（新教材）北師大版精品數(shù)學資料【成才之路】高中數(shù)學 第1章 4簡單計數(shù)問題課時作業(yè) 北師大版選修2-3一、選擇題14位同學參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一道作答，選甲答對得100分，答錯得100分；選乙答對得90分，答錯得90分若4位同學的總分為0，則這4位同學不同得分情況的種數(shù)是()A48種B36種C24種D18種答案B解析本題是考查排列組合及相關分類的問題設4人中兩人答甲題，兩人答乙題，且各題有1人答錯，則有A24(種)設4人都答甲題或都答乙題，且兩人答對，兩人答錯，則有2CC12(種)4位同學得總分為0分的不同情況有241236(種)故選B.2將5個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有()A15種B20種C25種D32種答案C解析就編號為1的盒子中所放的球的個數(shù)分類：第一類，當編號為1的盒子中放入一個球時，相應的放法數(shù)有C種；第二類，當編號為1的盒中放入2個球時，相應的放法數(shù)有C10種；第三類，當編號為1的盒子中放入3個球時，相應的放法數(shù)有C10種根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，滿足題意的放法種數(shù)是5101025.3(2014秦安縣西川中學高二期中)某城市的汽車牌照號碼由2個英文字母后接4個數(shù)字組成，其中4個數(shù)字互不相同英文字母可以相同的牌照號碼共有()A(C)2A個BAA個C(C)2104個DA104個答案A解析前兩位英文字母可以重復，有(C)2種排法，又后四位數(shù)字互不相同，有A種排法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有不同牌照號碼(C)2A個4甲、乙、丙、丁四名同學在一次聯(lián)歡會上合唱一首歌曲，他們商議：前四句歌詞每人唱一句，其中甲和乙唱相鄰的兩句且甲不能唱第一句，第五句歌詞由兩人合唱，第六句歌詞由另外兩人合唱，歌曲的余下部分由四人合唱，則四人唱完這首歌曲的不同唱法的種數(shù)是()A24B36C48D60答案D解析由題意，對甲的前4句唱哪句進行分類：甲唱第2句：CA；甲唱第3句：CA；甲唱第4句：CA；共有CACACA10種唱法然后第5句有C種唱法，第6句有C種唱法，故共有10CC60種唱法5有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是()A234B346C350D363答案B解析前排中間3個座位不能坐，實際可坐的位置前排8個，后排12個(1)兩人一個前排，一個后排，排法數(shù)為CCA；(2)兩人均在后排，共A種，需排除兩個相鄰的情況：AA，即AAA；(3)兩人均在前排，又分兩類：兩人一左一右，為CCA，兩人同左或同右時，有2(AAA)種綜上，不同排法的種數(shù)為CCA(AAA)CCA2(AAA)346.二、填空題6將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會的三個不同場館服務，不同的分配方案有_種(用數(shù)字作答)答案90種解析本題考查了排列組合中的平均分組分配問題，先分組，再把三組分配乘以A得：A90種7將數(shù)字1、2、3、4、5、6排成一列，記第i個數(shù)為ai(i1,2，6)若a11，a33，a55，a1<a3<a5，則不同的排列方法有_種(用數(shù)字作答)答案30解析本題主要考查用排列知識解決問題的能力第一類：a12時，a34，a56或a35，a56，共有2A12(種)第二類：a13時，a34，a56或a35，a56，共有2A12(種)第三類：a14時，a35，a56，共有A6(種)所以總的排列方法有1212630(種)8如果把2條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有_對(用數(shù)字作答)解析方法一：第一步：從6條側棱中任取一條，有C種方法第二步：從與該側棱不相交的4條底邊中任取一條，有C種方法根據(jù)乘法原理，異面直線有CC24種方法二：從12條直線中任取2條組成C對直線，求其中異面直線的對數(shù)，只需從中減去2條直線共面的情況2條直線共面的情況有三類：第一類：任取2條側棱所在的直線，顯然是共面的，有C種取法第二類：任取1條側棱所在的直線，再取與它有交點的底邊所在直線，有62種取法第三類：任取2條底邊所在的直線，顯然是共面的，有C種取法所以異面直線共有CC62C24對三、解答題9男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1人，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男3名，女2名；(2)隊長至少有1人參加；(3)至少有1名女運動員；(4)既要有隊長，又要有女運動員分析此題中選的5人與順序無關，是組合問題解析(1)CC120種不同的選派方法(2)分為兩類：僅1名隊長參加和兩人都參加：共CCC196種不同的選派方法(3)全部選法中排除無女運動員的情況：共CC246種不同的選法(4)分三類：僅女隊長：C；僅男隊長：CC；兩名隊長：C；共CCCC191種不同的選派方法反思總結本題涉及所取元素“至少”問題，一般有兩種考慮方法：直接法：“至少”中包含分類，間接法就是從總數(shù)中去掉“至少”之外的情況，“至多”也可這樣考慮10.某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2,3張為不同花色的A，他有5次出牌機會，每次只能出一種點數(shù)的牌，但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？