2019年北師大版精品數(shù)學資料章末復習課對應學生用書P37對應學生用書P38將參數(shù)方程化為普通方程將參數(shù)方程化為普通方程的考查有三個熱點考向，其一給出參數(shù)方程，直接化為普通方程；其二給出參數(shù)方程研究其形狀、幾何性質，則需化為普通方程定形狀，研究其幾何性質，其三，在用參數(shù)法求出曲線的參數(shù)方程后，通常利用消參法得出普通方程一般地，消參數(shù)經(jīng)常采用的是代入法和三角公式法但將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，不只是把其中的參數(shù)消去，還要注意x，y的取值范圍在消參前后應該是一致的，也就是說，要使得參數(shù)方程與普通方程等價，即它們二者要表示同一曲線例1在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(t為參數(shù))和(為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點坐標為_解析由得y，又由得x2y22.由得即曲線C1與C2的交點坐標為(1,1)答案(1,1)例2已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t>0)，求曲線C的普通方程解因為x2t2，所以x22t，故曲線C的普通方程為3x2y60.例3已知參數(shù)方程(t0)(1)若t為常數(shù)，為參數(shù)，方程所表示的曲線是什么？(2)若為常數(shù)，t為參數(shù)，方程所表示的曲線是什么？解(1)當t1時，由得sin ，由得cos .1.它表示中心在原點，長軸長為2|t|，短軸長為2，焦點在x軸上的橢圓當t1時，y0，x2sin ，x2,2，它表示在x軸上2,2的一段線段(2)當(kZ)時，由得t.由得t.平方相減得4，即1，它表示中心在原點，實軸長為4|sin |，虛軸長為4|cos |，焦點在x軸上的雙曲線當k(kZ)時，x0，它表示y軸；當k(kZ)時，y0，x(t)t2(t0時)或t2(t0時)，|x|2.方程為y0(|x|2)，它表示x軸上以(2,0)和(2,0)為端點的向左、向右的兩條射線例4已知線段|BB|4，直線l垂直平分BB交BB于點O，并且在l上O點的同側取兩點P，P，使|OP|OP|9，求直線BP與直線BP的交點M的軌跡解如圖，以O為原點，l為x軸，BB為y軸，建立直角坐標系xOy.依題意，可知B(0,2)，B(0，2)，又可設P(a,0)，P，其中a為參數(shù)，可取任意非零的實數(shù)直線BP的方程為1，直線BP的方程為1.兩直線方程化簡為解得直線BP與BP的交點坐標為(a為參數(shù))，消去參數(shù)a，得1(x0)所求點M的軌跡是長軸為6，短軸為4的橢圓(除去B，B點).直線參數(shù)方程的應用直線參數(shù)方程的應用非常廣泛，因此是高考重點考查的一個考點，主要考查直線參數(shù)方程在解決直線與圓錐曲線的位置關系問題中的應用，在解決這類問題時，應用直線的參數(shù)方程，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，可以避免通過解方程組求交點等繁瑣運算，使問題得到簡化，由于直線的參數(shù)方程有多種形式，只有標準形式中的參數(shù)才具有明顯的幾何意義例5如圖，已知直線l過點P(2,0)，斜率為，直線l和拋物線y22x相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，求：(1)P，M兩點間的距離|PM|；(2)線段AB的長|AB|.解(1)直線l過點P(2,0)，斜率為，設直線的傾斜角為，tan ，sin ，cos ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))直線l和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y22x中，整理得8t215t500，(15)248(50)>0.設這個二次方程的兩個根分別為t1，t2，由根與系數(shù)的關系，得t1t2，t1t2，由M為線段AB的中點，根據(jù)t的幾何意義，得|PM|.(2)|AB|t2t1|.例6在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程2sin .(1)求圓C的直角坐標方程；(2)設圓C與直線l交于A，B.若點P的坐標為(3，)，求|PA|PB|.解(1)由2sin ，得x2y22y0，即x2(y)25.(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得225，即t23t40.由于(3)2442>0，故可設t1，t2是上述方程的兩實根，所以又直線l過點P(，)，故由上式及t的幾何意義得|PA|PB|t1|t2|t1t23.圓錐曲線參數(shù)方程的應用由于圓、橢圓、雙曲線的參數(shù)方程均以一個角為參數(shù)，這給我們解決與其上動點有關的距離的最值、定值、軌跡等問題帶來很大的方便，因此高考中主要考查圓錐曲線參數(shù)方程在這些方面的應用，當圓錐曲線由普通方程給出時，需先化為參數(shù)方程再應用，最終轉化為三角的運算問題，求解例7點P在圓x2(y2)2上移動，點Q在橢圓x24y24上移動，求|PQ|的最大值及相應的點Q的坐標解設圓的圓心為O，在POQ中，|PQ|PO|OQ|OQ|，設Q點的坐標為(2cos ，sin )，而O(0,2)，則|OQ|24cos2(sin 2)232.|OQ|，此時sin ，cos .|PQ|的最大值為，相應點Q的坐標為.例8設P是橢圓4x29y236上的一個動點，求x2y的最大值和最小值解法一：令x2yt，且x，y滿足4x29y236，故點(x，y)是方程組的公共解消去x得25y216ty4t2360，由(16t)2425(4t236)0，即t225，解得5t5，x2y的最大值為5，最小值為5.法二：由橢圓方程4x29y236，得1，設x3cos ，y2sin ，代入x2y得x2y3cos 4sin 5sin()，由于1sin()1，所以55sin()5.x2y的最大值為5，最小值為5.