每日一題每日一題規(guī)范練規(guī)范練第三周第三周星期一星期一2017 年年 4 月月 3 日日題目題目 1(本小題滿分本小題滿分 12 分分)已知函數已知函數 f(x)cos x sinx3 3cos2x34，xR.(導學號導學號 55460185)(1)求求 f(x)的最大值；的最大值；(2)求求 f(x)的圖象在的圖象在 y 軸右側第二個最高點的坐標軸右側第二個最高點的坐標練方法練方法練規(guī)范練規(guī)范練滿分練滿分練能力練能力解解： (1)由已知由已知， 有有 f(x)cos x12sin x32cos x 3cos2x3412sinxcos x32cos2x3414sin 2x34(1cos 2x)3414sin 2x34cos2x12sin2x3 ，(6 分分)f(x)的最大值為的最大值為12.(8 分分)(2)令令 2x32k2(kZ)，得得 xk512(kZ)，(10 分分)令令 k1，得得 x1712，f(x)的圖象在的圖象在 y 軸右側第二個最高點的坐標是軸右側第二個最高點的坐標是1712，12 .(12 分分)第三周第三周星期二星期二2017 年年 4 月月 4 日日題目題目 2(本小題滿分本小題滿分 12 分分)某銀行柜臺設有一個服務窗口某銀行柜臺設有一個服務窗口，假設假設顧客辦理業(yè)務所需的時間互相獨立顧客辦理業(yè)務所需的時間互相獨立，且都是整數分鐘且都是整數分鐘，對以往顧客辦理對以往顧客辦理業(yè)務所需的時間統計結果如下：業(yè)務所需的時間統計結果如下：辦理業(yè)務所需的時間辦理業(yè)務所需的時間(分分)12345頻率頻率0.10.40.30.10.1從第一個顧客開始辦理業(yè)務時計時從第一個顧客開始辦理業(yè)務時計時(1)估估計第三個顧客恰好等待計第三個顧客恰好等待 4 分鐘開始辦理業(yè)務的概率；分鐘開始辦理業(yè)務的概率；(2)X 表示至第表示至第 2 分鐘末已辦理完業(yè)務的顧客人數分鐘末已辦理完業(yè)務的顧客人數，求求 X 的分布列的分布列及數學期望及數學期望練方法練方法練規(guī)范練規(guī)范練滿分練滿分練能力練能力解解：設設 Y 表示顧客辦理業(yè)務所需的時間表示顧客辦理業(yè)務所需的時間，用頻率估計概率用頻率估計概率，得得 Y 的分的分布列如下：布列如下：(1)A 表示事件表示事件“第三個顧客恰好等待第三個顧客恰好等待 4 分鐘開始辦理業(yè)務分鐘開始辦理業(yè)務”，則事則事件件A 對應三種情形對應三種情形：第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為 1 分鐘分鐘，且第且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為 3 分鐘分鐘；第一個顧客辦理業(yè)務所需第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為的時間為 3 分鐘分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間為 1 分鐘分鐘；第第一個、第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為一個、第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為 2 分鐘分鐘.P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.10.30.30.10.40.40.22.(3 分分)(2)X 所有可能的取值為所有可能的取值為 0，1，2.X0 對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過 2 分鐘分鐘，Y12345P0.10.40.30.10.1P(X0)P(Y2)0.5；(5 分分)X1 對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為 1 分鐘且第二個顧客辦分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過理業(yè)務所需的時間超過 1 分鐘分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間或第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為為2 分鐘分鐘，P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49；(9 分分)X2 對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為 1 分鐘分鐘，P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01.X 的分布列為的分布列為E(X)00.510.4920.010.51.