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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 第二章 一元二次方程 回顧與思考 一、學(xué)生知識狀況分析 學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級和八年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程以及一次函數(shù)的相關(guān)知識及應(yīng)用，在本章中，又學(xué)習(xí)了一元二次方程的相關(guān)解法，初步體會了一元二次方程在解決實際問題中的具體應(yīng)用，具備了利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力； 學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了由具體問題抽象出數(shù)學(xué)模型的過程，初步積累了一定的數(shù)學(xué)建模方法；同時在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的機會，具有一定的合作學(xué)習(xí)經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力. 二、教學(xué)任務(wù)分析 本

2、節(jié)課是一元二次方程的復(fù)習(xí)課，對于本章的基礎(chǔ)知識，學(xué)生已大致掌握.本節(jié)課以梳理、鞏固基礎(chǔ)知識為起點，重點解決在學(xué)生中存在的易錯點與混淆點；實際應(yīng)用是方程建模思想的具體體現(xiàn)，學(xué)生往往感到有一定的難度，本節(jié)課以此為重點，從簡單的實際問題入手，逐步加深對建模思想的理解.為此，設(shè)置本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下： 1、知識與技能： ①經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型； ②能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實際問題，幫助學(xué)生認(rèn)識到運用方程解決實際問題的關(guān)鍵是確定題目中蘊含的等量關(guān)系；并且能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，進一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、

3、解決問題的意識和能力； ③了解一元二次方程及其相關(guān)概念，會用配方法、公式法、因式分解法解簡單的一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想； 2、過程與方法： ①通過讓學(xué)生經(jīng)歷將多種實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型； ②通過小組合作學(xué)習(xí)，經(jīng)歷一題多解等過程，發(fā)展學(xué)生多角度思考問題的方法. 情感與態(tài)度： ①通過對方程的認(rèn)識、一題多解的思維展示，發(fā)展學(xué)生勇于展示自己的品質(zhì)； ②在解決富有挑戰(zhàn)性的問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生敢于直面困難、勇于挑戰(zhàn)的良好品質(zhì)，鼓勵學(xué)生大膽嘗試，體會成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 三

4、、教學(xué)過程分析 本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：課前準(zhǔn)備---構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)；第二環(huán)節(jié)：基礎(chǔ)知識重現(xiàn)；第三環(huán)節(jié)：情境中合作學(xué)習(xí)；第四環(huán)節(jié)：鞏固提高；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè). 第一環(huán)節(jié)：課前準(zhǔn)備----構(gòu)建知識結(jié)構(gòu) 活動內(nèi)容：在授完本章新課知識后，讓學(xué)生重新回顧本章內(nèi)容，整理出本章的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，理清各板塊內(nèi)容間的聯(lián)系.此活動內(nèi)容在上課前一天布置，讓每一位學(xué)生都提前做好準(zhǔn)備.上課時，選取有代表性的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)進行全班展示，其他同學(xué)對照自己的總結(jié)查缺補漏.同時，教師展示一下本章的框架，指出本節(jié)課的重點是：利用一元二次方程解決實際問題. 活動目的：學(xué)生在整理本章知識結(jié)構(gòu)

5、的同時，可以回顧本章的重點內(nèi)容，細細體會解一元二次方程的“轉(zhuǎn)化”思想，找尋利用方程解決實際問題的關(guān)鍵. 活動的實際效果：基于對學(xué)生兩年來的不間斷訓(xùn)練，絕大分學(xué)生可以對本章的主要內(nèi)容以及注意點詳細地總結(jié)出來，只是呈現(xiàn)形式略微不同.但也有少數(shù)同學(xué)只是泛泛地停留在書本上的定義、黑體字上，對于更深入的內(nèi)容總結(jié)不到位，這部分同學(xué)在教學(xué)中往往也是需要特別關(guān)注的同學(xué)，需要我們教師從各方面來激發(fā)他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣. 附部分學(xué)生的作業(yè)： 學(xué)生A的本章知識結(jié)構(gòu) ㈠ 問題情景---- —元二次方程 1、定義：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠

6、0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程. ⑴ 直接開平方法 ⑵ 配方法 ⑶ 公式法 ax2+bx+c=0 (a≠0，b2-4ac≥0)的解為： ⑷因式分解法 2、解法： 3、應(yīng)用 ：其關(guān)鍵是能根據(jù)題意找出等量關(guān)系. ㈡本章的重點：一元二次方程的解法和應(yīng)用. ㈢本章的難點：應(yīng)用一元二次方程解決實際問題的方法. 學(xué)生B的本章知識結(jié)構(gòu)： 本章的知識體系包括三大部分： （一）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程.在這

