（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料第三章3.4第1課時 曲線與方程、圓錐曲線的共同特征一、選擇題1(2013廣東省中山一中期中)方程(2xy2)0表示的曲線是()A一個點與一條直線B兩條射線和一個圓C兩個點D兩個點或一條直線或一個圓答案B解析原方程等價于x2y210，或，故選B2動點在曲線x2y21上移動時，它和定點B(3,0)連線的中點P的軌跡方程是()A(x3)2y24B(x3)2y21C(2x3)24y21D(x)2y21答案C解析設(shè)P點為(x，y)，曲線上對應(yīng)點為(x1，y1)，則有x，y.x12x3，y12y.(x1，y1)在x2y21上，xy1(2x3)2(2y)21.3“點M在曲線y|x|上”是“點M到兩坐標(biāo)軸距離相等”的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件答案B解析到兩坐標(biāo)軸距離相等點的軌跡如圖(1)，y|x|的曲線如圖(2)“點M在曲線y|x|上”“點M到兩坐標(biāo)軸距離相等”故選B4若方程x2y2k0與2xyk0所表示的兩條直線的交點在方程x2y29的曲線上，則k等于()A3B0C2D 一切實數(shù)答案A解析兩直線的交點為(0，k)，由已知點(0，k)在曲線x2y29上，故可得k29，k3.5設(shè)圓C與圓x2(y3)21外切，與直線y0相切，則C的圓心軌跡為()A拋物線B雙曲線C橢圓D圓答案A解析本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，以及拋物線的定義由題意作圖可知，圓C的圓心到(0,3)的距離等于到直線y 1的距離，所以C的圓心軌跡為拋物線6如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總保持APBD1，則動點P的軌跡是()A線段B1CB線段BC1CBB1中點與CC1中點連成的線段DBC中點與B1C1中點連成的線段答案A解析設(shè)P1、P2為P的軌跡上兩點，則AP1BD1，AP2BD1.AP1AP2A，直線AP1與AP2確定一個平面，與面BCC1B1交于直線P1P2，且知BD1平面，P1P2BD1，又BD1在平面BCC1B1內(nèi)的射影為BC1，P1P2BC1，而在面BCC1B1內(nèi)只有B1C與BC1垂直，P點的軌跡為B1C二、填空題7M為直線l：2xy30上的一動點，A(4,2)為一定點，又點P在直線AM上運動，且APPM3，則動點P的軌跡方程為_答案8x4y30解析設(shè)點M、P的坐標(biāo)分別為M(x0，y0)，P(x，y)，由題設(shè)及向量共線條件可得，.因為點M(x0，y0)在直線2xy30上，所以230，即8x4y30，從而點P的軌跡方程為8x4y30.8已知圓的方程為x2y24，動拋物線過點A(1,0)，B(1,0)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點的軌跡方程是_答案1解析設(shè)P(x0，y0)為圓上任一點，過該點的切線l：x0xy0y4(|x0|2)，以l為準(zhǔn)線過A，B兩點的拋物線焦點F(x，y)，A，B到l距離分別為d1，d2，根據(jù)拋物線的定義，|FA|FB|d1d2，即4>|AB|，F(xiàn)點的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓，c1，b23，方程為1.三、解答題9設(shè)定點M(3,4)，動點N在圓x2y24上運動，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡方程解析如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標(biāo)為，線段MN的中點坐標(biāo)為.因為平行四邊形的對角線互相平分，所以，從而由N(x3，y4)在圓上，得(x3)2(y4)24.因此所求P點的軌跡方程為(x3)2(y4)24，但應(yīng)除去兩點：和.10已知橢圓的一個頂點為A(0，1)，焦點在x軸上，若右焦點到直線xy20的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點P在橢圓上運動，B為(4,0)，M點是線段BP上的靠近點P的三等分點，求點M的軌跡方程分析(1)設(shè)右焦點為(c,0)，由點到直線的距離公式可求出c，又b1，則可求得a，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)P(x0，y0)，M(x，y)由題意可知，進而可得(x，y)與(x0，y0)之間的對應(yīng)關(guān)系利用相關(guān)點法，結(jié)合點P在橢圓上，代入橢圓方程即可求出M點的軌跡方程解析(1)設(shè)右焦點為(c,0)，因為右焦點到直線xy20的距離為3.