（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明綜合測(cè)試 北師大版選修2-2時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想：“正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面_”()A各正三角形內(nèi)一點(diǎn)B各正三角形的某高線上的點(diǎn)C各正三角形的中心D各正三角形外的某點(diǎn)答案C解析正三角形的邊對(duì)應(yīng)正四面體的面，即正三角形表示的側(cè)面，所以邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的就是正三角形的中心故選C2不等式ab與同時(shí)成立的充要條件為()Aab0Ba0bC0 D0答案B解析a0b，故選B.3否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說(shuō)法中，正確的是()A有一個(gè)解 B有兩個(gè)解C至少有三個(gè)解 D至少有兩個(gè)解答案C解析至少有兩個(gè)解包含：有兩解，有一解，無(wú)解三種情況4已知f(n)，則()Af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)答案D解析f(n)f(n)中共有n2n1項(xiàng)f(2)5數(shù)列an中前四項(xiàng)分別為2，則an與an1之間的關(guān)系為()Aan1an6 B3Can1 Dan1答案B解析觀察前四項(xiàng)知它們分子相同，分母相差6，為等差數(shù)列6已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)答案B解析依題意，由和相同的整數(shù)對(duì)分為一組不難得知，第n組整數(shù)對(duì)的和為n1，且有n個(gè)整數(shù)對(duì)這樣前n組一共有個(gè)整數(shù)對(duì)注意到<60<.因此第60個(gè)整數(shù)對(duì)處于第11組的第5個(gè)位置，為(5,7)故選B.7設(shè)a、b、c都是正數(shù)，則a，b，c三個(gè)數(shù)()A都大于2B至少有一個(gè)大于2C至少有一個(gè)不大于2D至少有一個(gè)不小于2答案D解析abc(a)(b)(c)a、b、c都是正數(shù)，a2，b2，c2，當(dāng)且僅當(dāng)a1，b1，c1時(shí)取等號(hào)abc6a，b，c至少有一個(gè)不小于2.8把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫作三角形數(shù)，如圖所示，則第七個(gè)三角形數(shù)是()A27B28C29D30答案B解析第一個(gè)三角形數(shù)是1，第二個(gè)三角形數(shù)是123，第三個(gè)三角形數(shù)是1236，第四個(gè)三角形數(shù)是123410，因此，由歸納推理得第n個(gè)三角形數(shù)是1234n.由此可以得出第七個(gè)三角形數(shù)是28.9(2014·長(zhǎng)安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學(xué)一模)設(shè)ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體PABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體PABC的體積為V，則r()A BC D答案C解析將ABC的三條邊長(zhǎng)a、b、c類比到四面體PABC的四個(gè)面面積S1、S2、S3、S4，將三角形面積公式中系數(shù)，類比到三棱錐體積公式中系數(shù)，從而可知選C證明如下：以四面體各面為底，內(nèi)切球心O為頂點(diǎn)的各三棱錐體積的和為V，VS1rS2rS3rS4r，r.10(2015·陜西文，10)設(shè)f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是()Aqrp BqrpCprq Dprq答案C解析pf()ln ln (ab)；qf()ln ；r(f(a)f(b)ln (ab)，因?yàn)?，由f(x)ln x是個(gè)遞增函數(shù)，f()f()，所以qpr，故答案選C 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11.(2014·廈門六中高二期中)在平面上，我們用一直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按如圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有c2a2b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1，S2，S3表示三個(gè)側(cè)面面積，S表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是_答案S2SSS解析類比如下：正方形正方體；截下直角三角形截下三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐；直角三角形斜邊平方三棱錐底面面積的平方；直角三角形兩直角邊平方和三棱錐三個(gè)側(cè)面面積的平方和，結(jié)論S2SSS.證明如下：如圖，作OE平面LMN，垂足為E，連接LE并延長(zhǎng)交MN于F，LOOM，LOON，LO平面MON，MN平面MON，LOMN，OEMN，MN平面OFL，SOMNMN·OF，SMNEMN·FE，SMNLMN·LF，OF2FE·FL，S(MN·OF)2(MN·FE)·(MN·FL)SMNE·SMNL，同理SSMLE·SMNL，SSNLE·SMNL，SSS(SMNESMLESNLE)·SMNLS，即SSSS2.12f(n)1(nN*)，經(jīng)計(jì)算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32).推測(cè)：當(dāng)n2時(shí)，有_答案f(2n)解析由前幾項(xiàng)的規(guī)律可得答案13.函數(shù)yloga(x3)1(a>0且a1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mxny10上，其中mn>0，則的最小值為_答案8解析yloga(x3)1(a>0且a1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A(2，1)又點(diǎn)A在直線mxny10上，2mn1.又mn>0，m>0，n>0.2mn12，當(dāng)且僅當(dāng)2mn，即m，n時(shí)取等號(hào)，mn.8.14若數(shù)列an中，a11，a235，a37911，a413151719，則a10_.答案1 000解析前10項(xiàng)共使用了12341055個(gè)奇數(shù)，a10為由第46個(gè)到第55個(gè)奇數(shù)的和，即a10(2×461)(2×471)(2×551)1 000.15(2014·陜西文，14)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN， 則f2014(x)的表達(dá)式為_答案解析f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f2014(x).