（新教材）北師大版精品數(shù)學資料第三章3.2第1課時拋物線及其標準方程一、選擇題1在平面直角坐標系內，到點(1,1)和直線x2y3的距離相等的點的軌跡是()A直線B拋物線C圓D雙曲線答案A解析點(1,1)在直線x2y3上，故所求點的軌跡是過點(1,1)且與直線x2y3垂直的直線2拋物線y28px(p>0)，F(xiàn)為焦點，則p表示()AF到準線的距離BF到準線距離的CF到準線距離的DF到y(tǒng)軸的距離答案B解析設y22mx(m>0)，則m表示焦點到準線的距離，又2m8p，p.3拋物線y2x上一點P到焦點的距離是2，則P點坐標為()ABCD答案B解析設P(x0，y0)，則|PF|x0x02，x0，y0±.4一動點到點(3,0)的距離比它到直線x2的距離大1，則動點的軌跡是()A橢圓B雙曲線C雙曲線一支D拋物線答案D5(2014·新課標文)已知拋物線C：y2x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|x0，則x0()A1B2C4D8答案A解析本題考查拋物線的定義及標準方程由拋物線的定義知：|AF|x0x0，x01.6直線yx3與拋物線y24x交于A、B兩點，過A、B兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為()A48B56C64D72答案A解析聯(lián)立解得A(1，2)，B(9,6)，則|AP|2，|BQ|10，|PQ|8，S梯形48.二、填空題7拋物線y28x的焦點F的坐標為_；若P為拋物線y28x上一點，點M的坐標是(4,2)，則|MP|FP|的最小值為_答案(2,0)6解析y22×4x，所以焦點坐標為(2,0)|PF|等于P點到拋物線y28x的準線的距離d，所以|PF|PM|的最小值等于M到拋物線準線的距離d426.8過拋物線y22px(p>0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則p_.答案2解析本小題主要考查拋物線的性質、弦長等基礎知識直線AB：yx代入拋物線y22px，得x23px0，x1x23p，3pp8，p2.三、解答題9已知拋物線的標準方程如下，分別求其焦點和準線方程(1)y26x；(2)2y25x0.分析先根據拋物線的標準方程形式，求出p，再根據開口方向，寫出焦點坐標和準線方程解析(1)2p6，p3，開口向右則焦點坐標是(，0)，準線方程為x.(2)將2y25x0變形為y2x.2p，p，開口向右焦點為(，0)，準線方程為x.總結反思根據拋物線方程求其焦點坐標和準線方程，一定要先化為標準形式，求出的值，即可寫出焦點坐標和準線方程10已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，拋物線上的點M(3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值解析解法一：設拋物線方程為y22px(p>0)，則焦點F，由題設可得解得或.故拋物線方程為y28x，m的值為±2.解法二：設拋物線方程為y22px(p>0)，則焦點F，準線方程為x.根據拋物線定義，點M到焦點的距離等于5，也就是點M到準線的距離等于5，則35，p4，因此拋物線方程為y28x.又點M(3，m)在拋物線上，于是m224，m±2.總結反思解法二利用拋物線的定義把到焦點的距離轉化為到準線的距離，既快捷又方便，要善于轉化一、選擇題1已知點M是拋物線y22px(p>0)上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，若以|MF|為直徑作圓，則這個圓與y軸的關系是()A相交B相切C相離D以上三種情形都有可能答案B解析如圖，由MF的中點A作準線l的垂線AE，交直線l于點E，交y軸于點B；由點M作準線l的垂線MD，垂足為D，交y軸于點C，則MDMF，ONOF，AB，這個圓與y軸相切2已知拋物線y22px(p>0)的焦點為F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2x1x3，則有()A|P1F|P2F|P3F|B|P1F|2|P2F|2|P3F|2C2|P2F|P1F|P3F|D|P2F|2|P1F|·|P3F|答案C解析因為P1、P2、P3在拋物線上，且2x2x1x3，兩邊同時加上p，得2(x2)x1x3，即2|P2F|P1F|P3F|，故選C3(2014·萬州市分水中學高二期中)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y24x的焦點，P為C上一點，若|PF|4，則POF的面積為()A2B2C2D4答案C解析拋物線C的準線方程為x，焦點F(，0)，由|PF|4及拋物線的定義知，P點的橫坐標xP3，從而yP±2，SPOF|OF|·|yP|××22.4設P是拋物線y24x上的一個動點，F(xiàn)為拋物線焦點若B(3,2)，|PB|PF|的最小值為()A2B4C5D6答案B解析如圖把點B的橫坐標代入y24x中，得y±，因為>2，所以B在拋物線內部，自B作BQ垂直準線于Q，交拋物線于P1.此時，由拋物線定義知：|P1Q|P1F|.那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314.即最小值為4.二、填空題5設拋物線y24x的焦點弦的兩個端點分別為A(x1，y1)和B(x2，y2)，若x1x26，那么|AB|_.答案8解析設焦點為F，由p2，利用焦半徑公式，得|AB|AF|BF|(x1)(x2)x1x2p628.6沿直線y2發(fā)出的光線經拋物線y2ax反射后，與x軸相交于點A(2,0)，則拋物線的準線方程為_(提示：拋物線的光學性質：從焦點發(fā)出的光線經拋物線反射后與軸平行)答案x2解析由直線y2平行于拋物線的軸知A(2,0)為焦點，故準線方程為x2.三、解答題7過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若A、B在拋物線準線上的射影是A1、B1，求A1FB1.解析如圖所示，由拋物線的定義得，|AF|AA1|，|BF|BB1|，12，34，又1234A1AFB1BF360°，且A1AFB1BF180°，1234180°，2(24)180°，即2490°，故A1FB190°.8如圖所示，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1,2)、A(x1，y1)、B(x2，y2)均在拋物線上(1)寫出該拋物線的方程及其準線方程；(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1y2的值及直線AB的斜率分析根據兩直線傾角互補，kPAkPB，利用斜率公式求解解析(1)由已知條件，可設拋物線的方程為y22px.點P(1,2)在拋物線上，222p·1，得p2.故所求拋物線的方程是y24x，準線方程是x1.(2)設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB則kPA(x11)，kPB(x21)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，kPAkPB.y12(y22)y1y24.由A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線上，得y4x1，y4x2，由得直線AB的斜率kAB1(x1x2)總結反思解析幾何問題要根據題中信息，結合題目特征，通過設而不求的方法進行解答