（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料章末復(fù)習(xí)課對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P18對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P19在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)求曲線(軌跡)方程由于在平面直角坐標(biāo)系求曲線(軌跡)方程是解析幾何非常重要的一類問(wèn)題，在高考中常以解答題中關(guān)鍵的一問(wèn)的形式出現(xiàn)，一般與平面解析幾何、向量、函數(shù)等知識(shí)交匯命題常用的方法有：(1)直接法：如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系或者可以推出某個(gè)等量關(guān)系，即可用求曲線方程的五個(gè)步驟直接求解(2)定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依定義寫(xiě)出軌跡方程(3)代入法：如果動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲線上，則可先列出關(guān)于x，y，y1，x1的方程組，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲線方程即為所求(4)參數(shù)法：動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的橫縱坐標(biāo)用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來(lái)表示，消去參數(shù)即得其軌跡方程例1如圖，圓O1和圓O2的半徑都是1，|O1O2|4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1和圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點(diǎn))使得|PM|PN|，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程解如圖，以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則兩圓心的坐標(biāo)分別為O1(2,0)，O2(2,0)設(shè)P(x，y)，則|PM|2|PO1|2|MO1|2(x2)2y21.同理，|PN|2(x2)2y21.|PM|PN|，即|PM|22|PN|2.即(x2)2y212(x2)2y21即x212xy230.即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x6)2y233.求曲線的極坐標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中求曲線的極坐標(biāo)方程是高考考查極坐標(biāo)系的一個(gè)重要考向，重點(diǎn)考查軌跡極坐標(biāo)方程的探求及直線和圓的極坐標(biāo)方程的確定與應(yīng)用問(wèn)題求曲線的極坐標(biāo)的方法和步驟，和求直角坐標(biāo)方程類似，就是把曲線看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，將已知條件用曲線上的極坐標(biāo)，的關(guān)系式f(，)表示出來(lái)，就得到曲線的極坐標(biāo)方程例2已知RtABO的直角頂點(diǎn)A在直線cos 9上移動(dòng)(O為原點(diǎn))，又AOB30，求頂點(diǎn)B的軌跡的極坐標(biāo)方程解如圖，設(shè)B(，)，A(1，1)則cos 301，即1.又1cos 19，而130，cos 30cos9，即cos6.若點(diǎn)B的位置如圖所示，同理得點(diǎn)B的軌跡方程為cos6.綜上所述，點(diǎn)B的軌跡方程為cos6.例3已知定點(diǎn)A(a,0)，動(dòng)點(diǎn)P對(duì)極點(diǎn)O和點(diǎn)A的張角OPA.在OP的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使|PQ|PA|.當(dāng)P在極軸上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡的極坐標(biāo)方程解設(shè)Q，P的坐標(biāo)分別是(，)，(1，1)，則1.在POA中，1sin，|PA|，又|OQ|OP|PA|，2acos.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化主要考查點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，將不熟悉的極坐標(biāo)(方程)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟知的問(wèn)題求解解決此類問(wèn)題，要熟知：互化的前提依舊是把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸并在兩種坐標(biāo)系下取相同的單位長(zhǎng)度互化公式為直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程可直接將xcos ，ysin 代入即可，而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程通常將極坐標(biāo)方程化為cos ，sin 的整體形式，然后用x，y代替較為方便，常常兩端同乘以即可達(dá)到目的，但要注意變形的等價(jià)性例4把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程(1)2acos (a0)；(2)9(sin cos )；(3)4；(4)2cos 3sin 5.解(1)2acos ，兩邊同時(shí)乘以，得22acos ，即x2y22ax.整理得x2y22ax0，即(xa)2y2a2，是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓(2)兩邊同時(shí)乘以得29(sin cos )，即x2y29x9y，又可化為22，是以為圓心，以為半徑的圓(3)將4兩邊平方得216，即x2y216，是以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓(4)2cos 3sin 5，即2x3y5，是一條直線例5將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程(1)；(2)2；(3)2cos 7sin .解(1)tan ，tan.yx0.(2)2，0或1.x2y20或x2y21.(3)兩邊同乘以得：2cos 7sin .2x7y0.例6若兩圓的極坐標(biāo)方程分別為2cos 和2sin ，求兩圓的公共弦長(zhǎng)解法一：將兩圓方程化為直角坐標(biāo)方程為：x2y22x0和x2y22y0.由得yx，即為公共弦所在直線方程由得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(1,1)弦長(zhǎng)為.法二：設(shè)除極點(diǎn)外的公共點(diǎn)坐標(biāo)為P(，cos )(0)則2cos 2sin ，tan 1.由于0，.2cos.公共弦長(zhǎng)為.