精編北師大版數(shù)學(xué)資料【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)綜合測(cè)試 北師大版選修2-2時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1曲線yex在點(diǎn)A(0,1)處的切線斜率為()A1 B 2 Ce D答案A解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，ky|x0e01.2已知使函數(shù)yx3ax2a的導(dǎo)數(shù)為0的x值也使y值為0，則常數(shù)a的值為()A0 B±3C0或±3 D非以上答案答案C解析求出使y0的值的集合，再逐一檢驗(yàn)y3x22ax.令y0，得x0或xA由題設(shè)x0時(shí)，y0，故a0，則a0.且知當(dāng)x2，a3或x2，a3時(shí)，也成立故選C3設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件 1，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率為()A1 B2C1 D2答案B解析因?yàn)閒(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且 1，所以 1，所以2，即f(1)2，所以yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為2.4運(yùn)動(dòng)方程為s2t2，則t2的速度為()A4 B8C10 D12答案B解析本題考查導(dǎo)數(shù)的物理意義，求導(dǎo)過程應(yīng)注意對(duì)求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則的靈活應(yīng)用s2t22t2t2t12t2，s2t3t24t.v2×4×28，故選B.5函數(shù)yf(x)的圖象過原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像是如圖所示的一條直線，則yf(x)的圖像的頂點(diǎn)在()A第象限B第象限C第象限D(zhuǎn)第象限答案A解析顯然yf(x)為二次函數(shù)，設(shè)為f(x)ax2bxc(a0)，則yf(x)2axb.由圖像知a<0，b>0.又由已知函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，c0，頂點(diǎn)為(，)，因而yf(x)的頂點(diǎn)在第象限6若函數(shù)y在xx0處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，則x0的值()A等于0 B等于1C等于 D不存在答案C解析y，當(dāng)xx0時(shí)，y，y.由題意，知yy0，即ex0(x01)ex0·x00，所以x0.7.(2014·鄒城一中月考，9)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)2f(2x)x28x8，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程是()Ay2x1 ByxCy3x2 Dy2x3答案A解析f(x)2f(2x)x28x8，f(2x)2f(x)(2x)28(2x)82f(x)x24x4.將代入，得f(x)4f(x)2x28x8x28x8.f(x)x2，y2x.yf(x)在(1，f(1)處的切線斜率為y|x12.函數(shù)yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為y12(x1)，即y2x1.8.設(shè)函數(shù)f(x)x3x2tan，其中，則導(dǎo)數(shù)f(1)的取值范圍是()A2,2 B，C，2 D，2答案D解析f(x)x2sinxcos，f(1)sincos2sin()，0，sin()，1，f(1)，2故選D.9若曲線xya(a0)，則過曲線上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是()A2a2 Ba2C2|a| D|a|答案C解析設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，曲線的方程即為y，y，故切線斜率為，切線方程為y(xx0)令y0得x2x0，即切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,0)；令x0得y，即切線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.故切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為×|2x0|×2|a|.10若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線yx3和yax2x9都相切，則a等于()A1或 B1或C或 D或7答案A解析考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求曲線的切線方程問題設(shè)過(1,0)的直線與yx3相切于點(diǎn)(x0，x)，所以切線方程為yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切線上，則x00或x0.x00時(shí)，由y0與yax2x9相切得a當(dāng)x0時(shí)，由yx與yax2x9相切得a1，所以選A二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11已知曲線yx3，則在點(diǎn)P(2,3)的切線方程是_答案4xy40解析yx2，當(dāng)x2時(shí)，y4.切線的斜率為4.