新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料活頁(yè)作業(yè)(三)反證法1用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，假設(shè)正確的是()A假設(shè)至少有一個(gè)鈍角B假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角C假設(shè)沒(méi)有一個(gè)鈍角D假設(shè)沒(méi)有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角解析：“至多有一個(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”，故選B答案：B2設(shè)a，b，c是正數(shù)，Pabc，Qbca，Rcab，則“P·Q·R0”是“P，Q，R同時(shí)大于零”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：必要性顯然成立充分性：若P·Q·R0，則P，Q，R同時(shí)大于零或其中兩個(gè)負(fù)的一個(gè)正的，不妨設(shè)P0，Q0，R0.因?yàn)镻0，Q0，即abc，bca，所以abbcca.所以b0，這與a，b，c都是正數(shù)矛盾故P，Q，R同時(shí)大于零答案：C3設(shè)a，b，c(，0)，則a，b，c()A都不大于2B都不小于 2C至少有一個(gè)不大于2D至少有一個(gè)不小于2解析：對(duì)于C，可用反證法證明如下：假設(shè)a2，b2，c2同時(shí)成立，則6，這與6矛盾答案：C4已知：x10，x11，且xn1(n1,2，3，)試證：數(shù)列xn或者對(duì)任意正整數(shù)n都滿(mǎn)足xnxn1，或者對(duì)任意的正整數(shù)n都滿(mǎn)足xnxn1.當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)，應(yīng)為()A對(duì)任意的正整數(shù)n，有xnxn1B存在正整數(shù)n，使xnxn1C存在正整數(shù)n，使xnxn1且xnxn1D存在正整數(shù)n，使(xnxn1)(xnxn1)0解析：證明結(jié)論的含義是數(shù)列an為單調(diào)數(shù)列，因此對(duì)它的否定是數(shù)列an不為單調(diào)數(shù)列，即為常數(shù)數(shù)列或存在不具備單調(diào)的項(xiàng)，故選D答案：D5用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A方程x3axb0沒(méi)有實(shí)根B方程x3axb0至多有一個(gè)實(shí)根C方程x3axb0至多有兩個(gè)實(shí)根D方程x3axb0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析：至少有一個(gè)實(shí)根的否定是沒(méi)有實(shí)根，故要做的假設(shè)是“方程x3axb0沒(méi)有實(shí)根”答案：A6對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)，如果存在實(shí)數(shù)x0，使f(x0)x0，那么x0叫作函數(shù)f(x)的一個(gè)好點(diǎn)已知函數(shù)f(x)x22ax1不存在好點(diǎn)，那么a的取值范圍是_解析：假設(shè)函數(shù)f(x)存在好點(diǎn)x，即x22ax1x，即x2(2a1)x10.所以(2a1)240，解得a或a.因此f(x)不存在好點(diǎn)時(shí)，a.答案：7用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：ABC90°90°C180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角假設(shè)ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)A90°，B90°.上述步驟的正確順序?yàn)開(kāi)解析：由反證法的一般步驟可知，正確的順序應(yīng)為.答案：8在ABC中，若ABAC，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，APBAPC，求證：BAPCAP.用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)分_和_兩類(lèi)解析：BAPCAP的否定為BAPCAP，因此假設(shè)應(yīng)分兩類(lèi)：BAPCAP和BAPCAP.答案：BAPCAPBAPCAP9用反證法證明：已知a，b均為有理數(shù)，且和都是無(wú)理數(shù)，求證：是無(wú)理數(shù)證明：假設(shè)為有理數(shù)，則()()ab.由a0，b0，得0. .a，b為有理數(shù)，且為有理數(shù)為有理數(shù)，即為有理數(shù)()()為有理數(shù)，即2為有理數(shù)應(yīng)為有理數(shù)，這與已知為無(wú)理數(shù)矛盾一定為無(wú)理數(shù)10已知x0，y0，且xy2.求證：，中至少有一個(gè)小于2.證明：假設(shè)，都不小于2，即2，2.x>0，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)即xy2，與已知xy2矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，原命題正確，中至少有一個(gè)小于2.11用反證法證明命題“a，bN，如果ab能被5整除，那么a，b至少有一個(gè)能被5整除”，則假設(shè)的內(nèi)容是()Aa，b都能被5整除Ba，b都不能被5整除Ca不能被5整除Da，b有一個(gè)不能被5整除解析：至少有一個(gè)的反面是一個(gè)也沒(méi)有，故選B答案：B12若下列方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0，至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析：假設(shè)三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根，則有解得 即a1.所以當(dāng)a1或a時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根答案：a1或a13設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，若關(guān)于x的不等式f(x1)0的解集為0,1，則關(guān)于x的不等式f(x1)0的解集為_(kāi)解析：將函數(shù)yf(x1)的圖像向左平移2個(gè)單位得到函數(shù)yf(x1)的圖像，不等式f(x1)0的解集為0,1，所以yf(x1)的圖像是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，與x軸的交點(diǎn)為(0,0)，(1,0)，所以不等式f(x1)0的解集為(，21，)答案：(，21，)14已知集合a，b，c0,1,2，且下列三個(gè)關(guān)系：a2；b2；c0有且只有一個(gè)正確，則100a10bc等于_解析：(1)若正確，則不正確，由不正確得c0，由正確得a1，所以b2，與不正確矛盾，故不正確(2)若正確，則不正確，由不正確得a2，與正確矛盾，故不正確(3)若正確，則不正確，由不正確得a2，由不正確及正確得b0，c1，此時(shí)100a10bc100×210×01201.答案：20115設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)求證：f(x)0無(wú)整數(shù)根證明：假設(shè)f(x)0有一個(gè)整數(shù)根k，則ak2bkc.又f(0)c，f(1)abc均為奇數(shù)ab為偶數(shù)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，顯然與式矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k2n1(nZ)，則ak2bk(2n1)(2naab)為偶數(shù)，也與式矛盾，故假設(shè)不成立所以方程f(x)0無(wú)整數(shù)根16已知函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，且當(dāng)x01，f(x0)1時(shí)，有f(f(x0)x0，求證：f(x0)x0.證明：假設(shè)f(x0)x0，則必有f(x0)x0或f(x0)x0.若f(x0)x01，由f(x)在1，)上為增函數(shù)，得f(f(x0)f(x0)又f(f(x0)x0，f(x0)x0，與假設(shè)矛盾若x0f(x0)1，同理，得f(x0)f (f(x0)又f(f(x0)x0，x0f(x0)，也與假設(shè)矛盾綜上所述，當(dāng)x01，f(x0)1，且f(f(x0)x0時(shí)，f(x0)x0.