（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料核心必知1模擬方法在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下，可以用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)其發(fā)生的概率，但確定隨機(jī)事件發(fā)生的頻率常常需要人工做大量的重復(fù)試驗(yàn)，既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，并且有時(shí)很難實(shí)現(xiàn)因此，我們可以借助于模擬方法來估計(jì)某些隨機(jī)事件發(fā)生的概率2幾何概型(1)定義：向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，即P(點(diǎn)M落在G1)，則稱這種模型為幾何概型(2)說明：幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是體積之比或長度之比問題思考1幾何概型的概率計(jì)算與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀有關(guān)嗎？提示：幾何概型的概率只與它的長度(面積或體積)有關(guān)，而與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無關(guān)2在幾何概型中，如果A為隨機(jī)事件，若P(A)0，則A一定為不可能事件；若P(A)1，則A一定為必然事件，這種說法正確嗎？提示：這種說法不正確如果隨機(jī)事件所在的區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，顯然它不是不可能事件；如果一個(gè)隨機(jī)事件所在的區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件 講一講1.取一根長為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度都不小于1 m的概率有多大？嘗試解答如圖所示，記事件A剪得兩段繩子長都不小于1 m，把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件A發(fā)生全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是繩子的長度3 m，事件A包含的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是中間一段的長度為31(m)，故事件A發(fā)生的概率P(A).在求解與長度有關(guān)的幾何概型時(shí)，首先找到幾何區(qū)域D，這時(shí)區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發(fā)生對應(yīng)的區(qū)域d，在找d的過程中，確定邊界點(diǎn)是問題的關(guān)鍵，但邊界點(diǎn)是否取到卻不影響事件A的概率 練一練1在區(qū)間1,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|1的概率為_解析：由|x|1得，1x1，故易知所求概率為.答案：講一講2.假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：307：30把報(bào)紙送到你家，你父親離開家去工作的時(shí)間是7：008：00，問你父親在離開家前能拿到報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少？嘗試解答如圖，送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間是6：307：30的任一時(shí)刻，父親離開家去工作的時(shí)間是7：008：00的任一時(shí)刻，如果在直角坐標(biāo)系內(nèi)以x軸表示報(bào)紙送到的時(shí)間，y軸表示父親離開家的時(shí)間，因?yàn)閳?bào)紙送到的時(shí)間和父親離開家的時(shí)間都是隨機(jī)的，所以隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果(x，y)是圖中所示正方形中等可能的任意一點(diǎn)事件A(父親離開家前能拿到報(bào)紙)發(fā)生須xy，即正方形內(nèi)陰影部分，事件A發(fā)生的概率只與陰影部分的面積大小有關(guān)，這符合幾何概型的條件A12，1，所以P(A).在研究射擊、射箭、投中、射門等實(shí)際問題時(shí)，常借助于區(qū)域的面積來計(jì)算概率的值此時(shí)，只需分清各自區(qū)域特征，分別計(jì)算其面積，以公式P(A) 計(jì)算事件的概率即可練一練2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則落入E中的概率為_解析：如圖所示，區(qū)域D表示邊長為4的正方形的內(nèi)部(含邊界)，區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此P.答案：講一講3.有一杯2升的水，其中含有一個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率嘗試解答把判斷這個(gè)細(xì)菌所在的位置看成一次試驗(yàn)，設(shè)所取的0.1升水中含有這個(gè)細(xì)菌為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是0.1升，全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是2升，所以P(A)0.05.如果試驗(yàn)的結(jié)果所成的區(qū)域可用體積來度量，我們要結(jié)合問題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確找出基本事件所占的總體積及事件A所分布的體積其概率的計(jì)算P(A).練一練3在棱長為3的正方體內(nèi)任意取一個(gè)點(diǎn)，求這個(gè)點(diǎn)到各面的距離均大于1的概率解：記事件A為“點(diǎn)到各面的距離均大于1”，則滿足題意的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋何挥谠撜襟w中心的一個(gè)棱長為1的小正方體的內(nèi)部由幾何概型的計(jì)算公式，可得滿足題意的概率為P(A). 講一講4.設(shè)A為圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能的任取一點(diǎn)與A連接，求弦長超過半徑的倍的概率嘗試解答如圖所示，在O上有一定點(diǎn)A，任取一點(diǎn)B與A連結(jié)，則弦長超過半徑的倍，即為AOB的度數(shù)大于90，而小于270.記“弦長超過半徑的倍”為事件C，則C表示的范圍是AOB(，)則由幾何概型概率的公式，得P(C).如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度來表示，則其概率的計(jì)算公式為P(A). 練一練4在轉(zhuǎn)盤游戲中，假設(shè)轉(zhuǎn)盤有三種顏色：紅、綠、藍(lán)當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，如果指針指向紅色為贏，綠色為平，藍(lán)色為輸若每種顏色被平均分成四塊，不同顏色相間排列，要使贏的概率為，輸?shù)母怕蕿?，求每個(gè)綠色扇形的圓心角為多少度(假設(shè)轉(zhuǎn)盤停止位置都是等可能的)解：由于轉(zhuǎn)盤停止旋轉(zhuǎn)時(shí)，指針指向每個(gè)位置都是等可能的，并且位置是無限多的，所以符合幾何概型的特點(diǎn)，問題轉(zhuǎn)化為求圓盤角度或周期問題因?yàn)橼A的概率為，故紅色所占角度為周角的，即P172.