一、選擇題1直線(t為參數(shù))上與點P(4,5)的距離等于的點的坐標是()A(4,5)B(3,6)C(3,6)或(5,4) D(4,5)或(0,1)解析：選C由題意，可得|t|t，將t代入原方程，得或所以所求點的坐標為(3,6)或(5,4)2橢圓上的點到直線4x3y200的最小距離為()A. B.C. D2解析：選A點P(3cos ，4sin )到直線4x3y200的距離d.當sin1時，d取最小值為3設r0，那么直線xcos ysin r與圓(是參數(shù))的位置關系是()A相交 B相切C相離 D視r的大小而定解析：選B易知圓的圓心在原點，半徑是r，則圓心(0,0)到直線的距離為dr，恰好等于圓的半徑，所以，直線和圓相切4直線yx與圓心為D的圓(0,2)交于A，B兩點，則直線AD與BD的傾斜角之和為()A. B.C. D.解析：選C由已知得圓D：(x)2(y1)23，則圓心D到直線yx的距離等于d，故cosADB，ADB，ADB；又ADBD，因此有DBA.而直線yx的傾斜角是，因此結合圖形可知，在直線AD，BD中必有一條直線的傾斜角等于，另一條直線的傾斜角等于，因此直線AD，BD的傾斜角之和等于2.二、填空題5設直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的方程為y3x4，則l1與l2間的距離為_解析：將直線l1的參數(shù)方程化成普通方程為y3x2，又l2：y3x4，故l1l2，在l1上取一點(0，2)，其到l2：3xy40的距離就是l1與l2的距離，即d.答案：6(湖北高考)已知曲線C1的參數(shù)方程是(t為參數(shù))以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程是2.則C1與C2交點的直角坐標為_解析：由題意，得 x23y2(x0，y0)，曲線C2的普通方程為x2y24，聯(lián)立，得即C1與C2的交點坐標為(，1)答案：(，1)7直線(t為參數(shù))與曲線(為參數(shù))的交點個數(shù)為_解析：直線的普通方程為xy10，圓的普通方程為x2y232，圓心到直線的距離d3，故直線與圓的交點個數(shù)是2.答案：28已知圓C：(為參數(shù))，則它的普通方程為_設O為坐標原點，點M(x0，y0)在C上運動，點P(x，y)是線段OM的中點，則點P的軌跡方程為_解析：由知(x1)2y2sin2cos21.由中點坐標公式得又點M(x0，y0)在圓C上運動，(x01)2y1.故(2x1)24y21.答案：(x1)2y21(2x1)24y21三、解答題9已知橢圓C1：(為參數(shù))及拋物線C2：y26.當C1C2時，求m的取值范圍解：將橢圓C1的參數(shù)方程代入C2：y26，得3sin26，1cos22m4cos 3，即(cos 2)282m，1(cos 2)29，182m9.解之，得m.當C1C2時，m.10經(jīng)過P(2,3)作直線交拋物線y28x于A，B兩點(1)若線段AB被P平分，求AB所在直線方程；(2)當直線的傾斜角為時，求|AB|.解：設AB的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，代入拋物線方程，整理得t2sin2(6sin 8cos )t70，于是t1t2，t1t2.(1)若P為AB的中點，則t1t20.即6sin 8cos 0tan .故AB所在的直線方程為y3(x2)即4x3y10.(2)|AB|t1t2|.又，|AB| 8.對應學生用書P43(時間：90分鐘，滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中只有一個是正確的)1當參數(shù)變化時，動點P(2cos ，3sin )所確定的曲線必過()A點(2,3)B點(2,0)C點(1,3) D點解析：選B令x2cos ，y3sin ，則動點(x，y)的軌跡是橢圓：1，曲線過點(2,0)2以極坐標系中的點(1,1)為圓心，1為半徑的圓的方程是()A2cos B2sinC2cos(1) D2sin(1)解析：選C由已知得圓心在相應的直角坐標系下的坐標為(cos 1，sin 1)，所以圓在直角坐標下的方程為(xcos 1)2(ysin 1)21，把xcos ，ysin 代入上式，得22cos(1)0.所以0或2cos(1)，而0表示極點，適合方程2cos(1)，即圓的極坐標方程為2cos (1)3直線(t為參數(shù))與橢圓(為參數(shù))的交點坐標是()A(0,2)或(2,0) B(4,0)或(0,4)C(0,2)或(4,0) D(4,2)解析：選C法一：直線參數(shù)方程消去參數(shù)t，得x2y40.橢圓參數(shù)方程消去，得1.由解得或直線與橢圓的交點坐標為(4,0)或(0,2)法二：兩曲線相交即兩式平方相加，消去，得t2(1t)21.整理，得2t(t1)0.解得t10，t21.分別代入直線的參數(shù)方程，得交點坐標為(0,2)或(4,0)4直線cos 2關于直線對稱的直線方程為()Acos 2 Bsin 2Csin 2 D2sin 解析：選B直線x2關于直線yx對稱的直線是y2，直線方程為sin 2.5參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的曲線是()解析：選D將參數(shù)方程進行消參，則有t，把t代入y中，當x0時，x2y21，此時y0；當x0時，x2y21，此時y0.6過點(0,2)且與直線(t為參數(shù))的夾角為30的直線方程為()Ayx或x0 Byx2或y0Cyx2或x0 Dyx或x0解析：選C直線的斜率k，傾斜角為60.故所求直線的傾斜角為30或90.所以所求直線方程為yx2或x0.7直線(t為參數(shù))與雙曲線x2y21沒有公共點，則m的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選C把xmt，y12t代入x2y21并整理得3t22(m2)tm220，由題意得4(m2)212(m22)<0.