（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料第三章3.3第2課時(shí) 雙曲線的簡單性質(zhì)一、選擇題1下列曲線中離心率為的是()A1B1C1D1答案B解析雙曲線的離心率e，得，只有B選項(xiàng)符合，故選B2雙曲線x21的離心率大于的充分必要條件是()Am>Bm1Cm>1Dm>2答案C解析雙曲線離心率e>，所以m>1，選C3已知雙曲線C：1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為()A1B1C1D1答案A解析本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法由題意知，焦距為10，c5，又P(2,1)在雙曲線的漸近線上，a2b，聯(lián)立得a220，b25，故雙曲線方程1，注意焦距為2c而不是c，雙曲線的漸近線方程的求法4(2014山東理)已知a>b>0，橢圓C1的方程為1，雙曲線C2的方程為1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為()Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0答案A解析e，e，ee1()4，雙曲線的漸近線方程為yx.5(2015天津理，6)已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線過點(diǎn)(2，)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx，由點(diǎn)(2，)在漸近線上，所以，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y24x準(zhǔn)線方程x上，所以c，由此可解得a2，b，所以雙曲線方程為1，故選D6若雙曲線1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，P為雙曲線上一點(diǎn)，且|PF1|3|PF2|，則該雙曲線離心率的取值范圍是()Ae2B1e2CeDe答案B解析由題意，|PF1|AF1|，3aac，e2，1<e2.二、填空題7若雙曲線1的離心率e2，則m_.答案48解析本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)c2a2b216m，又e，e2，m48.8已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60，則雙曲線C的離心率為_答案解析如圖，c>b，B1F1B260，B1F1O30.在B1OF1中，tan30，.1，.e2，e.三、解答題9已知雙曲線1(a>0，b>0)過點(diǎn)A(，)，且點(diǎn)A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為.求此雙曲線方程解析雙曲線1的兩漸近線的方程為bxay0.點(diǎn)A到兩漸近線的距離分別為d1，d2已知d1d2，故又A在雙曲線上，則14b25a2a2b2代入，得3a2b24a24b2聯(lián)立、解得b22，a24.故所求雙曲線方程為1.10如圖，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C：1(a，b>0)的左、右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M.若|MF2|F1F2|，求C的離心率解析本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)F1(c,0)，B(0，b)k，那直線F1B方程為yxb，聯(lián)立，得P點(diǎn)坐標(biāo)(，)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，)，MN的直線方程為y(x)令y0，x，又由|MF2|F1F2|知3Ca22b2，1e2.e.一、選擇題1雙曲線mx2y21的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則m等于()AB4C4D答案A解析雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：y21，則有：a21，b2，由題設(shè)條件知，2，m.2已知雙曲線kx2y21的一條漸近線與直線2xy10垂直，則這個(gè)雙曲線的離心率是()ABCD答案D解析由2xy10，知此直線的斜率k12，則給定的雙曲線的一條漸近線的斜率為k2.而雙曲線的一條漸近線為yx，則k，e，故選D3已知雙曲線1，過其右焦點(diǎn)F的直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則的值為()ABCD答案B解析依題意，將直線PQ特殊化為x軸，于是有點(diǎn)P(3,0)、Q(3,0)、M(0,0)、F(5,0)，選B4已知雙曲線1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其一條漸近線方程為yx，點(diǎn)P(，y0)在該雙曲線上，則等于()A12B2C0D4答案C解析由漸近線方程yx，得b，把點(diǎn)P(，y0)代入1中，得y01.不妨取P(，1)，F(xiàn)1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，(2，1)(2，1)3410.二、填空題5若雙曲線1(b>0)的漸近線方程為yx，則b等于_答案1解析雙曲線1的漸近線方程為yx，又漸近線方程為yx，故b1.6已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)、F2(c,0)，若雙曲線上存在點(diǎn)P使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_答案(1，1)解析考查雙曲線的性質(zhì)不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，由正弦定理可得，e，故e1，而PF2>ca，即>e1，e<1，又e>1，1<e<1.三、解答題7已知等軸雙曲線x2y2a2及其上一點(diǎn)P，求證：(1)P到它兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的積等于P到雙曲線中心距離的平方；(2)過P作兩漸近線的垂線，構(gòu)成的矩形面積為定值證明(1)設(shè)P(x0，y0)，則xya2，又F1(a,0)、F2(a,0)，|PF1|PF2|x0a|x0a|2xa2|xy|PO|2.(2)設(shè)垂足分別為Q、R，則由點(diǎn)到直線距離公式知|PQ|，|PR|，SPQOR|PQ|PR|xy|a2(定值)總結(jié)反思證定值問題亦可從特殊值出發(fā)找出定值，然后再進(jìn)行論證8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：2x2y21.(1)F是C的左焦點(diǎn)，M是C右支上一點(diǎn)若|MF|2，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)過C的左頂點(diǎn)作C的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；(3)設(shè)斜率為k(|k|<)的直線l交C于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓x2y21相切，求證：OPOQ.解析(1)雙曲線C：y21，左焦點(diǎn)F(，0)設(shè)M(x，y)，則|MF|2(x)2y2(x)2，由M點(diǎn)是右支上一點(diǎn)，知x，所以|MF|x2，解得x，所以M(，)(2)左頂點(diǎn)A(，0)，漸近線方程：yx.過點(diǎn)A與漸近線yx平行的直線方程為：y(x)，即yx1.解方程組得所求平行四邊形的面積為S|OA|y|.(3)設(shè)直線PQ的方程是ykxb，因直線PQ與已知圓相切，故1，即b2k21(*)由得(2k2)x22kbxb210.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則又y1y2(kx1b)(kx2b)，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kb(x1x2)b2b2.由(*)知，0，所以O(shè)POQ.