精編北師大版數(shù)學(xué)資料【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用綜合測試 北師大版選修2-2時間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1下列函數(shù)存在極值的是()Ay2xByCy3x1 Dyx2答案D解析畫出圖像即可知yx2存在極值f(0)0.2曲線y在點(1，1)處的切線方程為()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2答案A解析y，ky|x12，切線方程為y12(x1)，即y2x1.3已知對任意實數(shù)x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)當(dāng)x>0時，f(x)>0，g(x)>0，則當(dāng)x<0時，下列各式正確的是()Af(x)>0，g(x)>0 Bf(x)>0，g(x)<0Cf(x)<0，g(x)>0 Df(x)<0，g(x)<0答案B解析由題意f(x)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；g(x)為偶函數(shù)，在對稱區(qū)間的單調(diào)性相反又由x>0時，f(x)是增函數(shù)，g(x)是增函數(shù)，x<0時，f(x)是增函數(shù)，g(x)是減函數(shù)，f(x)>0，g(x)<0.4對任意的xR，函數(shù)f(x)x3ax27ax不存在極值點的充要條件是()A0a21 Ba0或a7Ca<0或a>21 Da0或a21答案A解析f(x)3x22ax7A當(dāng)4a284a0，即0a21時，f(x)0恒成立，函數(shù)不存在極值點5如圖是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象，則下列結(jié)論正確的是()A在區(qū)間(3,1)內(nèi)f(x)是增函數(shù)B在區(qū)間(1,2)內(nèi)f(x)是減函數(shù)C在區(qū)間(4,5)內(nèi)f(x)是增函數(shù)D當(dāng)x2時，f(x)取極小值答案C解析由題中圖象可知，當(dāng)x(4,5)時，f(x)>0，f(x)在(4,5)內(nèi)為增函數(shù)6若函數(shù)yf(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，則f(x0)0是x0為函數(shù)yf(x)的極值點的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案B解析如yx3，y3x2，y|x00，但x0不是函數(shù)yx3的極值點7設(shè)函數(shù)f(x)lnx，則()Ax為f(x)的極大值點Bx為f(x)的極小值點Cx2為f(x)的極大值點Dx2為f(x)的極小值點答案D解析本節(jié)考查了利用導(dǎo)數(shù)工具來探索其極值點問題f(x)(1)0可得x2.當(dāng)0<x<2時，f(x)<0，f(x)遞減，當(dāng)x>2時f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增所以x2為極小值點對于含有對數(shù)形式的函數(shù)在求導(dǎo)時，不要忽視定義域8(2014武漢實驗中學(xué)高二期末)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf(x)的圖象如下圖所示，則導(dǎo)函數(shù)yf (x)的圖象可能是()答案A解析f(x)在(，0)上為增函數(shù)，在(0，)上變化規(guī)律是減增減，因此f (x)的圖象在(，0)上，f (x)>0，在(0，)上f (x)的符號變化規(guī)律是負(fù)正負(fù)，故選A9函數(shù)f(x)sinx2xf()，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，令a，blog32，則下列關(guān)系正確的是()Af(a)>f(b) Bf(a)<f(b)Cf(a)f(b) Df(|a|)<f(b)答案A解析f(x)cosx2f( )，f()cos2f()，即f().f(x)sinxx.又f(x)cosx10，故f(x)在R上遞減又<log32，f()>f(log32)，即f(a)>f(b)10.(2015新課標(biāo)，12)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x0時，xf(x)f(x)0，則使得f(x)0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)答案A解析記函數(shù)g(x)，則g(x)，因為當(dāng)x>0時，xf(x)f(x)<0，故當(dāng)x>0時，g(x)<0，所以g(x)在(0，)單調(diào)遞減；又因為函數(shù)f(x)(xR)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(，0)單調(diào)遞減，且g(1)g(1)0.