（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料2.1從平面向量到空間向量一、選擇題1下列說法中正確的是()A任意兩個(gè)空間向量都可以比較大小B方向不同的空間向量不能比較大小，但同向的空間向量可以比較大小C空間向量的大小與方向有關(guān)D空間向量的?？梢员容^大小答案D解析任意兩個(gè)空間向量，不論同向還是不同向均不存在大小關(guān)系，故A、B不正確；向量的大小只與其長度有關(guān)，與方向沒有關(guān)系，故C不正確；由于向量的模是一個(gè)實(shí)數(shù)，故可以比較大小2在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么與直線AM垂直的向量有()ABCD答案D解析由于所求的是向量，所以首先排除B，在剩下的三個(gè)選項(xiàng)中，通過正方體的圖形可知D項(xiàng)正確3空間中，起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是()A圓B球C正方形D球面答案D解析根據(jù)模的概念知終點(diǎn)在以起點(diǎn)為球心，半徑為1的球面上4在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量、是()A有相同起點(diǎn)的向量B等長向量C共面向量D不共面向量答案C解析先畫出平行六面體的圖像，可看出向量、在平面ACD1上，由于向量平行于，所以向量經(jīng)過平移可以移到平面ACD1上，因此向量、為共面向量5如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°.在所有棱所在的向量中，平面BB1C1C的法向量有()A0個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)答案D解析由于三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱且ACB90°，所以A1C1平面BB1C1C，AC平面BB1C1C，所以平面BB1C1C的法向量是：，共4個(gè)6已知正方形ABCD的邊長為4，GC平面ABCD，且GC2，則向量的模為()A6B9C4D5答案A解析GC平面ABCD，所以GCAC在RtGAC中，AC4，GC2，所以AG6，即|6.二、填空題7下列有關(guān)平面法向量的說法中，正確的是_(填寫相應(yīng)序號)平面的法向量垂直于與平面平行的所有向量；一個(gè)平面的所有法向量互相平行；如果兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直；如果a，b與平面平行，且na，nb，那么n就是平面的一個(gè)法向量答案解析當(dāng)a與b共線時(shí)，n就不一定是平面的法向量，故錯(cuò)誤8在長方體中，從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為1,2,3，在以長方體的兩個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，模為1的向量有_個(gè)答案8解析研究長方體模型可知，棱長為1的棱有4條，故模為1的向量有8個(gè)三、解答題9如圖，在棱長為1的正三棱柱ABCA1B1C1中：(1)以正三棱柱的兩個(gè)頂點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，舉出與向量相等的向量；(2)以正三棱柱的兩個(gè)頂點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，舉出向量的相反向量；(3)若E是BB1的中點(diǎn)，舉出與向量平行的向量解析(1)由正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征知與相等的向量只有向量.(2)向量的相反向量為、.(3)取AA1的中點(diǎn)F，連結(jié)B1F，則、都是與平行的向量10如圖，正方體ABCDEHGF，寫出平面ABCD所有的法向量，并求，、，解析平面ABCD所有的法向量有、.由于正方體的三條棱DA、DC、DF互相垂直，所以，90°，90°.一、選擇題1對于空間向量，有以下命題：單位向量的模為1，但方向不確定；如果一個(gè)向量和它的相反向量相等，那么該向量的模為0；若ab，bc，則ac；若ABCDABCD為平行六面體，則.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4答案C解析中當(dāng)b0時(shí)，結(jié)論不成立，其它3個(gè)命題都是真命題，故選C2在平行六面體ABCDABCD中，與向量的模相等的向量至少有()A7個(gè)B3個(gè)C5個(gè)D6個(gè)答案A3如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)為向量端點(diǎn)的所有向量中，直線AB的方向向量有()A8個(gè)B7個(gè)C6個(gè)D5個(gè)答案A解析與向量平行的向量就是直線AB的方向向量，有、，共8個(gè)，所以選A4.的一個(gè)必要不充分條件是()AA與C重合BA與C重合，B與D重合C|DA、B、C、D四點(diǎn)共線答案C解析向量相等只需方向相同，長度相等，而與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的位置無關(guān)表示兩個(gè)共線向量的兩條有向線段所在的直線平行或重合，不能得到四點(diǎn)共線二、填空題5在下列命題中：若a、b為共面向量，則a、b所在的直線平行；若向量a、b所在直線是異面直線，則a、b一定不共面；平面的法向量不唯一，但它們都是平行的；平行于一個(gè)平面的向量垂直于這個(gè)平面的法向量其中正確命題的個(gè)數(shù)為_答案2解析是錯(cuò)誤的，共面向量所在的直線不一定平行，只要能平移到一個(gè)平面內(nèi)就可以6如圖，在正四棱臺ABCDA1B1C1D1中，O、O1分別是對角線AC，A1C1的中點(diǎn)，則、_，_，_.答案0°0°90°解析由題意得，方向相同，是在同一條直線AC上，故，0°；可平移到直線AC上，與重合，故，0°；由題意知OO1是正四棱臺ABCDA1B1C1D1的高，故OO1平面A1B1C1D1，所以O(shè)O1A1B1，故，90°.三、解答題7如圖所示，正四棱錐PABCD的底面邊長為1.(1)試判斷向量，中哪個(gè)是單位向量；(2)舉出與向量相等的向量解析(1)單位向量即模為1的向量，則、都是單位向量(2)由于向量與向量方向相同，且模都為1，故是與向量相等的向量8如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是D1B1的中點(diǎn)(1)問：向量、是否為共面向量？(2)求，；(3)寫出平面BB1C1C的一個(gè)法向量解析(1)向量在平面D1B1BD上，由于向量、平行于平面D1B1BD，所以向量、都能夠平移到平面D1B1BD上，即向量、是共面向量(2)在正方體ABCDA1B1C1D1中，為平面A1B1BA的法向量，又在平面A1B1BA上，所以，即，90°.(3)平面BB1C1C的一個(gè)法向量為(或、)