(12 分分)X012P0.50.490.01第三周第三周星期三星期三2017 年年 4 月月 5 日日題目題目 3(本小題滿分本小題滿分 12 分分)已知數列已知數列an是等比數列是等比數列，a24，a32 是是 a2和和 a4的等差中項的等差中項(1)求數列求數列an的通項公式；的通項公式；(2)設設 bn2log2an1，求數列求數列anbn的前的前 n 項和項和 Tn.練方法練方法練規(guī)范練規(guī)范練滿分練滿分練能力練能力解：解：(1)設數列設數列an的公比為的公比為 q，a24，a34q，a44q2.a32 是是 a2和和 a4的等差中項的等差中項，2(a32)a2a4，(2 分分)即即 2(4q2)44q2，化簡得化簡得 q22q0.公比公比 q0，q2.ana2qn242n22n(nN*)(5 分分)(2)an2n，bn2log2an12n1，anbn(2n1)2n，(7 分分)則則 Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n，2Tn122323(2n5)2n1(2n3)2n(2n1)2n1，由由，得得Tn22(22232n)(2n1)2n1224（12n1）12(2n1)2n16(2n3)2n1，Tn6(2n3)2n1.(12 分分)第三周第三周星期四星期四2017 年年 4 月月 6 日日題目題目 4(本小題滿分本小題滿分 12 分分)如圖如圖，三棱錐三棱錐 A- -BCD 中中，ABC 和和BCD 所在平面互相垂直所在平面互相垂直，且且 BCBD4，AC4 2，CD4 3，ACB45，E，F 分別為分別為 AC，DC 的中點的中點(導學號導學號 55460186)(1)求證：平面求證：平面 ABD平面平面 BCD；.(2)求二面角求二面角 E- -BF- -C 的正弦值的正弦值練方法練方法練規(guī)范練規(guī)范練滿分練滿分練能力練能力(1)證明：證明：由由 BC4，AC4 2，ACB45，則則 AB 42（4 2）2244 2cos 454，AC2BC2AB2，則則ABC90，ABBC.(2 分分)又平又平面面ABC平平面面BCD， 平平面面ABC平平面面BCDBC， AB平平面面ABC，AB平面平面 BCD.又又 AB平面平面 ABD，故平面故平面 ABD平面平面 BCD.(4 分分)(2)解：解：由由 BCBD，點點 F 為為 DC 的中點的中點，知知 BFDC.CD43知知 CF2 3，則則 sinFBC2 3432，FBC60，則則DBC120，(6 分分)如圖所示如圖所示， 以點以點 B 為坐標原點為坐標原點，以平面以平面 DBC 內與內與 BC 垂直的直線為垂直的直線為 x軸軸，以以 BC 為為 y 軸軸，以以 BA 為為 z 軸建立空間直角坐標系軸建立空間直角坐標系則則 B(0，0，0)，A(0，0，4)，C(0，4，0)，E(0，2，2)，D(2 3，2，0)，F( 3，1，0)，(8 分分)BE(0，2，2)，BF( 3，1，0)，顯然平面顯然平面 CBF 的一個法向量為的一個法向量為 n1(0，0，1)，設平面設平面 BEF 的法向量為的法向量為 n2(x，y，z)，取取 x1，得一個法向量得一個法向量 n2(1， 3， 3)(10 分分)設二面角設二面角 E- -BF- -C 的大小為的大小為，則則|cos|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|37217.因此因此 sin2 77，則二面角則二面角 E- -BF- -C 的正弦值為的正弦值為2 77.(12 分分)第三周第三周星期五星期五2017 年年 4 月月 7 日日題目題目 5(本小題滿分本小題滿分 12 分分)已知橢圓已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)經過點經過點(2， 2)，且離心率為且離心率為22.(1)求橢圓求橢圓 C 的方程；的方程；(2)設經過橢圓設經過橢圓 C 左焦點的直線交橢圓于左焦點的直線交橢圓于 M、N 兩點兩點，線段線段 MN 的的垂直平分線交垂直平分線交 y 軸于點軸于點 P(0，m)，求求 m 的取值范圍的取值范圍練方法練方法練規(guī)范練規(guī)范練滿分練滿分練能力練能力解：解：(1)設橢圓的半焦距是設橢圓的半焦距是 c，由于由于 e22，a 2c，則則 b2a2c2c2.橢圓橢圓 C 的方程為的方程為x22c2y2c21.(2 分分)又橢圓又橢圓 C 過點過點(2， 2)，42c22c21，解得解得 c24，故橢圓故橢圓 C 的方程為的方程為x28y241.(4 分分)(2)當當 MNx 軸時軸時，顯然顯然 m0.(5 分分)當當 MN 與與 x 軸不垂直時軸不垂直時，設直線設直線 MN 的斜的斜率為率為 k，顯然顯然 k0，則直線則直線 MN 的方程為的方程為 yk(x2)，由由得得(12k2)x28k2x8k280.