當(dāng)0<x<1時，g(x)>0，則f(x)>0；當(dāng)x<1時，g(x)<0，則f(x)>0，綜上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(，1)(0,1)，故選A二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11(2014湖北重點中學(xué)高二期中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax3ax22ax2a1的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，)解析f (x)ax2ax2aa(x1)(x2)，由f(x)的圖象經(jīng)過四個象限知，若a>0，則此時無解；若a<0，則<a<，綜上知，<a<.12函數(shù)yxex的最小值為_答案解析y(x1)ex0，x1.當(dāng)x<1時，y<0，當(dāng)x>1時y>0yminf(1)13若函數(shù)f(x)(a>0)在1，上的最大值為，則a的值為_答案1解析f(x).當(dāng)x>時f(x)<0，f(x)在(，)上是遞減的，當(dāng)<x<時，f(x)>0，f(x)在(，)上是遞增的當(dāng)x時，f()，<1，不合題意f(x)maxf(1)，解得a1.14一工廠生產(chǎn)某型號車床，年產(chǎn)量為N臺，分批進(jìn)行生產(chǎn)，每批生產(chǎn)量相同，每批生產(chǎn)的準(zhǔn)備費為C2元，產(chǎn)品生產(chǎn)后暫存庫房，然后均勻投放市場(指庫存量至多等于每批的生產(chǎn)量)設(shè)每年每臺的庫存費為C1元，求在不考慮生產(chǎn)能力的條件下，每批生產(chǎn)該車床_臺，一年中庫存費和生產(chǎn)準(zhǔn)備費之和最小答案解析設(shè)每批生產(chǎn)x臺，則一年生產(chǎn)批一年中庫存費和生產(chǎn)準(zhǔn)備費之和yC1x(0<x<N)yC1.由y0及0<x<N，解得x(臺)根據(jù)問題的實際意義，y的最小值是存在的，且y0有唯一解故x臺是使費用最小的每批生產(chǎn)臺數(shù)15.(2014泉州實驗中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)x33x，若過點A(1，m)(m2)可作曲線yf(x)的三條切線，則實數(shù)m的取值范圍為_答案(3，2)解析f (x)3x23，設(shè)切點為P(x0，y0)，則切線方程為y(x3x0)(3x3)(xx0)，切線經(jīng)過點A(1，m)，m(x3x0)(3x3)(1x0)，m2x3x3，m6x6x0，當(dāng)0<x0<1時，此函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x0<0或x0>1時，此函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x00時，m3，當(dāng)x01時，m2，當(dāng)3<m<2時，直線ym與函數(shù)y2x3x3的圖象有三個不同交點，從而x0有三個不同實數(shù)根，故過點A(1，m)可作三條不同切線，m的取值范圍是(3，2)三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，f(x)在x0處取得極值，并且在區(qū)間0,2和4,5上具有相反的單調(diào)性(1)求實數(shù)b的值；(2)求實數(shù)a的取值范圍解析(1)由導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則得，f(x)3x22axb，因為f(x)在x0處取得極值，所以f(0)0，即得b0.(2)令f(x)0，即3x22ax0，解得x0或xA依題意有a>0.因為函數(shù)在單調(diào)區(qū)間0,2和4,5上具有相反的單調(diào)性，所以應(yīng)有2a4，解得6a3.17.求證：x>0時，12x<e2x.分析利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式是常用的方法之一，而函數(shù)的單調(diào)性，可利用其導(dǎo)函數(shù)的符號確定證明設(shè)f(x)12xe2x，則f(x)22e2x2(1e2x)當(dāng)x>0時，e2x>1，f(x)2(1e2x)<0，所以函數(shù)f(x)12xe2x在(0，)上是減函數(shù)當(dāng)x>0時，f(x)<f(0)0，即當(dāng)x>0時，12xe2x<0，即12x<e2x.18.(2014山東文，20)設(shè)函數(shù)f(x)alnx，其中a為常數(shù)(1)若a0，求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. 解析(1)f(x)的定義域為(0，)f(x)a0，f(x)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線的斜率kf(1)，而f(1)0.