一、選擇題1在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A，B，則A，B兩點(diǎn)間的距離是()A1B2C3 D4解析：選D設(shè)極點(diǎn)為O，AOB，A，O，B三點(diǎn)共線A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|OA|OB|314.2在極坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)是()A. B.C. D.解析：選A點(diǎn)(，)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為(，)，故關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為，即.3在極坐標(biāo)系中，已知一個(gè)圓的方程為12sin，則過(guò)圓心與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程是()Asin 3 Bsin 3Ccos 3 Dcos 3解析：選C圓12sin()化為x2y26x6y0，其圓心為(3,3)，所求直線方程為x3化為極坐標(biāo)方程：cos 3.4直線和直線sin()1的位置關(guān)系是()A垂直 B平行C相交但不垂直 D重合解析：選B直線化為直角坐標(biāo)方程為yxtan，sin()1化為sin cos cos sin 1，即yxtan.所以兩直線平行二、填空題5已知一條直線的極坐標(biāo)方程為sin，則極點(diǎn)到該直線的距離是_解析：sinsin cos cos sin sin cos ，sin cos 1，即xy1.則極點(diǎn)到該直線的距離d.答案：6(上海高考)在極坐標(biāo)系中，曲線cos 1與cos 1的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為_(kāi)解析：聯(lián)立得(1)1，又0，故兩曲線的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為.答案：7極坐標(biāo)方程52cos 22240表示的曲線焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)解析：極坐標(biāo)方程52cos 22240化為52(cos2sin2)2240，即3x22y212.得標(biāo)準(zhǔn)方程為1.所以a24，b26，c.所以兩焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為(，0)，(，)答案：(，0)，(，)8如圖，在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線l與極軸的夾角.若將l的極坐標(biāo)方程寫(xiě)成f()的形式，則f()_.解析：在直線l上任取點(diǎn)P(，)，在OPM中，由正弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，故f().答案：三、解答題9在極坐標(biāo)系中P是曲線12sin 上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線12cos上的動(dòng)點(diǎn)，試求PQ的最大值解：以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系xOy，將方程12sin 化為直角坐標(biāo)方程為x2y212y，它表示圓心為(0,6)，半徑為6的圓將12cos化為直角坐標(biāo)方程為(x3)2(y3)236，它表示以(3，3)為圓心，6為半徑的圓由圓的位置關(guān)系可知，當(dāng)P，Q所在直線為連心線所在直線時(shí)，PQ長(zhǎng)度可取最大值，且最大值為6618.10已知A(1,0)，B(1,4)，在平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足4，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線l：y2(x4)的對(duì)稱點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程解：法一：設(shè)P(x，y)，則(1x，y)，(1x,4y)，故由4(x1)(1x)(y)(4y)4，即x2(y2)232.P的軌跡是以C(0,2)為圓心，以3為半徑的圓點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線y2(x4)的對(duì)稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)以C0(x0，y0)為圓心，半徑為3的圓，其中C0(x0，y0)是點(diǎn)C(0,2)關(guān)于直線y2(x4)的對(duì)稱點(diǎn)，即直線y2(x4)與CC0垂直，且過(guò)CC0的中點(diǎn)，于是有即故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為(x8)2(y2)29.法二：設(shè)P(x，y)，則(1x，y)，(1x,4y)，故由4(x1)(1x)(y)(4y)4，即x2(y2)232(*)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(u，v)，Q，P關(guān)于直線l：y2(x4)對(duì)稱，PQ與直線l垂直，于是有.PQ的中點(diǎn)在l上，有2(4).由可解得代入方程(*)得(3u4v32)2(4u3v26)2(35)2，化簡(jiǎn)得u2v216u4v590(u8)2(v2)29.故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為(x8)2(y2)29.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P41(時(shí)間：90分鐘，滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的)1在極坐標(biāo)中有如下三個(gè)結(jié)論：點(diǎn)P在曲線C上，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)滿足曲線C的極坐標(biāo)方程；tan 1與(0)表示同一條曲線；3與3表示同一條曲線在這三個(gè)結(jié)論中正確的是()ABC D解析：選D在直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合它的方程，但在極坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上一點(diǎn)的所有坐標(biāo)不一定適合方程，故是錯(cuò)誤的；tan 1不僅表示這條射線，還表示這條射線，故亦不對(duì)；3與3差別僅在于方向不同，但都表示一個(gè)半徑為3的圓，故正確2原點(diǎn)與極點(diǎn)重合，x軸正半軸與極軸重合，則點(diǎn)(5，5)的極坐標(biāo)是()A. B.C. D.解析：選B設(shè)點(diǎn)(5，5)的極坐標(biāo)為(，)，則tan ，x<0，最小正角，10.3已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為，則它的直角坐標(biāo)為()A(，1,1) B(1,1,1)C(，1) D(1,0,1)解析：選B設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x，y，z)則有xrcos cos 1，yrsin sin 1，z1.