（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計算出A、B兩點間的距離為()A50 mB50 mC25 m D m解析：選A.由正弦定理得.又CBA180°45°105°30°，故AB50 (m)2.如圖，測量河對岸的塔的高度AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C與D，測得BCD15°，BDC30°，CD30米，并在C測得塔頂A的仰角為60°，則塔AB的高度為()A15米 B15米C15(1)米 D15米解析：選D.在BCD中，由正弦定理得BC15(米)在RtABC中，ABBCtan 60°15(米)故選D.3某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45°方向且距離為10海里的C處，此時得知，該漁船沿北偏東105°方向，以每小時9海里的速度向一小島靠近，艦艇時速為21海里，則艦艇與漁船相遇的最短時間為()A20分鐘 B40分鐘C60分鐘 D80分鐘解析：選B.如圖，設(shè)它們在D處相遇，用時為t小時，則AD21t，CD9t，ACD120°，由余弦定理，得cos 120°，解得t(負(fù)值舍去)，小時40分種，即艦艇與漁船相遇的最短時間為40分鐘4渡輪以15 km/h的速度沿與水流方向成120°角的方向行駛，水流速度為4 km/h，則渡輪實際航行的速度約為(精確到0.1 km/h)()A14.5 km/h B15.6 km/hC13.5 km/h D11.3 km/h解析：選C.由物理學(xué)知識，畫出示意圖，AB15，AD4，BAD120°.在ABCD中，D60°，在ADC中，由余弦定理得AC13.5.5已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東40° B北偏西10°C南偏東10° D南偏西10°解析：選B.如圖所示，ECA40°，F(xiàn)CB60°，ACB180°40°60°80°，因為ACBC，所以AABC50°，所以ABG180°CBHCBA180°120°50°10°.故選B.6如圖所示為一角槽，已知ABAD，ABBE，并測量得AC3 mm，BC2 mm，AB mm，則ACB_解析：在ABC中，由余弦定理得cosACB.因為ACB(0，)，所以ACB.答案：7一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是_ m.解析：設(shè)水柱的高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60°，ACh，AB100，BC h，根據(jù)余弦定理，得(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50，故水柱的高度是50 m.答案：508一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它的出發(fā)點，那么x_解析：如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在O點，先爬行到A點，再爬行到B點，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75°，ABO45°，則AOB60°，由正弦定理知：x.答案：9如圖，某軍艦艇位于島嶼A的正西方C處，且與島嶼A相距120海里經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn)，國際海盜船以100海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄，同時，該軍艦艇從C處出發(fā)沿北偏東90°的方向勻速追趕國際海盜船，恰好用2小時追上(1)求該軍艦艇的速度(2)求sin 的值解：(1)依題意知，CAB120°，AB100×2200，AC120，ACB，在ABC中， 由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·ACcosCAB200212022×200×120cos 120°78 400，解得BC280.所以該軍艦艇的速度為140海里/小時(2)在ABC中，由正弦定理，得，即sin .10.如圖，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前進(jìn) km到達(dá)D處，看到A在他的北偏東45°方向，B在北偏東75°方向，試求這兩座建筑物之間的距離解：依題意得，CD km，ADBBCD30°BDC，DBC120°，ADC60°，DAC45°.在BDC中，由正弦定理得BC(km)在ADC中，由正弦定理得AC3(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cosACB(3)2()22×3×cos 45°25.所以AB5(km)，即這兩座建筑物之間的距離為5 km.B能力提升11如圖，某山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ABC120°，從B處攀登400米后到達(dá)D處，再看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ADC150°，從D處再攀登800米方到達(dá)C處，則索道AC的長為_米解析：在ABD中，BD400，ABD120°，因為ADB180°ADC30°，所以DAB30°，所以ABBD400，AD400.在ADC中，DC800，ADC150°，AC2AD2DC22AD·DC·cosADC(400)280022×400×800×cos 150°4002×13，所以AC400，故索道AC的長為400米答案：40012.如圖，在山底測得山頂仰角CAB45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1 000 m至S點，又測得山頂仰角DSB75°，則山高BC為_m.解析：如圖，SAB45°30°15°，又SBD15°，所以ABS30°.AS1 000，由正弦定理知，所以BS2 000sin 15°.所以BDBS·sin 75°2 000sin 15°·cos 15°1 000sin 30°500，且DCST1 000sin 30°500，從而BCDCDB1 000 m.答案：1 00013.某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度，如圖，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測點A，B兩地相距100 m，BAC60°，在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚 sA地測得該儀器在C處時的俯角為15°，A地測得該儀器在最高點H時的仰角為30°，求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340 m/s)解：由題意，設(shè)ACx m，則BCx×340x40 (m)在ABC中，由余弦定理得BC2BA2CA22BA·CA·cosBAC，即(x40)210 000x2100x，解得x420.在ACH中，AC420 m，CAH30°15°45°，CHA90°30°60°.由正弦定理得，所以CHAC·140(m)故該儀器的垂直彈射高度CH為140 m.14(選做題)如圖，某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60°的方向以每小時6千米的速度步行了1分鐘以后，在點D處望見塔的底端B在東北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值為60°.(1)求該人沿南偏西60°的方向走到仰角最大時，走了幾分鐘；(2)求塔的高AB.(結(jié)果保留根號，不求近似值)解：(1)依題意知，在DBC中，BCD30°，DBC180°45°135°，CD6 000×100 (m)，BDC45°30°15°，由正弦定理得，所以BC50(1)(m)，在RtABE中，tan ，因為AB為定長，所以當(dāng)BE的長最小時，取最大值60°，這時BECD，當(dāng)BECD時，在RtBEC中，ECBC·cosBCE50(1)·25(3)(m)，設(shè)該人沿南偏西60°的方向走到仰角最大時，走了t分鐘，則t×60×60(分鐘)(2)由(1)知當(dāng)取得最大值60°時，BECD，在RtBEC中，BEBC·sinBCD，所以ABBE·tan 60°BC·sin BCD·tan 60°50(1)··25(3)(m)，即所求塔高為25(3) m.