( 2013廣州高三調(diào)研)已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)i(2-3i)對應(yīng)的點(diǎn)位于(A)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:i(2-3i)=2i-3i2=3+2i,其對應(yīng)的點(diǎn)為(3,2),位于第一象限,故選A.6.(2013年高考廣東卷)若i(x+yi)=3+4i,x,yR,則復(fù)數(shù)x+yi的模是(D)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:法一 i(x+yi)=3+4i,-y+xi=3+4i,x=4,y=-3.故|x+yi|=|4-3i|=5.法二 i(x+yi)=3+4i,(-i)i(x+yi)=(-i)(3+4i)=4-3i.即x+yi=4-3i,故|x+yi|=|4-3i|=5.故選D.7.若(x-i)i=y+2i,x、yR,則復(fù)數(shù)x+yi等于(B)(A)-2+i(B)2+i(C)1-2i(D)1+2i解析:(x-i)i=xi+1.又(x-i)i=y+2i.由復(fù)數(shù)相等可知x=2,y=1,所以x+yi=2+i.故選B.二、填空題8.(2013年高考重慶卷)已知復(fù)數(shù)z=5i1+2i(i是虛數(shù)單位),則|z|=.解析:|z|=|5i1+2i|=|5i(1-2i)5|=|i+2|=5.答案:59.(2013年高考湖北卷)i為虛數(shù)單位,設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,若z1=2-3i,則z2=.解析:(2,-3)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是(-2,3),z2=-2+3i.答案:-2+3i10.(2013年高考天津卷)已知a,bR,i是虛數(shù)單位.若(a+i)(1+i)=bi,則a+bi=.解析:由(a+i)(1+i)=bi可得(a-1)+(a+1)i=bi,因此a-1=0,a+1=b.解得a=1,b=2,故a+bi=1+2i.答案:1+2i11.若定義abcd=ad-bc(a,b,c,d為復(fù)數(shù)),則2i3i3ii(3-2i)(i為虛數(shù)單位)的實(shí)部為.解析:由定義可得2i3i3ii(3-2i)=2ii(3-2i)-3i3i=3+4i.故其實(shí)部為3.答案:312.(2013東莞市二模)復(fù)數(shù)(1+2i)i(其中i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.解析:(1+2i)i=-2+i,在復(fù)平面對應(yīng)點(diǎn)為(-2,1),位于第二象限.答案:二三、解答題13.已知i是虛數(shù)單位,若實(shí)數(shù)x、y滿足(1+i)(x+yi)=(1-i)(2+3i),試判斷點(diǎn)P(x,y)所在的象限.解:已知等式可化為(x-y)+(x+y)i=5+i,根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等的條件得,x-y=5,x+y=1,解得x=3,y=-2,所以點(diǎn)P在第四象限.14.設(shè)復(fù)數(shù)z=-3cos+2isin.(1)當(dāng)=43時(shí),求|z|的值;(2)若復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)在直線x+3y=0上,求2cos22-12sin+4的值.解:(1)=43,z=-3cos 43+2isin 43=32-3i,|z|=322+(-3)2=212.(2)由條件得,-3cos +6sin =0,cos 0,tan =12,原式=cossin+cos=1tan+1=23.B組15.(2013年高考山東卷)復(fù)數(shù)z=(2-i)2i(i為虛數(shù)單位),則|z|等于(C)(A)25 (B)41(C)5(D)5解析:z=(2-i)2i=4-4i+i2i=3-4ii=-4-3i.|z|=(-4)2+(-3)2=5 .故選C.16.已知關(guān)于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)有實(shí)數(shù)根b.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值.(2)若復(fù)數(shù)滿足|z-a-bi|-2|z|=0,求z為何值時(shí),|z|有最小值,并求出|z|的最小值.解:(1)b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)的實(shí)根,(b2-6b+9)+(a-b)i=0,b2-6b+9=0,a=b,解得a=b=3.(2)設(shè)z=s+ti(s,tR),其對應(yīng)點(diǎn)為Z(s,t),由|z-3-3i|=2|z|,得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),即(s+1)2+(t-1)2=8,Z點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1(-1,1)為圓心,22為半徑的圓,如圖所示,當(dāng)Z點(diǎn)在OO1的連線上時(shí),|z|有最大值或最小值.|OO1|=2,半徑r=22,當(dāng)z=1-i時(shí),|z|有最小值且|z|min=2.