新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料活頁作業(yè)(一)歸納與類比1有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律，拼成若干個圖案，則第六個圖案中有陰影花色的正六邊形的個數(shù)是()A26B31C32D36解析：設(shè)第n個圖案有an個陰影花色的正六邊形，則a16×10，a26×21，a36×32，故猜想a66×6531.答案：B2觀察下列各式：112，23432，3456752，4567891072，可以得出的一般結(jié)論是()An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2解析：可以發(fā)現(xiàn)：第一個式子的第一個數(shù)是1，第二個式子的第一個數(shù)是2故第n個式子的第一個數(shù)是n；第一個式子中有1個數(shù)相加，第二個式子中有3個數(shù)相加故第n個式子中有2n1個數(shù)相加；第一個式子的結(jié)果是1的平方，第二個式子的結(jié)果是3的平方故第n個式子應(yīng)該是2n1的平方，故可以得到n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案：B3已知x0，由不等式x22，x33，我們可以得出推廣結(jié)論：xn1(nN)，則a等于()A2nBn2C3nDnn解析：再續(xù)寫一個不等式：x44，由此可得ann.答案：D4已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S，可推知扇形面積公式S扇等于()ABCD不可類比解析：由扇形的弧長與半徑分別類比三角形的底邊與高，可得扇形的面積公式答案：C5平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，由此類比我們可以得到()A空間中平行于同一直線的兩直線平行B空間中平行于同一平面的兩直線平行C空間中平行于同一直線的兩平面平行D空間中平行于同一平面的兩平面平行解析：利用類比推理，平面中的直線和空間中的平面類比答案：D6在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為12，則它們的體積比為_解析：·×.答案：187已知等差數(shù)列an的前n項和是Sn，由此可類比得到各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的前n項積Tn_(用n，b1，bn表示)解析：由等差數(shù)列中的“求和”類比等比數(shù)列中的“求積”，可知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn的前n項積Tn(b1bn).答案：(b1bn)8.上圖中，上起第n行，左起第n1列的數(shù)是_解析：第1行第2個數(shù)為21×2，第2行第3個數(shù)為62×3，第3行第4個數(shù)為123×4，第4行第5個數(shù)為204×5.故歸納出第n行第n1個數(shù)為n(n1)n2n.答案：n2n9在橢圓中，有一結(jié)論：過橢圓1(ab0)上不在頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P與長軸兩端點(diǎn)A1，A2連線，則直線PA1與PA2斜率之積為，類比該結(jié)論推理出雙曲線的類似性質(zhì)，并加以證明解：過雙曲線1上不在頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P與實(shí)軸兩端點(diǎn)A1，A2連線，則直線PA1與PA2斜率之積為.證明如下：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)橢圓中：kPA1·kPA2·；雙曲線中：kPA1·kPA2.10已知sin230°sin290°sin2150°，sin25°sin265°sin2125°.觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一個一般性的命題，并證明解：一般性的命題為sin2sin2(60°)sin2(120°).證明如下：sin2sin2(60°)sin2(120°)cos 2cos(120°2)cos(240°2)cos 2cos 120°cos 2sin 120°sin 2cos(180°60°2)cos(60°2)cos(60°2).11設(shè)ABC的三邊長分別為a，b，c，ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r，類比這個結(jié)論可知：四面體A­BCD的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體A­BCD的體積為V，則R等于()ABCD解析：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和則四面體的體積為V四面體A­BCD(S1S2S3S4)R，R.答案：C12設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1，計算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，觀察上述結(jié)果，可推測一般的結(jié)論為_解析：由題意f(21)，f(22)，f(23)，f(24)，故一般的結(jié)論為f(2n).答案：f(2n)13設(shè)函數(shù)f(x)(x0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nN且n2時，fn(x)f(fn1(x)_.解析：依題意，先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項系數(shù)所組成數(shù)列的通項公式，由1,3,7,15，可推知該數(shù)列的通項公式為an2n1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項依次為2,4,8,16，故其通項公式為bn2n.所以當(dāng)n2時，fn(x)f(fn1(x).答案：14(2015·鄭州模擬卷)平面幾何里有“設(shè)直角三角形ABC的兩直角邊分別為a，b，斜邊上的高為h，則”，拓展到空間，研究三棱錐的側(cè)棱長與底面上的高之間的關(guān)系可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A­BCD的三個側(cè)棱兩兩垂直，其長分別為a，b，c，面BCD上的高為h，則_”解析：如右圖所示，設(shè)A在底面的射影為O，連接BO并延長交CD于E.連接AE，由ABAC，ABAD得AB面ACDABAE.設(shè)AEh1，在ABE中，由已知可得.又易證CD面ABE，CDAE.在ACD中有，.答案：15(2015·江西模擬卷)設(shè)f(n)n2n41，nN，計算：f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(10)的值，同時作出歸納推理，并用n40驗(yàn)證猜想是否正確解：f(1)1214143，f(2)2224147，f(3)3234153，f(4)4244161，f(5)5254171，f(6)6264183，f(7)7274197，f(8)82841113，f(9)92941131，f(10)1021041151.43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都為質(zhì)數(shù)，歸納猜想：當(dāng)nN時，f(n)n2n41的值都為質(zhì)數(shù)當(dāng)n40時，f(40)402404140×(401)4141×41，f(40)是合數(shù)由上面歸納推理得到的猜想不正確16.如右圖，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PMBB1交AA1于點(diǎn)M，PNBB1交CC1于點(diǎn)N.(1)求證：CC1MN；(2)在任意DEF中有余弦定理DE2DF2EF22DF·EFcosDFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明(1)證明：PMBB1，PNBB1，BB1平面PMN.BB1MN.又CC1BB1，CC1MN.(2)解：在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，有S2ABB1A1S2BCC1B1S2ACC1A12SBCC1B1·SACC1A1cos .其中為平面CC1B1B與平面CC1A1A所成的二面角證明如下：CC1平面PMN.上述二面角的平面角為MNP.在PMN中，PM2PN2MN22PN·MNcosMNPPM2·CCPN2·CCMN2·CC2(PN·CC1)·(MN·CC1)cosMNP，SBCC1B1PN·CC1，SACC1A1MN·CC1，SABB1A1PM·BB1PM·CC1，有S2ABB1A1S2BCC1B1S2ACC1A12SBCC1B1·SACC1A1cos .