(7 分分)設設 M(x1，y1)、N(x2，y2)，線段線段 MN 中點中點 Q(x0，y0)，則則 x1x28k212k2，x04k212k2，y0k4k212k222k12k2，線段線段 MN 的垂直平分線方程為的垂直平分線方程為 y2k12k21kx4k212k2.在上述方程中令在上述方程中令 x0，得得 y2k12k2，即即 m2k12k222k1k.(9 分分)當當 k0 時時，2k1k2 2，則則 0m22；當當 k0 時時，2k1k2 2，則則 0m22.22m0，或或 0m22.綜上所述綜上所述，實數實數 m 的取值范圍是的取值范圍是22，22 .(12 分分)第三周第三周星期六星期六2017 年年 4 月月 8 日日題目題目 6(本小題滿分本小題滿分 12 分分)已知函數已知函數 f(x)1ln xx2.(導學號導學號55460187)(1)求函數求函數 f(x)的零點及單調區(qū)間；的零點及單調區(qū)間；(2)求證：曲線求證：曲線 yln xx存在斜率為存在斜率為 6 的切線的切線，且切點的縱坐標且切點的縱坐標 y00令令 f(x)0，得得 xe，故故 f(x)的零點為的零點為 e.f(x)1x x2（1ln x）2x（x2）22ln x3x3(x0)(2 分分)令令 f(x)0，解得解得 xe32.當當 x 變化時變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：f(x)的單調遞減區(qū)間為的單調遞減區(qū)間為 0，e32，單調遞增區(qū)間為單調遞增區(qū)間為 e32， .(5 分分)(2)證明：證明：令令 g(x)ln xx，則則 g(x)1ln xx2f(x)(6 分分)f12 44ln 244126，f(e)0，且由且由(1)得得，f(x)在在(0，e)內是內是減函數減函數，存在唯一的存在唯一的 x012，e，使得使得 g(x0)f(x0)6.當當 xe，)時時，f(x)0.曲線曲線 yln xx存在以存在以(x0，g(x0)為切點為切點，斜率為斜率為 6 的切線的切線(9 分分)由由 g(x0)1ln x0 x206，得得 ln x016x20.g(x0)ln x0 x016x20 x01x06x0.x012，1x02，6x03，故故 y0g(x0)231.(12 分分)x0，e32e32e32，f(x)0f(x)第三周第三周星期日星期日2017 年年 4 月月 9 日日題目題目 7請考生從下面請考生從下面 1、2 題中任取一題做答題中任取一題做答，如果多做如果多做，則按則按做答的第做答的第 1 題計分題計分1(本小題滿分本小題滿分 10 分分)選修選修 44：坐標系與參數方程：坐標系與參數方程在直角坐標系在直角坐標系 xOy 中中，曲線曲線 C1的參數方程為的參數方程為x 3cos ，ysin (為參為參數數)，以原點以原點 O 為極點為極點，以以 x 軸正半軸為極軸軸正半軸為極軸，建立極坐標系建立極坐標系，曲線曲線 C2的極坐標方程為的極坐標方程為sin4 4 2.(導學號導學號 55460188)(1)求曲線求曲線 C1的普通方程與曲線的普通方程與曲線 C2的直角坐標方程；的直角坐標方程；(2)設設 P 為曲線為曲線 C1上的動點上的動點， 求點求點 P 到到 C2上點的距離的最小值上點的距離的最小值， 并并求此時點求此時點 P 坐標坐標練方法練方法練規(guī)范練規(guī)范練滿分練滿分練能力練能力解：解：(1)對于曲線對于曲線 C1有有x32y2cos2sin21，曲線曲線 C1的普通方程為的普通方程為x23y21；(2 分分)對于曲對于曲線線C2有有sin4 22(cossin)4 2cossin8xy80，C2的方程為的方程為 xy80.(5 分分)(2)顯然橢圓顯然橢圓 C1與直線與直線 C2無公共點無公共點，橢圓上點橢圓上點 P( 3cos，sin)到直線到直線 xy80 的距離為的距離為d| 3cossin8|2|2sin3 8|2，(8 分分)當當 sin3 1 時時，d 取最小值為取最小值為 3 2，此時點此時點 P 的坐標為的坐標為32，12 .(10 分分)2.(本小題滿分本小題滿分 10 分分)選修選修 45：不等式選講：不等式選講已知函數已知函數 f(x)|2x1|.(導學號導學號 55460189)(1)若對任意若對任意 a，b，cR(ac)，都有都有 f(x)|ab|bc|ac|恒成立恒成立，求求 x 的取值范圍；的取值范圍；(2)解不等式解不等式 f(x)3x.練方法練方法練規(guī)范練規(guī)范練滿分練滿分練能力練能力解：解：(1)|ab|bc|abbc|ac|，當且僅當當且僅當(ab)(bc)0 時取時取“”，|ab|bc|ac|1，(3 分分)f(x)1，即即|2x1|1.12x11，0 x1，即即 x 的取值范圍是的取值范圍是 0，1(5 分分)(2)不等式不等式 f(x)3x 等價于等價于或或(7 分分)由由得得 x12，由由得得15x12，綜上綜上，原不等式的解集為原不等式的解集為 x|x15 .(10 分分)