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1,1)42cos 2sin 表示的曲線是()A直線 B圓C射線 D半圓解析：選B兩邊同乘以得：22cos 2sin .把2x2y2，xcos ，ysin 代入得：x2y22x2y0，表示圓5曲線22(3cos 2sin )0的對(duì)稱中心的直角坐標(biāo)是()A(3,2) B(2,3)C(3,2) D(3，2)解析：選C原方程可化為：x2y26x4y0.即：(x3)2(y2)213.它的對(duì)稱中心為(3,2)6設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(4,4,4)，則它的球坐標(biāo)為()A. B.C. D.解析：選A設(shè)點(diǎn)P的球坐標(biāo)為(r，)，則r8，tan 1.又x>0，.48cos ，cos .0，.點(diǎn)P的球坐標(biāo)為.7在極坐標(biāo)系中，與圓4sin 相切的一條直線方程為()Asin 2 Bcos 2Ccos 4 Dcos 4解析：選B如圖，C的極坐標(biāo)方程為4sin ，COOx，OA為直徑，|OA|4，sin 2表示直線y2，cos 4表示直線x4，cos 4表示直線x4，均不與圓相切，只有B符合8在極坐標(biāo)系中，圓4cos 4sin 的圓心坐標(biāo)是()A. B.C. D.解析：選A將原方程化成直角坐標(biāo)方程，得(x2)2(y2)28，圓心坐標(biāo)為(2,2)，化成極坐標(biāo)為.9在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓3上的點(diǎn)到直線(cos sin )2的距離為d，則d的最大值為()A5 B6C4 D3解析：選C極坐標(biāo)方程3轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為x2y29，所以圓心為(0,0)，半徑為3，(cos sin )2轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為xy2.則圓心到直線xy2的距離d1.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為d3134.10在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A(6，)作圓4cos 的切線，則切線長(zhǎng)為()A2 B6C2 D2解析：選C圓4cos 化為(x2)2y24，點(diǎn)(6，)化為(6,0)，所以切線長(zhǎng)2.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)11已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為cos 3，4cos ，則曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)解析：由得4cos23.2(1cos 2)3，cos 2.又02<，.故2，曲線C1與C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為.答案：12若曲線的極坐標(biāo)方程為tan ，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)解析：由tan ，得cos2sin ，2cos2sin ，化為直角坐標(biāo)方程為x2y.答案：x2y13在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線sin1的距離是_解析：點(diǎn)化為直角坐標(biāo)為(，1)，直線方程可化為sin cos 1，即xy20，由點(diǎn)到直線的距離公式得d1.答案：114在極坐標(biāo)系中，曲線C1：(cos sin )1與曲線C2：a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，則a_.解析：曲線C1的直角坐標(biāo)方程為xy1，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y2a2，C1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，此點(diǎn)也在曲線C2上，代入解得a.答案：三、解答題(本大題共4小題，共50分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15(本小題滿分12分)(廣東高考改編)在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為sin2cos 和sin 1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C1和C2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)解析：由sin2cos 2sin2cos y2x，又由sin 1y1，聯(lián)立故曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)16(本小題滿分12分)極坐標(biāo)方程cos 與cos1表示的兩個(gè)圖形的位置關(guān)系是什么？解：cos 可變?yōu)?cos ，化為普通方程為x2y22x，即(x1)2y21，它表示圓，圓心為(1,0)，半徑為1.將cos1化為普通方程為xy20.圓心(1,0)到直線的距離為1，直線與圓相離17(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，中心為(3,0)，一個(gè)焦點(diǎn)在直角坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓的直角坐標(biāo)方程，并化為極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)橢圓過(guò)直角坐標(biāo)原點(diǎn)的弦長(zhǎng)為時(shí)，求弦所在直線的直角坐標(biāo)方程解：(1)由已知，得a5，c3，故b4，所以橢圓的直角坐標(biāo)方程為1.由于xcos ，ysin ，代入上式，得1，即252(163cos )2，即5163cos .所以橢圓的極坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)過(guò)直角坐標(biāo)原點(diǎn)的弦的傾斜角為，弦的兩端點(diǎn)分別為P1(1，)，P2(2，)，則有1，2.由于12，所以，則cos2cos 或.所以所求直線的直角坐標(biāo)方程為yx或yx.18.(本小題滿分14分)如圖所示，點(diǎn)P為直線xy1上的動(dòng)點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求正方形OPQR的頂點(diǎn)R，Q軌跡的極坐標(biāo)方程，并化成直角坐標(biāo)方程解：以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線xy1的極坐標(biāo)方程為(cos sin )1.設(shè)點(diǎn)P(0，0)，Q(1，1)，R(2，2)，由題意由得0(cos 0sin 0)1，點(diǎn)Q的軌跡方程為11，化簡(jiǎn)得1sin 11或1cos 11.化為直角坐標(biāo)方程為y1或x1.由得代入0(cos 0sin 0)1得21，化簡(jiǎn)得點(diǎn)R的軌跡方程為2(sin 2cos 2)1或2(cos 2sin 2)1.化為直角坐標(biāo)方程為：xy10或xy10.