所求切線方程為y(x1)，即x2y10.(2)f(x)1當(dāng)a0時，f(x)>0，f(x)在(0，)遞增令g(x)ax22(a1)xa4(a1)24a28a42當(dāng)a>0時，>0，此時g(x)0的兩根x1，x2a>0，x1<0，x2<0.g(x)>0，x(0，)，f(x)>0故f(x)在(0，)遞增3當(dāng)a<0時，8a40，即a時，g(x)0，f(x)0.故f(x)在(0，)遞減當(dāng)>0，即<a<0時，x1>0，x2>0令f(x)>0，x(x1，x2)，f(x)<0，x(0，x1)(x2，)f(x)在(x1，x2)遞增，在(0，x1)和(x2，)上遞減綜上所述：當(dāng)a0時，f(x)在(0，)遞增當(dāng)<a<0時，f(x)在(x1，x2)遞增，在(0，x1)和(x2，)遞減(其中x1，x2)當(dāng)a時，f(x)在(0，)遞減19已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y4x2在x軸上方的曲線上，求矩形的面積最大時的邊長分析如圖，設(shè)出AD的長，進(jìn)而求出|AB|表示出面積S，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值解析設(shè)矩形邊長為AD2x，則|AB|y4x2，則矩形面積S2x(4x2)(0<x<2)，即S8x2x3，S86x2，令S0，解得x1，x2(舍去)當(dāng)0<x<時，S>0；當(dāng)<x<2時，S<0，當(dāng)x時，S取得最大值，此時，S最大，y.即矩形的邊長分別為、時，矩形的面積最大點評本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程，求出矩形的另一邊長20(2014重慶文，19)已知函數(shù)f(x)lnx，其中aR，且曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值解析(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，且切線與yx垂直得f(1)a12，a.(2)由(1)知f(x)lnx，f(x).令f(x)0解得x1或5，1不在定義域之內(nèi)故舍去當(dāng)x(0,5)，f(x)<0，f(x)在(0,5)遞減當(dāng)x(5，)，f(x)>0，f(x)在(5，)遞增f(x)的增區(qū)間為(5，)，減區(qū)間為(0,5)f(x)在x5時取極小值f(5)ln5ln5.21.設(shè)函數(shù)f(x)exax2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時，(xk)f (x)x1>0，求k的最大值分析(1)先確定函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)函數(shù)f (x)，因不確定a的正負(fù)，故應(yīng)討論，結(jié)合a的正負(fù)分別得出在每一種情況下f (x)的正負(fù)，從而確立單調(diào)區(qū)間；(2)分離參數(shù)k，將不含有參數(shù)的式子看作一個新函數(shù)g(x)，將求k的最大值轉(zhuǎn)化為求g(x)的最值問題解析(1)f(x)的定義域為(，)，f (x)exA若a0，則f (x)>0，所以f(x)在(，)單調(diào)遞增若a>0，則當(dāng)x(，lna)時，f (x)<0；當(dāng)x(lna，)時，f (x)>0，所以f(x)在(，lna)單調(diào)遞減，在(lna，)單調(diào)遞增綜上，a0時f(x)增區(qū)間(，)a>0時f(x)增區(qū)間(lna，)，減區(qū)間(，lna)(2)由于a1，所以(xk)f (x)x1(xk)(ex1)x1.故當(dāng)x>0時，(xk)f (x)x1>0等價于k<x(x>0)令g(x)x，則g(x)1.由(1)知，函數(shù)h(x)exx2在(0，)單調(diào)遞增而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，)存在唯一的零點故g(x)在(0，)存在唯一的零點設(shè)此零點為，則(1,2)當(dāng)x(0，)時，g(x)<0；當(dāng)x(，)時，g(x)>0.所以g(x)在(0，)的最小值為g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等價于k<g()，故整數(shù)k的最大值為2.點評本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及參數(shù)的取值范圍的求法利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍時，經(jīng)常需將參數(shù)分離出來，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，求得參數(shù)的取值范圍