新版數(shù)學北師大版精品資料【成才之路】高中數(shù)學 第1章 1歸納與類比課時作業(yè) 北師大版選修2-2一、選擇題1下面幾種推理是合情推理的是()由圓的周長為Cd類比出球的表面積為Sd2；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180；某次考試，張軍的成績是100分，由此推出全班同學的成績都是100分；三角形的內(nèi)角和是180，四邊形的內(nèi)角和是360，五邊形的內(nèi)角和是540，歸納出n邊形的內(nèi)角和是(n2)180.A BC D答案C解析由合情推理的概念知符合題意2根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123 45697等于()19211，1293111，123941 111，1 2349511 111，12 34596111 111，A1 111 110 B1 111 111C1 111 112 D1 111 113答案B解析利用歸納推理，由已知可推測等號右側應有7個1.3三角形的面積為S(abc)r，a，b，c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為()AVabcBVShCV(S1S2S3S4)r(S1、S2、S3、S4為四個面的面積，r為內(nèi)切球的半徑)DV(abbcac)h(h為四面體的高)答案C解析設ABC的內(nèi)心為O，連接OA、OB、OC，將ABC分割為三個小三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a、b、c；類比：設四面體ABCD的內(nèi)切球的球心為O，連接OA、OB、OC、OD，將四面體分割為四個以O為頂點，以原來面為底面的四面體，高都是r，所以有V(S1S2S3S4)r.4已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S，可推知扇形面積公式S扇等于()ABCD不可類比答案C解析由扇形的弧長與半徑分別類比三角形的底邊與高，可得扇形的面積公式5平面幾何中，有邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊距離之和為定值a，類比上述命題，棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為()Aa Ba Ca Da答案B解析將正三角形一邊上的高a類比到正四面體一個面上的高a，由正三角形“分割成以三條邊為底的三個三角形面積的和等于正三角形的面積”，方法類比為“將四面體分割成以各面為底的三棱錐體積之和等于四面體的體積”證明二、填空題6(2015陜西文，16)觀察下列等式111據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_答案1解析觀察等式知：第n個等式的左邊有2n個數(shù)相加減，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，且分子為1，分母是1到2n的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是.故答案為1.7觀察下列等式：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos418cos21；cos8128cos8256cos6160cos432cos21；cos10mcos101 280cos81 120cos6ncos4pcos21.可以推測，mnp_.答案962解析觀察每一個等式中最高次冪的系數(shù)：2,8,32,128，m，構成一個等比數(shù)列，公比為4，故m1284512.觀察每一個等式中cos2的系數(shù)：2，8,18，32，p，規(guī)律是12，24,36，48，故p51050.每一個式子中的系數(shù)和為1，故m1 2801 120np11，代入m和p，可求得n400，故mnp51240050962.8設函數(shù)f(x)(x>0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當nN*且n2時，fn(x)f(fn1(x)_.答案解析本題主要考查了歸納推理及分析解決問題的能力依題意：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x).當nN*且n2時，fn(x).三、解答題9已知Sn，寫出S1，S2，S3，S4的值，并由此歸納出Sn的表達式分析在Sn中分別令n1,2,3,4，可以求得S1，S2，S3，S4的值，再進行歸納推測解析S11；S2(1)()1；S3(1)()()1；S4(1)()()()1；由此猜想：Sn(nN)點評本題利用歸納猜想的思想求得了Sn的表達式，有兩點應注意：正確理解與把握數(shù)列求和中Sn的含義；在對特殊值進行規(guī)律觀察時，有時需要將所得結果作變形處理，以顯示隱藏的規(guī)律性10在ABC中，余弦定理可敘述為a2b2c22bccosA，其中a、b、c依次為角A、B、C的對邊，類比上述定理，給出空間四面體性質的猜想解析如圖，S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，、依次表示平面PAB與平面PBC、平面PBC與平面PCA、平面PCA與平面ABP之間所成二面角的大小故猜想余弦定理類比推理到三維空間的表現(xiàn)形式為：S2SSS2S1S2cos2S2S3cos2S2S1cos.點評我們常將空間幾何體與平面圖形之間的性質進行類比：如四面體三角形，長方體矩形，圓球注意：線面，平面角空間角，面積體積之間具有類比關系一、選擇題1(2014三峽名校聯(lián)考)觀察式子：1<，1<，1<，則可歸納出第n1個式子為()A1<B1<C1<D1<答案C解析觀察可得第n1個式子中不等式的左邊為數(shù)列的前n項的和，右邊為分式.2如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標分別對應數(shù)列an(nN)的前12項(即橫坐標為奇數(shù)項，縱坐標為偶數(shù)項)，按如此規(guī)律下去，則a2 009a2 010a2 011等于()A1 003 B1 005C1 006 D2 011答案B解析觀察點坐標的規(guī)律可知，偶數(shù)項的值等于其序號的一半則a4n3n，a4n1n，a2nn.又2 00945033,2 01145031，a2 009503，a2 011503，a2 0101 005，a2 009a2 010a2 0111 005.3數(shù)列，2，的一個通項公式是()Aan BanCan Dan答案B解析因為a1，a2，a3，a4，所以an.4(2014湖北理，8)算數(shù)書竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式VL2h.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么，近似公式VL2h相當于將圓錐體積公式中的近似取為()A BC D答案B解析設圓錐的底面圓半徑為r，則L2r，由L2hsh，代入sr2化簡得3；類比推理，若VL2h時，.本題的關鍵是理解“若VL2h，近似取為3”的意義，類比求解，這是高考考查新定義型試題的一種常見模式，求解此類試題時，關鍵是要理解試題所列舉的例子二、填空題5在平面幾何里有射影定理：設ABC的兩邊ABAC，D是A點在BC上的射影，則AB2BDBC拓展到空間，在四面體ABCD中，DA平面ABC，點O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，ABC、BOC、BDC三者面積之間關系為_答案SSOBCSDBC解析將直角三角形的一條直角邊長類比到有一側棱AD與一側面ABC垂直的四棱錐的側面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長，類比到ABC在底面的射影OBC及底面BCD的面積可得SSOBCSDBC6(2014陜西理，14)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是_答案FVE2解析5692，66102，68122，F(xiàn)VE2.三、解答題7把下面在平面內(nèi)成立的結論類比推廣到空間中，并判斷類比的結論是否成立；(1)如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交；(2)如果兩條直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行解析平面幾何與空間幾何的類比中，點的類比對象是線，線的類比對象是面，面的類比對象是體(1)的類比結論為：如果一個平面與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交由空間幾何的知識易得此結論成立(2)的類比結論為：如果兩個平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相平行由空間幾何的知識易得此結論不成立，如果兩個平面同時垂直于第三個平面，這兩個平面還可能相交8(2014洛陽市高二期中)觀察等式：sin50sin202sin35cos15sin66sin322sin49cos17猜想符合以上兩式規(guī)律的一般結論，并進行證明解析猜想：sinsin2sincos.下面證明：左邊sin()sin()(sincoscossin)(sincoscossin)2sincos右邊所以原等式成立.