7、里應(yīng)注意的問題是：⑴只含有一個未知數(shù)；⑵未知數(shù)的最高指數(shù)必須是2；(3)二次項系數(shù)不為0） （二）一元二次方程的解法：一元二次方程的常用解法有：⑴ 直接開平方法；⑵ 配方法；⑶ 公式法；⑷因式分解法.（注意：在運用配方法解一元二次方程時，一般先將二次項系數(shù)化為1；在運用公式法解一元二次方程時，必須先將方程化為ax2+bx+c=0 (a≠0)的形式，同時判斷b2-4ac是否≥0，如果b2-4ac≥0，才可用公式求解），并由此推導(dǎo)出如何判斷一元二次方程的根的情況的方法。 （三）一元二次方程的應(yīng)用：花邊、道路寬度（P42 引例）；梯子滑動（P43 引例）；養(yǎng)雞場問題（P56 2）；古算題（P65

8、 1）；簡單動點問題（P66 2）；利潤問題（P66 例2）（其關(guān)鍵是能找出題目中的等量關(guān)系，列出方程） 本章的重點和難點是：一元二次方程的解法和應(yīng)用. 第二環(huán)節(jié)：基礎(chǔ)知識重現(xiàn) 內(nèi)容：以投影形式展示一組基礎(chǔ)題目，內(nèi)容涉及一元二次方程的定義和解法.其中，1、2小題采取口答形式，第3、4小題對比來做，體會其中的方法，第5小題采取3個同學(xué)分別板演、其他同學(xué)糾錯、教師集中規(guī)范的方式來解決. 1、當(dāng)m 時，關(guān)于x的方程(m－1)+5+mx=0是一元二次方程. 2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，當(dāng)m 時，是一元二次方程；當(dāng)m 時，是一元一次方程.

9、 3、將一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是 ；此方程的根是 . 4、用配方法解方程x2+8x+9=0時，應(yīng)將方程變形為 ( ) A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=－9 C.(x+4)2=25 D.(x+4)2=－7 5、解下列一元二次方程 (1) 4x2－16x+15=0 (用配方法解) (2) 9－x2=2x2－6x(用分解因式法解) (3) (x＋1)(2－x)=1 (選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń? 目的：上述這一組題目主要目的是鞏

10、固對一元二次方程定義的理解、熟練地解一元二次方程.其中，第1、2小題對比，加深學(xué)生對一元二次方程和一元一次方程定義的理解；第3、4小題均是對一元二次方程配方法掌握程度的檢驗，同時，這部分內(nèi)容所涉及的方法也是后續(xù)“二次函數(shù)”學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，此處，也為二次函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定一定的基礎(chǔ)；第5小題設(shè)置三道小題，分別限定方法讓學(xué)生來解一元二次方程，讓學(xué)生熟練方程的解法. 實際效果：對于第1題，學(xué)生普遍掌握比較好，但對于與之對比的第2題，有部分同學(xué)存在一定的問題，尤其是對于何時是一元一次方程，更是沒有思路，通過這兩道題的對比，使學(xué)生對方程的定義更加深了理解，也明確了判斷一個方程是何類方程時，不僅要關(guān)注未知數(shù)的次

11、數(shù)，還要注意系數(shù)；對于第5小題中的第（3）小題，部分學(xué)生直接用分解因式法來做，這也是本題設(shè)置的一個重要意圖：當(dāng)方程中等式右側(cè)不為0時，不可以直接用分解因式法來做，而要先化成一般形式，再具體選用方法.通過這幾道題，讓學(xué)生關(guān)注了方程中的易錯點，對于今后的學(xué)習(xí)也作了部分鋪墊. 第三環(huán)節(jié)：情境中合作學(xué)習(xí) 內(nèi)容：在本環(huán)節(jié)中，選擇具有代表性的三類實際問題：利潤問題、簡單動點問題、周長一定的面積問題作為例題及小組合作學(xué)習(xí)的題目，其中的1、3小題作為例題，2、4小題作為小組合作學(xué)習(xí)的題目，仿照例題的分析方式小組合作完成，第5題作為師生互動的題目.選擇第1題作為例題規(guī)范板書，其余題目只需分析、列方程即可