應(yīng)尋求規(guī)律，找出解析式三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16已知a>0，b>0，求證：.證明證法一：(綜合法)a>0，b>0，2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，同理：2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)22，即.證法二：(分析法)要證，只需證：abab，只需證：abab0，而a()b()()()20，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，所以.證法三：(反證法)假設(shè)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，<.由<，得<0，即<0，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，顯然不成立，假設(shè)不成立故.17在ABC中，ABAC，ADBC于D，求證：，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想？并說(shuō)明理由證明如圖(1)所示，由射影定理AD2BD·DC，AB2BD·BC，AC2BC·DC，.又BC2AB2AC2，.猜想：類比ABAC，ADBC猜想：四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE平面BCD.則.如圖(2)，連結(jié)BE交CD于F，連結(jié)AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，故猜想正確18已知數(shù)列an，a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項(xiàng)公式分析利用不完全歸納法猜想歸納出an，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件和假設(shè)尋找ak與ak1和Sk與Sk1之間的關(guān)系解析(1)由已知，得a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，an.(2)證明當(dāng)n2時(shí)，a25×2225，表達(dá)式成立當(dāng)n1時(shí)顯然成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明n2時(shí)結(jié)論亦成立假設(shè)nk(k2，kN)時(shí)表達(dá)式成立，即ak5×2k2，則當(dāng)nk1時(shí)，由已知條件和假設(shè)有ak1Ska1a2ak55105×2k255×2k15×2(k1)2.故當(dāng)nk1時(shí)，表達(dá)式也成立由可知，對(duì)一切n(n2，nN)都有an5×2n2.19.在圓x2y2r2(r>0)中，AB為直徑，C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，則有kAC·kBC1.你能用類比的方法得出橢圓1(a>b>0)中有什么樣的結(jié)論？并加以證明解析類比得到的結(jié)論是：在橢圓1(a>b>0)中，A，B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)，點(diǎn)P(x，y)是橢圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，則kAP·kBP證明如下：設(shè)A(x0，y0)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則A關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(x0，y0)，點(diǎn)P(x，y)為橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則kAP·kBP·.由于A，B，P三點(diǎn)在橢圓上，兩式相減得，0，即kAP·kBP.故在橢圓1(a>b>0)中，長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)為A，B，P為異于A，B的橢圓上的任意一點(diǎn)，則有kAP·kBP.20.已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)0，且0<x<c時(shí)，f(x)>0.(1)證明：是f(x)0的一個(gè)根；(2)試比較與c的大??；(3)證明：2<b<1.解析(1)證明：f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f(x)0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的一個(gè)根又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一個(gè)根(2)解：假設(shè)<c.由>0，當(dāng)0<x<c時(shí)，f(x)>0，知f()>0，與f()0矛盾，c，又c，>c.(3)證明：由f(c)0，得acb10，b1ac.又a>0，c>0，b<1.二次函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x<x2，即<.又a>0，b>2，2<b<1.21.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的nN，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b>0且b1，b，r均為常數(shù))的圖像上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時(shí)，記bn2(log2an1)(nN)，證明：對(duì)任意的nN，不等式···>成立解析(1)因?yàn)閷?duì)任意nN，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b>0且b1，b，r均為常數(shù))的圖像上，所以Snbnr.當(dāng)n1時(shí)，a1S1br，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因?yàn)閍n為等比數(shù)列，所以r1，公比為b，an(b1)bn1.(2)證明：當(dāng)b2時(shí)，an(b1)bn12n1，bn2(log2an1)2(log22n11)2n，則，所以·······.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：···>.當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?amp;gt;，所以不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，不等式成立，即····>.則當(dāng)nk1時(shí)，左邊·····>·>，所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由可得，不等式對(duì)任何nN都成立，即···>恒成立