2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料第1課時(shí)向量的加法核心必知1向量的加法法則三角形法則平行四邊形法則作法已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作a，b，再作向量，則向量 叫作向量a與b的和，記作ab，即ab.已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作a，b，再作平行的b，連接DC，則四邊形ABCD為平行四邊形向量叫作向量a與b的和，表示為：ab.圖示2向量求和的多邊形法則向量求和的三角形法則，可推廣至多個(gè)向量求和的多邊形法則，n個(gè)向量經(jīng)過(guò)平移，順次使前一個(gè)向量的終點(diǎn)與后一個(gè)向量的起點(diǎn)重合，組成一向量折線，這n個(gè)向量的和等于折線起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量，即3向量加法的運(yùn)算律(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc問(wèn)題思考1三角形法則與平行四邊形法則對(duì)兩向量的起點(diǎn)有什么要求？提示：三角形法則強(qiáng)調(diào)“首尾相接”，平行四邊形法則強(qiáng)調(diào)“起點(diǎn)相同”2當(dāng)首尾順次相接的向量構(gòu)成封閉的向量鏈時(shí)，各向量的和等于什么向量？提示：零向量講一講1(1)如圖已知ABCD，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，E是CD的一個(gè)三等分點(diǎn)，求作：(2)如圖，已知向量a，b，c，求作abc.嘗試解答(1)延長(zhǎng)AC，在延長(zhǎng)線上截取CFAO，則向量即為所求在AB上取點(diǎn)G，使AGAB，則向量即為所求(2)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量a，再作c，則ac，然后再作b，連接DC，于是向量abc即為所求(如圖所示)1用三角形法則作兩向量的和時(shí)，要注意兩向量“首尾相接”；用平行四邊形法則作兩向量的和時(shí)，要注意保持兩向量有公共起點(diǎn)2求作共線向量或多個(gè)向量的和向量時(shí)，應(yīng)首選三角形法則，注意和向量的方向是從起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)練一練1如圖，已知向量a，b，c，d，求作abcd.解：(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作a，以A為起點(diǎn)，作向量b，則ab；(2)以B為起點(diǎn)作向量c，再作d，連接OD.則向量abcd即為所求(如圖)講一講2化簡(jiǎn)下列各式：.化簡(jiǎn)含有向量的關(guān)系式一般有兩種方法：利用幾何方法通過(guò)作圖實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)；利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，有時(shí)也需將一個(gè)向量拆分成兩個(gè)或多個(gè)向量練一練2. 下列向量的運(yùn)算結(jié)果一定是零向量的是()講一講3一條小船要渡過(guò)一條兩岸平行的小河，河的寬度d100 m，船的航行速度為v14 m/s，水流的速度為v22 m/s，試問(wèn)當(dāng)船頭與水流方向的夾角為多大時(shí)，小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間最少？此時(shí)小船的實(shí)際航行速度與水流方向的夾角的正切值是多大？嘗試解答 設(shè)小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間為t(s)，如圖，設(shè)表示水流的速度，表示船的航行速度，以AD、AB為鄰邊作ABCD，則就是船實(shí)際航行的速度設(shè)BAC，BAD，則相對(duì)于垂直對(duì)岸的速度為vsin ，小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間為t，(0，)故當(dāng)sin 1，即90時(shí)，小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間最少，最少值為25 s.在RtABC中，|2，|4，tan 2.故當(dāng)船頭與水流方向的夾角為90時(shí)，小船行駛到對(duì)岸所用的時(shí)間最少為25 s，此時(shí)小船的實(shí)際航行速度與水流方向的夾角的正切值為2.用向量解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量模型，本題中小船過(guò)河所用的時(shí)間取決于合速度沿垂直于河岸的分速度，也就是船的航行速度沿垂直于沙岸的分速度，其解答思路可歸結(jié)為：練一練3如圖所示，兩條細(xì)繩拉一個(gè)物體，兩條細(xì)繩分別用力F1，F(xiàn)2，且|F1|3 N和|F2|4 N，夾角為90 .(1)作出這兩條細(xì)繩的合力；(2)求合力的大小解：(1)作F1，F(xiàn)2以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB連接OC，則F1F2即為所求(2)在RtOAC中，OA3，AC|F2|4，|F1F2|5.故合力的大小為5 N.已知向量a，b的長(zhǎng)度分別為8，2，試求|ab|的取值范圍巧思向量a，b可能共線，也可能不共線，于是可考慮利用向量加法的三角形法則，數(shù)形結(jié)合求解妙解(1)若a，b共線，即ab，當(dāng)a與b同向時(shí)，則|ab|a|b|8210；當(dāng)a與b反向時(shí)，則|ab|a|b|826.(如圖所示)(2)若a，b不共線，則向量a，b，ab對(duì)應(yīng)的有向線段圍成一個(gè)三角形，如圖：由三角形的性質(zhì)知，|a|b|<|ab|<|a|b|，即82<|a|b|<82，6<|a|b|10.故|ab|的取值范圍為6，101若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式成立的是()4設(shè)a表示向東走4 km，b表示向南走3 km，則|ab|_ km.5.答案：56如圖，D、E、F分別為ABC三邊的中點(diǎn)，試畫出+.一、選擇題1如圖，在ABCD中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是().4下列命題如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么ab的方向必與a、b之一的方向相同；在ABC中，必有0；若0，則A、B、C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；若a、b均為非零向量，則|ab|與|a|b|一定相等其中真命題的個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3解析：選B對(duì)于，若a與b方向相反，且|a|b|，則ab0，零向量的方向是任意的，所以不正確；正確；對(duì)于，若0，則A、B、C可能共線，所以不正確；對(duì)于，當(dāng)a，b不共線或反向時(shí)，|ab|<|a|b|，不正確二、填空題5若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，a，b，則|ab|_.解析：|ab|.答案：6如圖，已知ABC是直角三角形，且A90，給出下列結(jié)論：其中結(jié)論正確的是_(填所有正確結(jié)論的序號(hào))|，所以正確；顯然，正確答案：7在長(zhǎng)江南岸渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h，渡船要垂直渡過(guò)長(zhǎng)江，則航向?yàn)開(kāi)解析：如圖，渡船速度為，水流速度為，船實(shí)際垂直過(guò)江的速度為，依題意，|12.5，|25，BDO為直角三角形，所以sinBOD.BOD30，航向?yàn)楸逼?0.答案：北偏西308已知a、b、c是非零向量，則(ac)b，b(ac)，b(ca)，c(ab)，c(ba)中，與向量abc相等的個(gè)數(shù)為_(kāi)個(gè)解析：根據(jù)向量加法的運(yùn)算律，題中5個(gè)式子與abc均相等答案：5三、解答題9如圖所示，O是四邊形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a，b，c，d的方向(用箭頭表示)，使ab，cd，并畫出bc和ad.解：(1)，a，b，c，d的方向如圖所示(2)根據(jù)平行四邊形法則，以O(shè)B、OC為鄰邊作平行四邊形OBEC，以O(shè)A、OD為鄰邊作平行四邊形OAFD，連接OE、OF，則bc，ad，如圖所示10在重300 N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30、60(如圖)，當(dāng)重物平衡時(shí)，求兩根繩子拉力的大小解：如圖所示，作平行四邊形OACB，使AOC30，BOC60，在OAC中，ACOBOC60，OAC90，|cos 30300150(N)|sin 30300150(N)|150(N)，即與鉛垂線的夾角為30的繩子的拉力是150 N，與鉛垂線的夾角為60的繩子的拉力是150 N.