解析出牌的方法可分為以下幾類：(1)5張牌全部開出，有A種方法；(2)2張2一起出，3張A一起出，有A種方法；(3)2張2一起出，3張A分開出，有A種方法；(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有CA種方法；(5)2張2分開出，3張A一起出，有A種方法；(6)2張2分開出，3張A分兩次出，有CA種方法因此共有不同的出牌方法AAACAACA860種反思總結全面細致地分類是解決本題的關鍵若按出牌次數(shù)分類，方法數(shù)為A(1C)A(1C)AA860種一、選擇題1某旅游團組織的旅游路線有省內(nèi)和省外兩種，且省內(nèi)路線有4條，省外路線有5條，則參加該旅游團的游客的旅游方案有()A4種B5種C9種D20種答案C解析游客的旅游方案分為兩類：第一類：選省內(nèi)路線，有4種方法第二類：選省外路線，有5種方法由加法原理可知，游客的旅游方案有459種2(2014重慶理，9)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A72B120C144D168答案B解析分兩類：(1)先排歌舞類有A 6種排法，再將其余的三個節(jié)目插空，如圖所示，或者，此時有2AA 72；(2)先排歌舞類有A6種排法，其余的兩個小品與歌舞排法如圖，或者，有4AC 48.所以共有7248120種不同的排法解決不相鄰的排列問題，一般是運用插空法，解決本題容易忽略了第二類，導致出差3現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A232B252C472D484答案C解析本題考查了利用組合知識來解決實際問題C4CCC167256088472.另解：CC3CCC12422026412472.解題時要注意直接求解與反面求解相結合，做到不漏不重4.如圖A，B，C，D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方案共有()A8種B12種C16種D20種答案C解析如圖，構造三棱錐ABCD；四個頂點表示四個小島，六條棱表示連接任意兩島的橋梁由題意，只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法這可由間接法完成：從六條棱中任取三條棱的不同取法有C種，任取三條共面棱的不同取法有4種，所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法有C416種故不同的建橋方案共有16種反思總結此例通過構造幾何圖形使組合問題借助于幾何圖形展現(xiàn)出來也蘊函著轉化思想二、填空題5有4張分別標有數(shù)字1、2、3、4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1、2、3、4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行如果取出的4張卡片所標數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有_種(用數(shù)字作答)答案432解析因為10123422331144，即數(shù)字之和為10的情況有4,4,1,1；4,3,2,1；3,3,2,2，共三種若為1,2,3,4，先選出標有數(shù)字的卡片，有2222種可能，然后再排列它們，每一種可能有A種排法，根據(jù)乘法原理，滿足題意的排法有2222A384種；若為2,2,3,3，先選出標有數(shù)字的卡片，方法是唯一的，再排列它們有A種排法；若為1,4,1,4也有A種排法所以共有384AA432種不同的排法6今有2個紅球、3個黃球、4個白球，若同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列共有_種不同的方法(用數(shù)字作答)答案1260解析方法一：只需找到不同顏色的球所在的位置即可，共有CCC1260種方法方法二：同色球不加以區(qū)分(即屬相同元素排列的消序問題)，先全排列，再消去各自的順序即可，則將這9個球排成一列共有1260種不同的方法三、解答題7有四個不同的數(shù)字1、4、5、x(x0)組成沒有重復數(shù)字的所有的四位數(shù)的各位數(shù)字之和為288，求x的值解析因為1、4、5、x四個數(shù)字不同，排成的四位數(shù)中1在千位上、百位上、十位上、個位上分別有A個，所有的1的和共為4A24.同理，排成的四位數(shù)中4在千位上、百位上、十位上、個位上分別有A個，所以，所有的4的和共為44A96.所有的5的和共為54A120.所有的x的和為x4A24x.即24x1209624288，解得：x2.8.“抗震救災，眾志成城”在舟曲的救災中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調6名奔赴災區(qū)救災，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家問：(1)抽調的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調方法有多少種？(3)至多有2名外科專家的抽調方法有多少種？解析(1)分步：首先從4名外科專家中任選2名，有C種選法，再從除外科專家的6人中選取4人，有C種選法，所以共有CC90種抽調方法(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法，方法一(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類：選2名外科專家，共有CC種選法；選3名外科專家，共有CC種選法；選4名外科專家，共有CC種選法；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有CCCCCC185種抽調方法方法二(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有C種選法，考慮選取1名外科專家參加，有CC種選法；沒有外科專家參加，有C種選法，所以共有：CCCC185種抽調方法(3)“至多2名”包括“沒有”、“有1名”、“有2名”三種情況，分類解答沒有外科專家參加，有C種選法；有1名外科專家參加，有CC種選法；有2名外科專家參加，有CC種選法所以共有CCCCC115種抽調方法