12、. 對于第1題，可以從以下幾個方面提出問題，幫助學(xué)生分析問題、解決問題： （1）成本為多少？（2）“如果以20元/支的價格銷售，每月可以售出200支”在本題中的作用是什么？（3）“售價每上漲1元就少賣10支”的作用？（4）利潤的表達形式有哪幾種？（5）本題中的等量關(guān)系是什么？ 在用一種方法解決完本題之后，可以讓學(xué)生嘗試其它的思路，進行一題多解. 對于第3題，可以從以下幾個方面入手分析： （1）題目中的等量關(guān)系是什么？（2）點P、Q移動的過程中，哪個量是相同的？（3）如何求出△PCQ的面積？（4）如何求出Rt△ACB面積？ 對于第5題，著重于第（4）（5）兩個小問題，需要借助于一定的

13、經(jīng)驗加以解決.同時，此題是典型的二次函數(shù)最值問題，放在此處，給學(xué)生一個直觀的感受. 1、新竹文具店以16元/支的價格購進一批鋼筆，根據(jù)市場調(diào)查，如果以20元/支的價格銷售，每月可以售出200支；而這種鋼筆的售價每上漲1元就少賣10支.現(xiàn)在商店店主希望銷售該種鋼筆月利潤為1350元，則該種鋼筆該如何漲價？此時店主該進貨多少？ A B C P Q 2、新新商場以16元/件的價格購進一批襯衫，根據(jù)市場調(diào)查，如果以20元/件的價格銷售，每月可以售出200件；而這種襯衫的售價每上漲1元就少賣10件.現(xiàn)在商場經(jīng)理希望銷售該種襯衫月利潤為1350元，而且，經(jīng)理希望用于購進這批襯衫的資金不多于1

14、500元，則該種襯衫該如何定價？此時該進貨多少？ 3、如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，點P、Q同時由A、B兩點出發(fā)分別沿AC，BC方向向點C勻速運動，已知點P移動的速度是20cm/s，點Q移動的速度是10cm/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的？ C B P Q A 4、如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°， AC=6m，BC=8m，點P、Q同時由A、B兩點出發(fā)分別沿AC，BC方向向點C勻速運動，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？ A B C D 5、新苑小區(qū)的物業(yè)管理部門

15、為了美化環(huán)境，在小區(qū)靠墻的一側(cè)設(shè)計了一處長方形花圃(墻長25m)，三邊外圍用籬笆圍起，栽上蝴蝶花，共用籬笆40m， (1) 花圃的面積能達到180m2嗎？ (2) 花圃的面積能達到200m2嗎？ (3) 花圃的面積能達到250m2嗎？ 如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由． (4) 你能根據(jù)所學(xué)過的知識求出花圃的最大面積嗎？此時，籬笆該怎樣圍？ A B C D (5) 如果想在花圃中栽種兩種不同的蝴蝶花，需要在花圃中再加一道籬笆，若不想改變籬笆的總長度，那么，此時花圃的最大面積會是多少，籬笆該怎樣圍？ 目的：讓學(xué)生熟悉一元二次方程應(yīng)用中的幾種主要模型，明確解決

16、各類問題的關(guān)鍵是找尋題目中蘊含的等量關(guān)系；另外，這幾種問題情景也是在二次函數(shù)中頻繁出現(xiàn)的實際問題，若在此處有一個良好的基礎(chǔ)，勢必會對學(xué)習(xí)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)起到事半功倍的效果. 實際效果：將1、3兩道小題作為例題，學(xué)生徹底理解透徹后，本章的基本應(yīng)用學(xué)生已大致掌握，數(shù)學(xué)建模思想初步形成.在第2題的合作學(xué)習(xí)過程中，呈現(xiàn)出了不同的思維形式，各組針對“用于購進這批襯衫的資金不多于1500元”展開了討論，有的同學(xué)認(rèn)為這是一個無用的條件；有的同學(xué)認(rèn)為在解題之初，要結(jié)合進價來用；有的同學(xué)認(rèn)為按常規(guī)思路解決完問題之后，用來確定最終的解的合理性.各種想法的提出，真正展現(xiàn)了學(xué)生開闊的思維，真正體現(xiàn)了合作學(xué)習(xí)的優(yōu)勢.

17、 第四環(huán)節(jié)：鞏固提高 內(nèi)容：重點放在一元二次方程的實際應(yīng)用上，內(nèi)容呈現(xiàn)形式多樣化，設(shè)置實際背景比較全面.其中3、4小題表面上看類似，實際有一定的差異，可以對比來看；第5小題為后續(xù)學(xué)習(xí)的二次函數(shù)作鋪墊；第7題為一道經(jīng)典的中考真題，讓學(xué)生感受一下中考的氛圍. 1、新園小區(qū)計劃在一塊長為40米，寬為26米的矩形場地上 修建三條同樣寬的甬路(兩條縱向、一條橫向，且橫向、縱向 互相垂直)，其余部分種花草.若要使甬路的面積占矩形場地面 積的.則甬路寬為多少米？設(shè)甬路寬為x米，則根據(jù)題意， 可列方程為 . 2、由于家電市場的迅速成長，某品牌的電