同理，藍(lán)色占周角的，即P2120，所以綠色的角度P336012072168.再將P3分成四等份，得P34168442，即每個(gè)綠色扇形的圓心角為42.【解題高手】【易錯(cuò)題】如圖，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM<AC的概率錯(cuò)解在AB上截取線段AC，使ACAC.則P(AM<AC)P(AM<AC).錯(cuò)因因?yàn)樵擃}所涉及的基本事件是與角度有關(guān)的，而不是在線段AB上取點(diǎn)，即該題是與角度有關(guān)的幾何概型，而不是與長度有關(guān)的幾何概型正解在AB上取ACAC，則ACC67.5.P(AM<AC).1在500 mL的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2 mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率為()A0B0.002 C0.004 D1解析：選C 由幾何概型公式得：P0.004.2(遼寧高考)在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20 cm2的概率為()A. B. C. D.解析：選C 設(shè)|AC|x cm,0<x<12，則|CB|(12x) cm，要使矩形面積大于20 cm2，只要x(12x)>20，則x212x20<0,2<x<10，所以所求概率為P.3(湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則()A. B. C. D.解析：選D 由已知，點(diǎn)P的分界點(diǎn)恰好是邊CD的四等分點(diǎn)，由勾股定理可得AB22AD2，解得2，即.4 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60的終邊上，任作一條射線OA，射線OA落在xOT內(nèi)的概率為_解析：記B射線OA落在xOT內(nèi)，xOT60，P(B).答案：5兩根相距6 m的木桿系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于2 m的概率是_解析：由題意P.答案：6國家安全機(jī)關(guān)監(jiān)聽錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談話，發(fā)現(xiàn)30 min長的磁帶上，從開始30 s處起，有10 s長的一段內(nèi)容包含兩間諜犯罪的信息后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯(cuò)了鍵，使從此處起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？解：記A按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉，A的發(fā)生就是在0到 min時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵P(A).一、選擇題1在區(qū)間0,3上任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)落在區(qū)間2,3上的概率是()A. B. C. D.解析：選A 區(qū)間2,3長度為1，總區(qū)間0,3的長度為3，P.2 如圖，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為()A. B. C. D無法計(jì)算解析：選B 由幾何概型的公式知：，又：S正方形4，S陰影.3有四個(gè)游戲盤，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)小明希望中獎(jiǎng)，他應(yīng)當(dāng)選擇的游戲盤為()解析：選A A游戲盤的中獎(jiǎng)概率為，B游戲盤的中獎(jiǎng)概率為，C游戲盤的中獎(jiǎng)概率為，D游戲盤的中獎(jiǎng)概率為，A游戲盤的中獎(jiǎng)概率最大4A是圓上的一定點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)B，連接A、B兩點(diǎn)，它是一條弦，則它的長度大于等于半徑長度的概率為()A. B. C. D.解析：選B 如圖，當(dāng)取點(diǎn)落在B、C兩點(diǎn)時(shí)，弦長等于半徑；當(dāng)取點(diǎn)落在劣弧上時(shí)，弦長小于半徑；當(dāng)取點(diǎn)落在優(yōu)弧上時(shí)，弦長大于半徑所以弦長超過半徑的概率P.5在區(qū)間0,1內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的平方和也在0,1內(nèi)的概率是()A. B. C. D.解析：選A 設(shè)在0,1內(nèi)取出的數(shù)為a，b，若a2b2也在0,1內(nèi)，則有0a2b21.如圖，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檫呴L為1的正方形，滿足a2b2在0,1內(nèi)的點(diǎn)在單位圓內(nèi)(如陰影部分所示)，故所求概率為.二、填空題6函數(shù)f(x)x2，x5,5，那么任取一點(diǎn)x05,5，使f(x0)0的概率是_解析：由f(x0)0得x020，x02，又x05,5，x05,2設(shè)使f(x0)0為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域長度是2(5)7，全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度是5(5)10，則P(A).答案：7圓上的任意兩點(diǎn)間的距離大于圓的內(nèi)接正三角形邊長的概率是_解析：如圖所示，從點(diǎn)A出發(fā)的弦中，當(dāng)弦的另一個(gè)端點(diǎn)落在劣弧B上的時(shí)候，滿足已知條件，當(dāng)弦的另一個(gè)端點(diǎn)在劣弧A或劣弧A上的時(shí)候不能滿足已知條件又因?yàn)锳BC是正三角形，所以弦長大于正三角形邊長的概率是.答案：8已知點(diǎn)P是邊長為4的正方形內(nèi)任一點(diǎn)，則P到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于2的概率是_解析：如圖所示，邊長為4的正方形ABCD，分別以A、B、C、D為圓心，并以2為半徑畫圓截正方形ABCD后剩余部分是陰影部分則陰影部分的面積是42422164，所以所求概率是1.答案：1三、解答題9在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，求ABP與ABC的面積之比大于的概率解：設(shè)P點(diǎn)、C點(diǎn)到AB的距離分別為dP、dC，則SABPABdP，SABCABdC，所以，要使>，只需使P點(diǎn)落在某條與AB平行的直線的上方，當(dāng)然P點(diǎn)應(yīng)在ABC之內(nèi)，而這條與AB平行的直線EF與AB的距離要大于dC的.由幾何概率公式，得P2.10甲、乙兩人約定晚6點(diǎn)到晚7點(diǎn)之間在某處見面，并約定甲若早到應(yīng)等乙半小時(shí)，而乙還有其他安排，若他早到則不需等待求甲、乙兩人能見面的概率解：用x軸、y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間若甲早到，當(dāng)yx30時(shí)，兩人仍可見面；若乙早到，則兩人不可能見面，因此，必須有xy.如圖，事件A“兩人可以見面”的可能結(jié)果是陰影部分的區(qū)域故P(A).