（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料【成才之路】高中數(shù)學(xué) 2.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)練習(xí) 北師大版選修1-1一、選擇題1橢圓25x29y2225的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，離心率依次為()A5,3，B10,6，C5,3，D10,6，答案B解析橢圓25x29y2225化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1，a225，b29，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a10，短軸長(zhǎng)2b6，離心率e，故選B.2橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率為()A.BC.D答案D解析由題意得a2c，離心率e.3橢圓2x23y26的焦距是()A2B2()C2D2()答案A解析橢圓方程可化為1，c2a2b21.c1.焦距2c2.4若橢圓1的離心率e，則m的值是()A3B3或C.D或答案B解析若5>m，e，m3.若m>5，e，m.5中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的方程是()A.1B1C.1D1答案A解析由2a18得a9，又ac2c，c3.b2a2c281972.故橢圓的方程為1.6橢圓1與1(0<k<9)的關(guān)系為()A有相等的長(zhǎng)、短軸B有相等的焦距C有相同的焦點(diǎn)Dx，y有相同的取值范圍答案B解析0<k<9，0<9k<9,16<25k<25，25k9k16，故兩橢圓有相等的焦距二、填空題7(2015四川)橢圓E：1(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且1，則橢圓E的方程為_(kāi)答案1解析由已知，點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)又P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)，且1，于是解得a2，b，所以橢圓E方程為1.8若橢圓兩焦點(diǎn)F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，P在橢圓上，且PF1F2的最大面積是12，則橢圓方程為_(kāi)答案1解析焦點(diǎn)為(4,0)，c4，且焦點(diǎn)在x軸上又最大面積為bc12，b3，a216925，橢圓方程為1.三、解答題9求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)短軸長(zhǎng)為6，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離為8；(2)兩個(gè)頂點(diǎn)分別是(7,0)，(7,0)，橢圓過(guò)點(diǎn)A(1,1)；(3)兩焦點(diǎn)間的距離為8，兩個(gè)頂點(diǎn)分別是(6,0)，(6,0)答案(1)1或1(2)1(3)1或1解析(1)由題意得b3，c4，a2b2c291625焦點(diǎn)位置不定，所以存在兩種情況橢圓方程為1或1.(2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，兩個(gè)頂點(diǎn)為(7,0)，(7,0)，a7.方程可設(shè)為1，又過(guò)點(diǎn)(1,1)，代入可得b2，橢圓方程為1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，兩個(gè)頂點(diǎn)為(7,0)，(7,0)，b7.橢圓方程可設(shè)為1，又過(guò)點(diǎn)(1,1)，代入可得a2，這與a2>b2矛盾，不符合題意綜上可知，橢圓方程為1.(3)2c8，c4，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，因?yàn)闄E圓頂點(diǎn)為(6,0)，a6，b2361620，橢圓方程為1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，因?yàn)轫旤c(diǎn)為(6,0)，b6.a2361652，橢圓方程為1.橢圓方程為1或1.10當(dāng)m取何值時(shí)，直線l：yxm與橢圓9x216y2144.(1)無(wú)公共點(diǎn)；(2)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)有兩個(gè)公共點(diǎn)答案(1)5(2)5<m<5(3)m<5或m>5解析由消去y得，9x216(xm)2144，化簡(jiǎn)整理得，25x232mx16m21440，(32m)2425(16m2144)576m214400.(1)當(dāng)0時(shí)，得m5，直線l與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)(2)當(dāng)>0時(shí)，得5<m<5，直線l與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)(3)當(dāng)<0時(shí)，得m<5或m>5，直線l與橢圓無(wú)公共點(diǎn).一、選擇題1橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)、短半軸之和為10，焦距為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B1C.1D1答案A解析由題意得c2，ab10，b2(10a)2a2c2a220，解得a236，b216，故橢圓方程為1.2過(guò)橢圓1的焦點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦的長(zhǎng)分別為()A8,6B4,3C2，D4,2答案B解析橢圓過(guò)焦點(diǎn)的弦中最長(zhǎng)的是長(zhǎng)軸，最短的為垂直于長(zhǎng)軸的弦(通徑)是.最長(zhǎng)的弦為2a4，最短的弦為3，故選B.3(2014大綱全國(guó)理，6)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為()A.1By21C.1D1答案A解析根據(jù)條件可知，且4a4，a，c1，b22，橢圓的方程為1.4(2014撫順二中期中)在ABC中，ABBC，cosB.若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e()A.BC.D答案C解析設(shè)|AB|x>0，則|BC|x，AC2AB2BC22ABBCcosBx2x22x2()x2，|AC|x，由條件知，|CA|CB|2a，AB2c，xx2a，x2c，e.二、填空題5已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是_答案(0，)解析依題意得，c<b，即c2<b2，c2<a2c2,2c2<a2，故離心率e<，又0<e<1，0<e<.6如圖，把橢圓1的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1、P2、P7，七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|P1F|P2F|P7F|_.答案35解析根據(jù)對(duì)稱性|P1F|P2F|P7F|72a71035.三、解答題7經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,2)作直線l交橢圓C：y21于A、B兩點(diǎn)，若AOB的面積為，求直線l的方程解析如圖所示，直線l的斜率顯然存在，故可設(shè)l的方程為ykx2，代入橢圓方程并整理得：(2k21)x28kx60.由韋達(dá)定理有x1x2，x1x2，過(guò)O作OHAB，則|OH|.又|AB|x1x2|，SAOB|AB|OH|.SAOB，即9(x1x2)24x1x24.將式代入得9()24，即4k432k2550，k2或k2.又式的判別式>0，得2k23>0，k2>.k，k均滿足故直線l的方程為yx2或yx2.8設(shè)F1、F2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn)，設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的斜率k的取值范圍答案2<k<或<k<2解析顯然直線x0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線lykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)聯(lián)立消去y，整理得(k2)x24kx30.x1x2，x1x2.由(4k)24(k2)34k23>0，得k>或k<.又0<AOB<90cosAOB>0>0.x1x2y1y2>0.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)44.>0.即k2<4.2<k<2.故由得2<k<或<k<2.