18、視機為了贏得消費者，在半年之內(nèi)連續(xù)兩次降價，從4980元降到3698元，如果每次降低的百分率相同，設(shè)這個百分率為x，則根據(jù)題意，可列方程： . 3、王老師假期中去參加高中同學(xué)聚會，聚會時，所有到會的同學(xué)都互相握了一次手，王老師發(fā)現(xiàn)共握手435次，則參加聚會的同學(xué)共有多少人？設(shè)參加聚會的同學(xué)共有x人，則根據(jù)題意，可列方程： . 4、初三、三班同學(xué)在臨近畢業(yè)時，每一個同學(xué)都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張以表示紀(jì)念，全班共送了1640張照片，如果設(shè)全班有x名學(xué)生，則根據(jù)題意，可列方程( ) A

19、.x(x+1)=1640 B. x(x－1)=1640 C.2x(x+1)=1640 D.x(x－1)=2×1640 5、某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品，若每件商品售價為x元，則每天可賣出(350－10x)件，但物價局限定每件商品加價不能超過進價的20%，商店要想每天賺400元，需要賣出多少件商品？每件商品的售價應(yīng)定為多少元？ 6、用一塊面積為888cm2的矩形材料做一個無蓋的長方體盒子，要求盒子的長為25cm，寬為高的2倍，盒子的寬和高應(yīng)為多少？ 實際效果：通過對這些題目的具體分析，學(xué)生再次經(jīng)歷在

20、實際問題中抽象出一元二次方程的過程，發(fā)展他們分析問題、解決問題的意識和能力，也為下學(xué)期二次函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定一定的基礎(chǔ)，體現(xiàn)了教材螺旋式上升的設(shè)計意圖. 第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié) 內(nèi)容：師生共同總結(jié)本節(jié)課的收獲，內(nèi)容主要設(shè)計以下幾個方面： （1）整節(jié)課的感悟：如在解決概念性題目時，要注意領(lǐng)會概念的實質(zhì)含義；在計算時要做到細心；對于學(xué)過的內(nèi)容，自己要及時進行梳理等等； （2）解決問題時所用到的方法； （3）對于某個知識點的困惑； （4）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，自己的最大收獲. 目的：關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解、數(shù)學(xué)方法的掌握和數(shù)學(xué)情感的感悟，力爭使每個層次的學(xué)生在本節(jié)課學(xué)有所獲. 實際效果：學(xué)

21、生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，每個同學(xué)的感受也揭示了各自的良好學(xué)習(xí)方法，為其他同學(xué)的學(xué)習(xí)、聽講等方面提供了有效的借鑒. 第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè) 1、本節(jié)課中涉及的所有題目在課下進行分類整理，留作資料； 2、針對自己對本章的理解，每名同學(xué)命制一份試卷，要求時間在60分鐘左右，重點突出，難度適宜，并配有答案（此作業(yè)不要求第二天必須上交，給學(xué)生一定的收集資料時間）. 四、教學(xué)反思 1、作為一章的復(fù)習(xí)課，本節(jié)課設(shè)置的內(nèi)容較為全面細致，重點突出，課堂容量相對來說較大，學(xué)生的分組討論從時間上來看較為緊張，因而，應(yīng)該更好地規(guī)劃對某些題目的處理. 2、通過課前知識網(wǎng)絡(luò)的整理、課堂展示講解

22、的過程，為學(xué)生提供展示自己的機會，更利于教師在此過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點以及思維的誤區(qū)，以便指導(dǎo)今后的教學(xué). 3、學(xué)生的學(xué)習(xí)合作小組也應(yīng)該是動態(tài)的，所學(xué)知識的不同，學(xué)生的反應(yīng)也不相同，在分組時，應(yīng)該將思維形態(tài)類似的同學(xué)放在一組，這樣，可以避免讓一些思維活躍的學(xué)生代替了其他學(xué)生的思考，掩蓋了其他學(xué)生的疑問.同時，教師應(yīng)對小組討論給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，包括知識的啟發(fā)引導(dǎo)、學(xué)生交流合作中注意的問題及對困難學(xué)生的幫助等，使小組合作學(xué)習(xí)更具實效性. 此外，作為一個較大的章節(jié)復(fù)習(xí)課，希望一節(jié)課完成上面所有的任務(wù)，是比較困難的，因此，建議根據(jù)學(xué)生狀況靈活選擇其中部分例習(xí)題，如有可能，將例習(xí)題分解成兩個課時。