切線的方程為y34(x2)，即4xy50.12球的半徑從1增加到3時(shí)，球的體積平均膨脹率為_答案解析y×33×13，V.13設(shè)f(x)是偶函數(shù)，若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率為1，則該曲線在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率為_答案1解析考查偶函數(shù)性質(zhì)偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則曲線上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)的切線也關(guān)于y軸對(duì)稱，斜率互為相反數(shù)斜率為1.14已知0<x<，f(x)x2，g(x)，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是_答案f(x)<g(x)解析由題意，得f(x)2x，g(x).由0<x<，知0<f(x)<，g(x)>1，故f(x)<g(x)15函數(shù)ycosx·cos2x·cos4x的導(dǎo)數(shù)為_答案y解析ycosx·cos2x·cos4x·，y·.三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx(x2)；(2)y(1)(1)；解析(1)yx(x2)x31，y3x2.(2)y(1)(1)xx，yxx·(1)17設(shè)曲線C：yx33x和直線xa(a>0)的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)P的曲線C的切線與x軸交于點(diǎn)Q(a,0)，求a的值解析依題意，解得P(a，a33a)，y3x23所以過點(diǎn)P的曲線C的切線方程為：y(a33a)(3a23)(xa)令y0得切線與x軸的交點(diǎn)為(，0)則有a解得a±或a0，由已知a>0，a.18已知曲線C1：yx2與C2：y(x2)2，直線l與C1、C2都相切求直線l的方程解析設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1，x)，與C2相切于點(diǎn)Q(x2，(x22)2)對(duì)于C1，y2x，則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為yx2x1(xx1)，即y2x1xx.對(duì)于C2，y2(x2)，則與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為y(x22)22(x22)(xx2)，即y2(x22)xx4.兩切線重合，解得或，直線l的方程為y0或y4x4.19.(1)求曲線yf(x)x32x在點(diǎn)(1，1)處的切線方程；(2)過曲線yf(x)x32x上的點(diǎn)(1，1)的切線方程分析要注意(1)(2)中的不同之處，在點(diǎn)(1，1)處的切線方程即(1，1)為切點(diǎn)，而過點(diǎn)(1，1)的切線方程中切點(diǎn)需設(shè)出后，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義(可利用斜率相等)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)后再求切線方程解析(1)由題意f(x)3x22，f(1)1，點(diǎn)(1，1)處的切線的斜率k1，其方程為y1x1，即xy20.(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則y0x2x0，則切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值f(x0)3x2；若點(diǎn)(1，1)為切點(diǎn)，由(1)知切線方程為xy20；若點(diǎn)(1，1)不為切點(diǎn)，則3x2(x01)，即3x2，3x2x03x1x2x0.2x3x10，即(x01)(2xx01)0.x01或x0，其中x01舍去則切點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，斜率為f()3×()22.切線方程為5x4y10.過點(diǎn)(1，1)的切線方程為xy20或5x4y10.點(diǎn)評(píng)利用導(dǎo)數(shù)求切線方程時(shí)要注意：求在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程，與經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程求法不同，后者需要先把切點(diǎn)設(shè)出來20.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2.(1)求x<0時(shí)，f(x)的表達(dá)式；(2)令g(x)lnx，問是否存在x0，使得f(x)，g(x)在xx0處的切線互相平行？若存在，請(qǐng)求出x0的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解析(1)當(dāng)x<0時(shí)，x>0，f(x)f(x)2(x)22x2.(2)若f(x)，g(x)在x0處的切線互相平行，則f(x0)g(x0)，且x0>0，故f(x0)4x0g(x0)，解得x0±.x0>0，x0.21.已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR)，若x0,1，f(x)圖像上任意一點(diǎn)處切線的斜率為k，當(dāng)|k|1時(shí)，求a的范圍解析f(x)3x22ax，kf(x)3x22ax.由|k|1知|3x22ax|1(0x1)，即|3(x)2|1在x0,1上恒成立又f(0)0，當(dāng)<0，即a<0時(shí)，32a1，即a1.故無解；當(dāng)01，即0a3時(shí)，得1a；當(dāng)>1，即a>3時(shí)，32a1得a2，此時(shí)無解綜上知1a，a的范圍為1，