所以3，即c23，所以c或c5(舍)又由b1，得a23.因此所求橢圓方程為y21.(2)設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，由題意可知，所以(xx0，yy0)(4x0，y0)，所以又由P在橢圓上，則有()21，即1，故點M的軌跡方程為1.一、選擇題1方程x(x2y21)0和x2(x2y21)20所表示的圖形是()A前后兩者都是一條直線和一個圓B前后兩者都是兩點C前者是一條直線和一個圓，后者是兩點D前者是兩點，后者是一條直線和一個圓答案C解析x(x2y21)0x0或x2y21，表示直線x0和圓x2y21.x2(x2y21)20表示點(0,1)、(0，1)2方程4x2y26x3y0表示的圖形是()A直線2xy0B直線2xy30C直線2xy0或直線2xy30D直線2xy0和直線2xy30答案C解析4x2y26x3y(2xy)(2xy)3(2xy)(2xy)(2xy3)，原方程表示兩條直線2xy0和2xy30.3已知動點P(x，y)滿足10|3x4y|，則P點的軌跡是()A橢圓B雙曲線C拋物線D兩相交直線答案A解析條件化為2，即為點P(x，y)到定點F(1,2)的距離與到定直線l：3x4y0的距離之比為，又點F不在直線l上，故根據(jù)橢圓的第二定義可知，點P的軌跡是橢圓4已知點A(2,0)，B、C在y軸上，且|BC|4，ABC外心的軌跡S的方程為()Ay22xBx2y24Cy24xDx24y答案C解析設(shè)ABC外心為G(x，y)，B(0，a)，C(0，a4)，由G點在BC的垂直平分線上知ya2，|GA|2|GB|2，(x2)2y2x2(ya)2，整理得y24x.即點G的軌跡S方程為y24x.二、填空題5已知02，點P(cos ，sin )在曲線(x2)2y23上，則的值為_答案或解析由已知(cos2)2sin23cos24cos 4sin23cos ，0,2，或6已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100.由動點P向O和O所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是_答案x解析由O：x2y22，O：(x4)2y26知兩圓相離，記切點分別為T、Q，則|PT|PQ|.如圖：而|PT|2|PO|22，|PQ|2|PO|26.|PO|22|PO|26.設(shè)P(x，y)，則x2y22(x4)2y26.即8x12，即x.三、解答題7已知ABC的兩個頂點坐標(biāo)為A(2,0)、B(0，2)，第三個點C在曲線y3x21上移動，求ABC重心的軌跡方程(注：設(shè)ABC頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則ABC重心坐標(biāo)為G(，)解析設(shè)C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐標(biāo)公式得3x20x1,3y02y1，即x13x2，y13y2，C(x1，y1)在曲線y3x21上，3y23(3x2)21.化簡得y9x212x3.故ABC的重心的軌跡方程為y9x212x3.(不包括和直線AB的交點)總結(jié)反思當(dāng)形成軌跡的動點P隨另一動點B有規(guī)律地運動，且動點B的軌跡給定或能求得時，可先用動點P的坐標(biāo)表示點B的坐標(biāo)，并代入動點B的軌跡方程中得到動點P的軌跡方程這種求軌跡的方法叫相關(guān)點法，也叫代入法8(2014北京文)已知橢圓C：x22y24.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點，若點A在直線y2上，點B在橢圓C上，且OAOB，求線段AB長度的最小值解析(1)由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，所以a24，b22，從而c2a2b22.因此a2，c.故橢圓C的離心率e.(2)設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因為OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(x0)2(y02)2xy4x44(0<x4)因為4(0<x4)，且當(dāng)x4時等號成立，所以|AB|28，故線段AB長度的最小值為2.