（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料第四章綜合素質(zhì)檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞減區(qū)間是()A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)答案A解析f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)<0，解得x<2，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，2)2已知f(x)x22xf(1)，則f(0)等于()A0B4C2D2答案B解析f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2，f(x)2x4，f(0)4.3函數(shù)f(x)x33x26x10在區(qū)間1,1上的最大值是()A3B6C2D0答案B解析f(x)3x26x63(x1)23，f(x)>0在1,1上恒成立，即f(x)在1,1上是單調(diào)遞增的，故當(dāng)x1時，f(x)max6.4(2014浙江杜橋中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)x3ax23x9在x3時取得極值，則a()A2B3C4D5答案D解析f (x)3x22ax3，由條件知，x3是方程f (x)0的實數(shù)根，a5.5(2014淄博市臨淄區(qū)學(xué)分認定考試)下列函數(shù)中，x0是其極值點的函數(shù)是()Af(x)x3 Bf(x)cosxCf(x)sinxx Df(x)答案B解析對于A，f (x)3x20恒成立，在R上單調(diào)遞減，沒有極值點；對于B，f (x)sinx，當(dāng)x(，0)時，f (x)<0，當(dāng)x(0，)時，f (x)>0，故f(x)cosx在x0的左側(cè)區(qū)間(，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在其右側(cè)區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，所以x0是f(x)的一個極小值點；對于C，f (x)cosx10恒成立，在R上單調(diào)遞減，沒有極值點；對于D，f(x)在x0沒有定義，所以x0不可能成為極值點，綜上可知，答案選B.6已知函數(shù)f(x)x3ax2x1在(，)上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(，)(，)B(，)C(，)D，答案D解析f (x)3x22ax1，f(x)在(，)上是單調(diào)函數(shù)，且f (x)的圖像是開口向下的拋物線，f (x)0恒成立，4a2120，a，故選D.7如圖是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，給出下面四個判斷：f(x)在區(qū)間2，1上是增函數(shù)；x1是f(x)的極小值點；f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，在區(qū)間2,4上是減函數(shù)；x2是f(x)的極小值點其中，所有正確判斷的序號是()A BC D答案B解析由函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像可知：(1)f(x)在區(qū)間2，1上是減函數(shù)，在1,2上是增函數(shù)，在2,4上是減函數(shù)；(2)f(x)在x1處取得極小值，在x2處取得極大值故正確8(2014銀川九中二模)已知f(x)x2sin(x)，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(x)的圖像是()答案A解析f(x)x2cosx，f(x)xsinx，1sinx1，且f (x)f (x)，f (x)為奇函數(shù)，排除B、D；令g(x)xsinx，則g(x)cosx，當(dāng)x(0，)時，g(x)<0，g(x)在(0，)上為減函數(shù)，即f (x)在(0，)上為減函數(shù)，排除C，故選A.9(2013華池一中高二期中)若關(guān)于x的方程x33xm0在0,2上有根，則實數(shù)m的取值范圍是()A2,2 B0,2C2,0 D(，2)(2，)答案A解析令f(x)x33xm，則f (x)3x233(x1)(x1)，顯然當(dāng)x<1或x>1時，f (x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)1<x<1時，f (x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在x1時，f(x)取極大值f(1)m2，在x1時，f(x)取極小值f(1)m2.f(x)0在0,2上有解，2m2.10(2014天門市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)asinxbcosx在x時取得極值，則函數(shù)yf(x)是()A偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(，0)對稱B偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(，0)對稱C奇函數(shù)且圖像關(guān)于點(，0)對稱D奇函數(shù)且圖像關(guān)于點(，0)對稱答案D解析f(x)的圖像關(guān)于x對稱，f(0)f()，ba，f(x)asinxbcosxasinxacosxasin(x)，f(x)asin(x)asin(x)asinx.顯然f(x)是奇函數(shù)且關(guān)于點(，0)對稱，故選D.二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上)11已知函數(shù)f(x)x3x2cxd有極值，則c的取值范圍為_答案c<解析f(x)x2xc且f(x)有極值，f(x)0有不等的實數(shù)根，即14c>0.解得c<.12函數(shù)yf(x)lnxx在區(qū)間(0，e上的最大值為_答案1解析f(x)1，令f(x)0，即x1.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，e)ef(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值1單調(diào)遞減1e由于f(e)1e，而1>1e，從而f(x)maxf(1)1.13(2014沈陽質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)x(xa)(xb)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且f(0)4，則a22b2的最小值為_答案8解析f(x)x(xa)(xb)，f(x)(xa)(xb)x(xa)(xb)，f(0)ab4，a22b22ab8.14若函數(shù)yx36x2m的極大值等于13，則實數(shù)m等于_答案19解析y3x212x，由y0，得x0或x4，容易得出當(dāng)x4時函數(shù)取得極大值，所以43642m13，解得m19.15(2014哈六中期中)已知函數(shù)f(x2)是偶函數(shù)，x>2時f (x)>0恒成立(其中f (x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，且f(4)0，則不等式(x2)f(x3)<0的解集為_答案(，3)(2,1)解析函數(shù)yf(x2)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，yf(x2)的圖像向右平移兩個單位得到y(tǒng)f(x)的圖像，函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線x2對稱，x>2時，f (x)>0，f(x)在(2，)上單調(diào)遞增，在(，2)上單調(diào)遞減，又f(4)0，f(0)0，0<x<4時，f(x)<0，x<0或x>4時，f(x)>0，由(x2)f(x3)<0得(1)或(2)由(1)得x<3；由(2)得2<x<1，綜上知，不等式的解集為(，3)(2,1)三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16已知函數(shù)f(x)x3ax2b(aR，bR)若a>0，且f(x)的極大值為5，極小值為1，求f(x)的解析式答案f(x)x33x21解析f(x)x3ax2b，f(x)3x22ax.