《精編高中數(shù)學北師大版選修22學案：第4章 章末分層突破 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《精編高中數(shù)學北師大版選修22學案：第4章 章末分層突破 Word版含解析（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、精編北師大版數(shù)學資料章末分層突破章末分層突破自我校對面積、路程做功牛頓萊布尼茨面積體積定積分的計算1.利用定義求定積分.步驟：(1)分割區(qū)間；(2)求過剩估計值、不足估計值；(3)取極限.2.利用定積分的幾何意義求定積分.3.利用微積分基本定理求定積分.若 F(x)f(x)，錯誤錯誤!F(b)F(a).求下列定積分.(1)錯誤錯誤!4x2dx；(2)|ln3xx|dx.【精彩點撥】(1)可用定積分的幾何意義求解；(2)先去絕對值號，然后結合定積分的性質求解.【規(guī)范解答】(1)錯誤錯誤!4x2dx 表示的是圖中陰影所示半徑為 2 的半圓的面積.其面積為12222，所以錯誤錯誤!4x2dx2.(2

2、)|ln3xx|ln3xx，1ex1，ln3xx，1xe，錯誤錯誤!|ln3xx|dx錯誤錯誤!ln3xxdx錯誤錯誤!ln3xxdx.ln4x4ln3xx，錯誤錯誤!|ln3xx|dxln4x4|11eln4x4|e1ln414ln41e4ln4e4ln41412.再練一題1.計算下列定積分.(1)錯誤錯誤!1x（x1）dx；(2)錯誤錯誤!(cos x2x)dx.【解】(1)錯誤錯誤!1x（x1）dx錯誤錯誤!1x1x1 dxln xln(x1)|21ln43.(2)錯誤錯誤!(cos x2x)dxsin x2xln 2|2221ln 2(2222).定積分在幾何中的應用1.由積分的概念可

3、知，定積分在研究求解曲邊平面圖形的面積中有廣泛的應用.求解時應將相應問題畫出草圖，適當分割后轉化為定積分求解.2.利用定積分也可以求出一些簡單的幾何體體積.如圓錐體、圓柱體、圓臺、球體等.計算由曲線 yf(x)，直線 xa，xb 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉一周而形成的旋轉體的體積為 V錯誤錯誤!求由曲線 yx24 與直線 y5x，x0，x4 所圍成的平面圖形的面積.【精彩點撥】畫出草圖求交點坐標確定被積函數(shù)及積分上、下限求定積分【規(guī)范解答】畫出草圖，如圖所示.所求平面圖形為圖中陰影部分.解方程組yx24，y5x，得交點 A(1，5)，B(4，20).故所求平面圖形的面積S錯誤錯誤

4、!(x245x)dx錯誤錯誤!(5xx24)dx13x34x52x2|1052x213x34x|4113452524213434452134193.再練一題2.求曲線 ysin x，x0，與 x 軸所圍成平面圖形繞 x 軸旋轉一周所得到旋轉體的體積.【導學號：94210078】【解】由體積公式 V錯誤錯誤!y2dx錯誤錯誤!(sin x)2dx數(shù)形結合思想的應用數(shù)形結合思想貫穿本章的始終， 主要體現(xiàn)在利用定積分的幾何意義求定積分及用定積分求曲邊圖形的面積.在做題前首先要畫出圖形，確定圖形是在 x 軸的上方還是下方，并且通過解方程組求出交點的橫坐標定出積分上、下限.如圖 41 所示，在區(qū)間0，1

5、上給定曲線 yx2，試在此區(qū)間內(nèi)確定 t的值，使圖中陰影部分的面積 S1與 S2之和最小.圖 41【精彩點撥】確定被積函數(shù)，積分上、下限，求定積分，并用導數(shù)求最值.【規(guī)范解答】S1的面積等于邊長分別為 t 與 t2的矩形面積去掉曲線 yx2與 x 軸，直線 xt 圍成的面積.即 S1tt2錯誤錯誤!x2dx23t3；S2的面積等于曲線 yx2與 x 軸，xt，x1 圍成的面積去掉一矩形面積，矩形邊長分別為 t2，1t，即 S2錯誤錯誤!x2dxt2(1t)23t3t213.所以陰影部分面積SS1S243t3t213(0t1).令 S(t)4t22t4tt12 0，得 t0 或 t12，易知當

6、t12時，S 最小，所以最小值為 S12 14.再練一題3.(2016濰坊高二檢測)如圖 42，直線 ykx 分拋物線 yxx2與 x 軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求 k 的值.圖 42【解】拋物線 yxx2與 x 軸交點的橫坐標分別為 x10，x21，所以拋物線與 x 軸所圍成圖形的面積為S錯誤錯誤!(xx2)dxx22x33|10121316.拋物線 yxx2與直線 ykx 交點的橫坐標分別為 x10，x21k，所以S2錯誤錯誤!(xx2kx)dx1k2x2x33|1k016(1k)3，又知 S16，所以(1k)312，于是 k13121342.1.(2014陜西高考)定積分錯誤錯誤!(