即2m22m1<0，得<m<.8若圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線與圓的位置關系是()A過圓心 B相交而不過圓心C相切 D相離解析：選B將圓、直線的參數(shù)方程化成普通方程，利用圓心到直線的距離與圓的半徑進行比較，可知圓心到直線的距離小于半徑，并且圓心不在直線上9已知點(4,2)是直線l被曲線所截的線段中點，則l的方程是()Ax2y0 Bx2y40C2x3y40 Dx2y80解析：選D法一：(4,2)在直線l上，點的坐標滿足方程，把點(4,2)的坐標代入四個選項中的直線方程，排除A，B，C.法二：曲線化為普通方程是：1.設曲線與l的交點坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，則得：(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2).直線l的斜率為，由點斜式方程可得l方程10已知方程x2axb0的兩根是sin 和cos (|)，則點(a，b)的軌跡是()A橢圓弧 B圓弧C雙曲線弧 D拋物線弧解析：選D由題a22b(sin cos )22sin cos 1.又|.表示拋物線弧二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)11若x2y24，則xy的最大值是_解析：x2y24的參數(shù)方程為(為參數(shù))，xy2cos 2sin 2cos.最大值為2.答案：212(重慶高考)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為sin24cos 0(0，0<2)，則直線l與曲線C的公共點的極徑_.解析：依題意，直線l與曲線C的直角坐標方程分別是xy10，y24x.由得x22x10，解得x1，則y2，因此直線l與曲線C的公共點的直角坐標是(1,2)，該點與原點的距離為，即直線l與曲線C的公共點的極徑.答案：13(重慶高考)在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系若極坐標方程為cos 4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則|AB|_.解析：cos 4化為直角坐標方程為x4，化為普通方程為y2x3，聯(lián)立得A(4,8)，B(4，8)，故|AB|16.答案：1614在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(為參數(shù)，a0)有一個公共點在x軸上，則a_.解析：曲線C1的普通方程為2xy3，曲線C2的普通方程為1，直線2xy3與x軸的交點坐標為，故曲線1也經(jīng)過這個點，代入解得a.答案：三、解答題(本大題共4小題，共50分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)已知直線l的參數(shù)方程：(t為參數(shù))和圓C的極坐標方程：2sin(為參數(shù))(1)將直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)判斷直線l和圓C的位置關系解：(1)消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標方程為y2x1；2sin即2(sin cos )兩邊同乘以得22(sin cos )，消去參數(shù)，得圓C的直角坐標方程為：(x1)2(y1)22.(2)圓心C到直線l的距離d，所以直線l和圓C相交16(本小題滿分12分)(新課標全國卷)已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點P(2cos ，3sin )到l的距離為d|4cos 3sin 6|.則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan .當sin()1時，|PA|取得最大值，最大值為.當sin()1時，|PA|取得最小值，最小值為.17(本小題滿分12分)(遼寧高考)將圓x2y21上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程；(2)設直線l：2xy20與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程解：(1)設(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)镃上點(x，y)，依題意，得由xy1得x221，即曲線C的方程為x21.故C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)由解得或不妨設P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點坐標為，所求直線斜率為k，于是所求直線方程為y1，化為極坐標方程，并整理得2cos 4sin 3，即.18(本小題滿分14分)已知直角坐標系xOy中，圓錐曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))定點A(0，)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是圓錐曲線C的左，右焦點(1)以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求經(jīng)過點F1且平行于直線AF2的直線l的極坐標方程(2)在(1)條件下，設直線l與圓錐曲線C交于E，F(xiàn)兩點，求弦EF的長解：(1)由圓錐曲線C的參數(shù)方程知其普通方程為1.A(0，)，F(xiàn)1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)直線l的斜率k，l：y(x1)直線l的極坐標方程為sin cos .即2sin .(2)聯(lián)立得5x28x0.EF .即弦EF的長為.