令f(x)0，得x0或x.又a>0，<0.當(dāng)x<或x>0時，f(x)>0；當(dāng)<x<0時，f(x)<0.f(x)在(，)和(0，)上是增函數(shù)，在(0，)上是減函數(shù)f()是f(x)的極大值，f(0)是f(x)的極小值，即f()()3a()2b5；f(0)b1，解得a3，b1.所求的函數(shù)解析式是f(x)x33x21.17已知函數(shù)f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函數(shù)f(x)的圖像過原點，且在原點處的切線斜率是3，求a，b的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍答案(1)a3或a1，b0(2)(5，)(，1)解析(1)f(x)3x22(1a)xa(a2)，由于函數(shù)f(x)的圖像過原點，則f(0)0，從而b0，又函數(shù)圖像在原點處的切線斜率是3，則f(0)3，所以a(a2)3，解得a3或a1.(2)令f(x)0，即3x22(1a)xa(a2)0，解得x1a，x2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，則有，或，解得，或.所以a的取值范圍是(5，)(，1)18(2015北京文，19)設(shè)函數(shù)f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點答案(1)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，)；極小值(2)略解析(1)由f(x)kln x，(k0)得f(x)x.由f(x)0解得x.f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上的情況如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，)；f(x)在x處取得極小值f().(2)由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f().因為f(x)存在零點，所以0，從而ke.當(dāng)ke時，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，且f()0，所以x是f(x)在區(qū)間(1，上的唯一零點當(dāng)ke時，f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，且f(1)0，f()0，所以f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點綜上可知，若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間( 1，上僅有一個零點. 19在邊長為60cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子如圖，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？答案箱底的邊長是40cm時，容積最大，最大容積16000cm3解析設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高hcm，得箱子容積V(x)x2h(0<x<60)，V(x)60x(0<x<60)令V(x)60x0，解得x0(舍去)，x40，并求得V(40)16000.由題意可知，當(dāng)x過小(接近0)或過大(接近60)時，箱子容積很小，故當(dāng)x40cm時，箱子的容積最大，最大容積是16000cm3.20已知函數(shù)f(x)2lnxx2ax(aR)(1)當(dāng)a2時，求f(x)的圖像在x1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)f(x)axm在，e上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍答案(1)y2x1(2)(1,2解析(1)當(dāng)a2時，f(x)2lnxx22x，f(x)2x2，切點坐標(biāo)為(1,1)，切線的斜率kf(1)2，則切線方程為y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2lnxx2m，則g(x)2x.x，e，當(dāng)g(x)0時，x1.當(dāng)<x<1時，g(x)>0；當(dāng)1<x<e時，g(x)<0.故g(x)在x1處取得極大值g(1)m1.又g()m2，g(e)m2e2，g(e)g()4e2<0，則g(e)<g()g(x)在，e上的最小值是g(e)而g(x)在，e上有兩個零點，則，解得1<m2，實數(shù)m的取值范圍是(1,221(2014韶關(guān)市曲江一中月考)已知函數(shù)f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x1時，f(x)取得極值2.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(3)證明：對任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|<4恒成立答案(1)f(x)x33x(2)增區(qū)間(，1)，(1，)；減區(qū)間(1,1)極大值2(3)略解析(1)f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x)f(x)，即ax3cxdax3cxd，dd，d0(或由f(0)0得d0)f(x)ax3cx，f (x)3ax2c，又當(dāng)x1時，f(x)取得極值2，即解得f(x)x33x.(2)f (x)3x233(x1)(x1)，令f (x)0，得x1，當(dāng)1<x<1時，f (x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x<1或x>1時，f (x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(，1)和(1，)；遞減區(qū)間為(1,1)因此，f(x)在x1處取得極大值，且極大值為f(1)2.(3)由(2)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減，且f(x)在區(qū)間1,1上的最大值為Mf(1)2.最小值為mf(1)2.對任意x1、x2(1,1)，|f(x1)f(x2)|<Mm4成立即對任意x1、x2(1,1)，不等式|f(x1)f(x2)|<4恒成立