（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料第三章3.2第2課時(shí)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)一、選擇題1動(dòng)圓的圓心在拋物線y28x上，且動(dòng)圓恒與直線x20相切，則動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0，2)答案B解析圓心到直線x20的距離等于到拋物線焦點(diǎn)的距離，定點(diǎn)為(2,0)2過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AF|3，則AOB的面積為()ABCD2答案C解析本題考查了拋物線的定義、三角形面積的求法及數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用設(shè)AFx(0<<)及|BF|m；由點(diǎn)A到準(zhǔn)線l：x1的距離為3，得：323coscos，又m2mcos()m，AOB的面積為S×|OF|×|AB|×sin×1×(3)×.故選C在解決解析幾何有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要加強(qiáng)與圖形的結(jié)合，合理的選取方法求解3(2013·新課標(biāo)文，8)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|4，則POF的面積為()A2B2C2D4答案C解析設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則由拋物線的焦半徑公式得|PF|x04，x03，代入拋物線的方程，得|y0|2，SPOF|y0|·|OF|2，選C4若點(diǎn)P在拋物線y2x上，點(diǎn)Q在圓(x3)2y21上，則|PQ|的最小值是()A2BCD答案D解析如圖所示，|PQ|min|PA|min1，|PA|(x3)2y2x25x9(x)2，|PA|min.|PQ|min1.5若拋物線y22px的焦點(diǎn)與橢圓1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為()A2B2C4D4答案D解析橢圓1的右焦點(diǎn)為(2,0)所以拋物線y22px的焦點(diǎn)為(2,0)則p4.6已知圓x2y29x0，與頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線交于A、B兩點(diǎn)，OAB的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，則拋物線的方程為()Ay24xBx24yCy24xDx24y答案D解析依題意設(shè)所求拋物線方程為y22px(p>0)，焦點(diǎn)F，A(x0，y0)，B(x0，y0)，則x(2p9)x00.OABF，kOA·kBF1.·1，即1.x0p.把代入得p2.所求拋物線方程為y24x.二、填空題7下圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬_米答案2解析本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與數(shù)學(xué)建模能力設(shè)拋物線方程為x22py，代入P(2，2)得2p2，x22y，當(dāng)y3時(shí)，x26，x±，則此時(shí)水面寬為2米，建立平面直角坐標(biāo)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題8設(shè)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)答案解析由條件B(，1)代入y22px得12p×，p22，p，B(，1)，故d.三、解答題9拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線，被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為8，試求拋物線方程解析如圖所示，依題意設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，則直線方程為yxp.設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則由拋物線定義得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2x1x2p，即x1x2p8又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線和直線的交點(diǎn)，由消去y得，x23px0，x1x23p.將其代入得p2，所求拋物線方程為y24x.當(dāng)拋物線方程為y22px(p>0)時(shí)，同理可求得拋物線方程為y24x.10已知拋物線y2x與直線yk(x1)相交于A、B兩點(diǎn)(1)求證：OAOB(2)當(dāng)OAB的面積等于時(shí)，求k的值分析(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用平面解析幾何的知識(shí)證kOA·kOB1，從而證得OAOB(2)設(shè)直線AB和x軸的交點(diǎn)為N，利用SOAB|ON|·|y1y2|求k的值解析(1)證明：如圖所示，由方程組消去x后，整理，得ky2yk0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y21.A，B在拋物線y2x上，yx1，yx.y·yx1x2.kOA·kOB·1，OAOB(2)設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)N，顯然k0.令y0，則x1，即N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|·|y1y2|，SOAB·1·.SOAB，.解得k±.一、選擇題1若拋物線x22y上距離點(diǎn)A(0，a)的最近點(diǎn)恰好是拋物線的頂點(diǎn)，則a的取值范圍是()Aa0B0a1Ca1Da0答案C解析設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|2d2x2(ya)22y(ya)2y2(2a2)ya2y(a1)2(2a1)因?yàn)閥0，)，根據(jù)題意知，(1)當(dāng)a10，即a1，y0時(shí)，da2.這時(shí)dmin|a|.(2)當(dāng)a10，即a1時(shí)，ya1時(shí)d2取到最小值，不符合題意綜上可知a1.2設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF|()A4B8C8D16答案B解析考查拋物線定義設(shè)A(2，y)F(2,0)，KAF，y4，yp4，P在拋物線上，y8xp，xp6.由拋物線定義可得|PF|PA|xpxA6(2)8，故選B3(2014·新課標(biāo)理)已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若4，則|QF|()AB3CD2答案B解析本題考查拋物線的性質(zhì)、向量的知識(shí)以及三角形的相似設(shè)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(2,0)，過(guò)點(diǎn)Q作拋物線的準(zhǔn)線的垂線垂足是A，則|QA|QF|，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為G，因?yàn)?，則點(diǎn)Q是PF的三等分點(diǎn)，由于三角形QAP與三角形FGP相似，所以可得，所以|QA|QF|3.4設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|等于()A9B6C4D3答案B解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由題知F(1,0)，0，x1x2x33，拋物線的準(zhǔn)線為x1，根據(jù)拋物線定義得，|x11x21x31336.二、填空題5已知拋物線C：y22px(p>0)的準(zhǔn)線為l，過(guò)M(1,0)且斜率為的直線與l相交于A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，若AM，則p_.答案2解析準(zhǔn)線l為x，過(guò)點(diǎn)M(1,0)且斜率為的直線為y(x1)聯(lián)立解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，(1)又，M點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(2，(1)將B(2，(1)代入y22px(p>0)，得3(1)22p(2)，解得p2或p6(舍)6過(guò)拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|，|AF|<|BF|，則|AF|_.答案解析本題考查了拋物線的性質(zhì)，設(shè)|AF|x，|BF|y，由拋物線的性質(zhì)知2，又xy，x，y，即|AF|.解決本題若能熟練地掌握拋物線中的相關(guān)結(jié)論，可迅速求解，要注意知識(shí)的積累三、解答題7如圖，過(guò)拋物線y22px(p>0)上一定點(diǎn)P(x0，y0)(y0>0)，作兩條直線分別交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù)分析根據(jù)拋物線定義，可解出第一問(wèn)，利用解析幾何設(shè)而不求及兩點(diǎn)斜率公式求第二問(wèn)解析(1)當(dāng)y時(shí)，x，又拋物線y22px的準(zhǔn)線方程為x，由拋物線定義得，所求距離為.(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，由y2px1，y2px0，相減得(y1y0)(y1y0)2p(x1x0)，故kPA(x1x0)同理可得kPB(x2x0)由PA、PB傾斜率角互補(bǔ)知kPAkPB，即.y1y22y0，故2.設(shè)直線AB的斜率為kAB，由y2px2，y2px1，相減得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)kAB(x1x2)將y1y22y0(y0>0)代入得kAB，所以kAB是非零常數(shù)8(2013·福建文，20)如圖，拋物線E：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A點(diǎn)C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M、N.(1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|·|AN|，求圓C的半徑解析(1)拋物線y24x的準(zhǔn)線l的方程為x1.由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)，所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d2，又|CO|.所以|MN|222.(2)設(shè)C(，y0)，則圓C的方程為(x)2(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10，設(shè)M(1，y1)，N(1，y2)，則由|AF|2|AM|·|AN|，得|y1y2|4，所以14，解得y0±，此時(shí)>0.所以圓心C的坐標(biāo)為(，)或(，)，從而|CO|2，|CO|，即圓C的半徑為.