第五章剛體力學(xué)基礎(chǔ) FoundationofRigidBodyMechanics 5 1剛體的運(yùn)動(dòng) 5 2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 5 3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能 5 5進(jìn)動(dòng) 5 4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 5 1剛體的運(yùn)動(dòng) MotionofaRigidBody 1 剛體 內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持不變的物體 即運(yùn)動(dòng)過程中不發(fā)生形變的物體 剛體是實(shí)際物體的一種理想的模型 剛體可視為由無限多個(gè)彼此間距離保持不變的質(zhì)元組成的質(zhì)點(diǎn)系 2 1平動(dòng) 運(yùn)動(dòng)過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持方向不變 特點(diǎn) 剛體內(nèi)所有質(zhì)元具有相同的位移 速度和加速度 2 剛體的運(yùn)動(dòng) 2 2轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng) 若轉(zhuǎn)軸固定不變 則稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 特點(diǎn) 剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的角位移 角速度和角加速度 3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述 3 1定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述 角位置 角位移 角速度 角加速度 角速度和角加速度均為矢量 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方向并滿足右手螺旋定則 角量的單位為rad rad s rad s2 質(zhì)點(diǎn)作勻變速曲線運(yùn)動(dòng)時(shí) 其角量的變化規(guī)律與勻變速直線運(yùn)動(dòng)中線量的規(guī)律相似 表示如下 3 2角量和線量的關(guān)系 質(zhì)元轉(zhuǎn)過的圓弧長 5 2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 LawofFixed AxisRotation 1 力對轉(zhuǎn)軸的力矩 力對轉(zhuǎn)軸上參考點(diǎn)O的力矩矢量 力對轉(zhuǎn)軸的力矩矢量 一般情況 結(jié)論 力對轉(zhuǎn)軸的力矩等于在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的外力F的大小和F與軸之間的垂直距離d的乘積 2 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 2 1質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 質(zhì)點(diǎn)對轉(zhuǎn)軸上參考點(diǎn)O的角動(dòng)量矢量 對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 一般情況 結(jié)論 對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量等于在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的動(dòng)量p的大小和p與軸之間的垂直距離d的乘積 2 2剛體對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 組成剛體的所有質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的和 剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 連續(xù)體 4 2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 4 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 4 1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度 分立體 計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素 1 總質(zhì)量 2 質(zhì)量分布 3 轉(zhuǎn)軸的位置 1 I與剛體的總質(zhì)量有關(guān) 例如兩根等長的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 L z O x dx M 4 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 I與質(zhì)量分布有關(guān) 例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例如圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 O L x dx M z L O x dx M z 3 I與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān) 4 3平行軸定理與垂直軸定理 平行軸定理 垂直軸定理 解 1 對對稱軸 例 求質(zhì)量均勻分布的半圓形薄板對 1 它的對稱軸 2 它的直邊 3 通過質(zhì)心平行于直邊的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 設(shè)圓弧直徑為 質(zhì)量為 取半圓上窄條為 2 對直邊 設(shè)為整圓對直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 因和 故有 3 對通過C且平行于直邊 2 應(yīng)用平行軸定理 先求質(zhì)心位置 5 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 解題要點(diǎn) 1 飛輪的角加速度 2 如以重量P 98N的物體掛在繩端 試計(jì)算飛輪的角加速 解 1 2 兩者區(qū)別 例 求 一輕繩繞在半徑r 20cm的飛輪邊緣 在繩端施以F 98N的拉力 飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J 0 5kg m2 飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì) 見圖 圓盤以 0在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng) 受摩擦力而靜止 解 例 求到圓盤靜止所需時(shí)間 取一質(zhì)元 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 摩擦力矩 例一個(gè)剛體系統(tǒng) 如圖所示 已知 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 現(xiàn)有一水平力作用于距軸為l 處 求軸對棒的作用力 也稱軸反力 解 設(shè)軸對棒的作用力為N 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 打擊中心 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與轉(zhuǎn)動(dòng)定律聯(lián)用 質(zhì)點(diǎn)系 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 5 3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能 WorkandEnergyofFixedAxisRotation 1 力矩的功和功率 1 1力矩的功 2 2力矩的功率 2 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與重力勢能 2 1剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 2 2剛體的重力勢能 3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量 解 5 4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 與角動(dòng)量守恒定律 TheoremofAngularMomentumandLawofConservation ofAngularMomentumforFixedAxisRotation 1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律 角動(dòng)量守恒現(xiàn)象舉例 例如圖 長為l 質(zhì)量為M的均勻細(xì)棒可饒過O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng) 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以初速v0沿水平方向運(yùn)動(dòng) 與靜止在豎直位置的細(xì)棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞 碰撞后兩者一起上擺 求 1 碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度 2 兩者一起上擺的最大角度 例 半徑R 質(zhì)量M的水平均勻圓盤可繞通過圓心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng) 其邊緣有一質(zhì)量m的人 二者最初相對地面靜止求 當(dāng)人繞盤一周時(shí) 盤對地面轉(zhuǎn)過的角度 解 人 盤 關(guān)于轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零 人 盤 角動(dòng)量守恒 5 5進(jìn)動(dòng) Procession 進(jìn)動(dòng) 高速自旋的物體的自轉(zhuǎn)軸在空間旋進(jìn)的運(yùn)動(dòng) 高速自轉(zhuǎn)的陀螺在陀螺重力對支點(diǎn)O的力矩作用下發(fā)生進(jìn)動(dòng) 陀螺的角動(dòng)量近似為 進(jìn)動(dòng)角速度 所以 以上只是近似討論 只適用高速自轉(zhuǎn) 即 homework 練習(xí)冊 本章選擇題及填空題都做教材課后 5 2 5 6 5 7 5 8 5 11 5 15 5 16 5 18