7、2xex)dx 的值為()A.e2B.e1C.eD.e1【解析】錯誤錯誤!(2xex)dx(x2ex)|10e.故選 C.【答案】C2.(2014江西高考)若 f(x)x22錯誤錯誤!f(x)dx，則錯誤錯誤!f(x)dx()A.1B.13C.13D.1【解析】f(x)x22錯誤錯誤!f(x)dx，錯誤錯誤!f(x)dx13x32x10f（x）dx|10132錯誤錯誤!f(x)dx，錯誤錯誤!f(x)dx13.【答案】B3.(2014湖北高考)若函數(shù) f(x)，g(x)滿足錯誤錯誤!則稱 f(x)，g(x)為區(qū)間1，1上的一組正交函數(shù).給出三組函數(shù)： f(x)sin12x， g(x)cos12

8、x； f(x)x1， g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中為區(qū)間1，1上的正交函數(shù)的組數(shù)是()A.0B.1C.2D.3【解析】錯誤錯誤!f(x)g(x)dx錯誤錯誤!sin12xcos12xdx12錯誤錯誤!sin xdx12cos x|110，故第組是區(qū)間1，1上的正交函數(shù)；錯誤錯誤!f(x)g(x)dx錯誤錯誤!(x1)(x1)dx錯誤錯誤!(x21)dxx33x|11430，故第組不是區(qū)間1，1上的正交函數(shù)；錯誤錯誤!f(x)g(x)dx錯誤錯誤!xx2dx錯誤錯誤!x3dxx44|110，故第組是區(qū)間1，1上的正交函數(shù).綜上，滿足條件的共有兩組.【答案】C4.(2015湖南高考

9、)錯誤錯誤!(x1)dx_.【解析】錯誤錯誤!(x1)dx12x2x|20122220.【答案】0章末綜合測評章末綜合測評( (四四) )定積分定積分(時間 120 分鐘，滿分 150 分)一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1.錯誤錯誤!xdx 表示平面區(qū)域的面積，則該平面區(qū)域用陰影表示為()ABCD【解析】由定積分的幾何意義易知選項 B 正確.【答案】B2.錯誤錯誤!sin xdx()A.1B.2C.2D.0【解析】錯誤錯誤!sin xdxcos x|200.【答案】D3.錯誤錯誤!(3x22x3)dx()A.

10、12B.2C.12D.2【解析】錯誤錯誤!(3x22x3)dx錯誤錯誤!(3x2)dx錯誤錯誤!(2x3)dx3錯誤錯誤!x2dx2錯誤錯誤!x3dx3732154715212.【答案】C4.若錯誤錯誤!(23x)dx2(a0)，則 a 的值為()A.2B.23C.2 或23D.2 或23【解析】a0，錯誤錯誤!(23x)dx2x32x2|a02a32a2，由題知 2a32a22，解得 a2.【答案】A5.曲線 y26ax，x2a(a0)繞 x 軸旋轉所得旋轉體的體積為()A.2a2B.4a2C.12a3D.14a3【解析】V錯誤錯誤!y2dx錯誤錯誤!6axdx3ax2|2a012a3.【答

11、案】C6.設 f(x)x2，x0，1，1x，x1，e，則錯誤錯誤!f(x)dx 等于()【導學號：94210079】A.43B.54C.65D.76【解析】錯誤錯誤!f(x)dx錯誤錯誤!x2dx錯誤錯誤!1xdx13x3|10ln x|e143.【答案】A7.由 yex，x2，ye 圍成的曲邊梯形的面積是()A.e22eB.e2eC.e2D.e【解析】所求面積為 S錯誤錯誤!(exe)dx(exex)|21e22e.【答案】A8.(2016石家莊高二檢測)若錯誤錯誤!2x1x dx3ln 2，且 a1，則 a 的值為()A.6B.4C.3D.2【解析】錯誤錯誤!2x1x dx(x2ln x)

12、|a1a2ln a1，故有 a2ln a13ln 2，解得 a2.【答案】D9.若 S1錯誤錯誤!x2dx，S2錯誤錯誤!1xdx，S3錯誤錯誤!exdx，則 S1，S2，S3的大小關系為()A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S2S1【解析】S1錯誤錯誤!x2dx13x3|2113231373，S2錯誤錯誤!1xdxln x|21ln 2，S3錯誤錯誤!exdxex|21e2ee(e1)，ln 2ln e1，且732.5e(e1)，所以ln 273e(e1)，即 S2S10，所以 f(1)lg 10.又 x0 時，f(x)x錯誤錯誤!3t2dtxt3|a0 xa3，所以

13、f(0)a3.因為 ff(1)1，所以 a31，解得 a1.【答案】D11.定積分錯誤錯誤!( 1（x1）2x)dx 等于()A.24B.21C.14D.12【解析】錯誤錯誤!( 1（x1）2x)dx錯誤錯誤!1（x1）2dx錯誤錯誤!xdx.錯誤錯誤!1（x1）2dx 表示圓(x1)2y21 的上半圓與 x1，x0，y0圍成的圖形面積.畫出圖形(略)可知S1錯誤錯誤!1（x1）2dx4，S2錯誤錯誤!xdx12，SS1S224.【答案】A12.一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度 v(t)73t251t(t 的單位：s，v 的單位：m/s)行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛

14、的距離(單位：m)是()A.125ln 5B.825ln113C.425ln 5D.450ln 2【解析】由 v(t)73t251t0，可得 t4t83舍去，因此汽車從剎車 到 停止一共行駛了 4 s，此期間行駛的距離為錯誤錯誤!v(t)dt錯誤錯誤!dt7t32t225ln（t1）|40425ln 5.【答案】C二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.將答案填在題中的橫線上)13.若錯誤錯誤!(2xk)dx2，則 k_.【解析】錯誤錯誤!(2xk)dx(x2kx)|101k2，k1.【答案】114.曲線 y24ax，xa(a0)繞 x 軸旋轉所得的旋轉體體積是_.【導學

15、號：94210080】【解析】由旋轉體體積公式可得：V錯誤錯誤!y2dx錯誤錯誤!4axdx4a12x2|a02a3.【答案】2a315.設函數(shù) f(x)ax2c(a0)，若錯誤錯誤!f(x)dxf(x0)，0 x01，則 x0的值為_.【解析】錯誤錯誤!(ax2c)dxax20c，a3ax20.a0，x2013，又 0 x01，x033.【答案】3316.曲線 yx2和曲線 y2x 圍成的圖形的面積是_.【解析】作出兩曲線 yx2與 yx12圍成的圖形(如圖陰影所示)，則圖形的面積 S錯誤錯誤!x12x2dx23x3213x3|10231313.【答案】13三、解答題(本大題共 6 小題，共

16、 70 分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分 10 分)由直線 ykx(k0)，直線 y0，x1 所圍成的圖形的面積為 S1，由曲線 y33x2，直線 x0，x1，y0 所圍成的圖形的面積為S2，當 S1S2時，求 k 的值及直線的方程.【解】依題意得 S1錯誤錯誤!kxdx12kx2|10k2，S2錯誤錯誤!(33x2)dx(3xx3)|102.S1S2，k22，解得 k4，則直線的方程為 y4x.18.(本小題滿分 12 分)如圖 1 所示，求由曲線 y14x2，x0，3，x0 及 y214所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉一周所形成幾何體的體積.圖 1【解】根據(jù)題意

17、和圖形，所求體積 V錯誤錯誤!(2 y)2dy4錯誤錯誤!ydy412y2|94028116818.19.(本小題滿分 12 分)計算曲線 yx22x3 與直線 yx3 所圍成圖形的面積.【解】由yx3，yx22x3，解得 x10，x23.因此所求圖形的面積為S錯誤錯誤!(x3)dx錯誤錯誤!(x22x3)dx錯誤錯誤!(x3)(x22x3)dx錯誤錯誤!(x23x)dx13x332x2|3092.20.(本小題滿分 12 分)求由曲線 y x， 直線 yx2 以及 x 軸所圍成的平面圖形的面積.【解】作出直線 yx2，曲線 y x的草圖，所求平面圖形的面積為圖中陰影部分的面積.可求得直線 y

18、x2 與曲線 y x的交點為(4，2).直線 yx2 與 x 軸的交點為(2，0).陰影部分的面積(記為 S)，由兩部分組成：一部分是直線 x2 左邊的圖形的面積(記為 S1)；另一部分是直線 x2 右邊的圖形的面積(記為 S2).則 SS1S2錯誤錯誤!xdx錯誤錯誤!23x32|2023x32|4212x22x|42103.21.(本小題滿分 12 分)設 F(x)錯誤錯誤!(t22t8)dt.(1)求 F(x)的單調區(qū)間；(2)求 F(x)在1，3上的最值.【解】依題意，F(xiàn)(x)錯誤錯誤!(t22t8)dt13t3t28t|x013x3x28x，定義域是(0，).(1)F(x)x22x8

19、，令 F(x)0，得 x2 或 x4，令 F(x)0，得4x2，由于定義域是(0，)，函數(shù)的增區(qū)間是(2，)，減區(qū)間是(0，2).(2)令 F(x)0，得 x2(x4 舍去)，由于 F(1)203，F(xiàn)(2)283，F(xiàn)(3)6，F(xiàn)(x)在1，3上的最大值是 F(3)6，最小值是 F(2)283.22.(本小題滿分 12 分)求由曲線 yx2， 直線 y2x3 所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉一周所得旋轉體的體積.【解】曲線 yx2與直線 y2x3 的交點為 A(1，1)，B(3，9)，則它們所圍成的平面圖形如圖中陰影部分所示.所以所得旋轉體的體積 V 等于直線 y2x3，x1，x3 與 x 軸所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉一周所得旋轉體的體積(記為 V1)減去曲線 yx2，直線 x1，x3 與 x 軸所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉一周所得旋轉體的體積(記為V2).又 V1錯誤錯誤!(2x3)2dx錯誤錯誤!(4x212x9)dx43x36x29x|313643.V2錯誤錯誤!(x2)2dx錯誤錯誤!x4dx5x5|312445.所以所求旋轉體的體積 VV1V21 08815.