新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料第三章3.3第1課時(shí) 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、選擇題1雙曲線1的焦距為()A3B4C3D4答案D解析c2a2b210212，則2c4，故選D2已知平面內(nèi)有一定線段AB，其長度為4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|3，O為AB的中點(diǎn)，則|PO|的最小值為()A1BC2D4答案B解析如圖，以AB為x軸，AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建系|PA|PB|3P點(diǎn)軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支由圖知|PO|最短為.3在方程mx2my2n中，若mn<0，則方程的曲線是()A焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線答案D解析方程mx2my2n可化為：1，mn<0，>0，方程的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線4已知F1、F2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2()ABCD答案C解析本題考查雙曲線定義由|PF1|2|PF2|及|PF1|PF2|2知|PF2|2|PF1|4，而|F1F2|4，由余弦定理知cosF1PF2.5過雙曲線1的焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線被雙線截取的線段的長度為()AB4CD8答案C解析a23，b24，c27，c，該直線方程為x，由得y2，|y|，弦長為.6設(shè)P為雙曲線x21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|PF2|32，則PF1F2的面積為()A6B12C12D24答案B解析由雙曲線定義知|PF1|PF2|2又|PF1|PF2|32，|PF1|6，|PF2|4，由雙曲線方程知a21，b212，c213，|F1F2|2c2，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2得PF1PF2，SPF1F2|PF1|·|PF2|×6×412.二、填空題7雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是_答案(0，±)解析a22，b21，c23，c±，又焦點(diǎn)在y軸上8若方程1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案k>3或k<3解析當(dāng)，即k>3時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)，即k<3時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線所以若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k>3或k<3.總結(jié)反思錯(cuò)解中得到k>3的結(jié)果是不完整的，這是由于對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程理解不深刻，誤認(rèn)為該方程僅表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，遺漏了焦點(diǎn)在y軸上的情況，事實(shí)上，若方程1表示雙曲線，則應(yīng)有pq>0.三、解答題9求與雙曲線1共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3，2)的雙曲線方程解析由于所求的雙曲線與已知雙曲線共焦點(diǎn)，從而可設(shè)所求的雙曲線方程為1.由于點(diǎn)(3，2)在所求的雙曲線上，從而有1.整理，得k210k560，k4或k14.又16k>0,4k>0，4<k<16.從而得k4.故所求雙曲線的方程為1.10若F1、F2是雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|32，求F1PF2的大小解析由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由雙曲線的方程，知a3，b4，c5.由雙曲線的定義，得|PF1|PF2|2a6.上式兩邊平方，得|PF1|2|PF2|2362|PF1|·|PF2|3664100，由余弦定理，得cosF1PF20.F1PF290°.總結(jié)反思在焦點(diǎn)三角形中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義等是經(jīng)常使用的知識(shí)點(diǎn)另外，還經(jīng)常結(jié)合2a，運(yùn)用平方的方法，建立它與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系，請(qǐng)同學(xué)們多加注意一、選擇題1對(duì)于常數(shù)m、n，“mn>0”是“方程mx2ny21的曲線是橢圓”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案B解析本題考查了充分必要條件及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，由mn>0，若mn，則方程 mx2ny21表示圓，故mn>0/方程mx2ny21表示橢圓，若mx2ny21表示橢圓mn>0，故原題為必要不充分條件，充分理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解決問題的關(guān)鍵2已知點(diǎn)F1(4,0)和F2(4,0)，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P到F1、F2距離之差為6，則曲線C的方程為()A1B1(y>0)C1或1D1(x>0)答案D解析由雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，其方程為：1(x>0)3已知雙曲線1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上，且MF1x軸，則F1到直線F2M的距離為()ABCD答案C解析求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線MF2的方程，用點(diǎn)到直線的距離公式求解如圖，由1知，F(xiàn)1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)設(shè)M(3，y0)，則y0±，取M(3，)，直線MF2的方程為x6y0，即x2y30.點(diǎn)F1到直線MF2的距離為d.4已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F1(，0)，點(diǎn)P位于該雙曲線上，線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2) 則雙曲線的方程是()Ay21Bx21C1D1答案B解析PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，4)，2a|PF1|PF2|642，a1又cb2()2124，方程為x21.二、填空題5已知雙曲線x2y21，點(diǎn)F1、F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若PF1PF2，則|PF1|PF2|的值為_答案2解析本題考查了雙曲線的概念設(shè)|PF1|m，|PF2|n，根據(jù)雙曲線的定義及已知條件可得|mn|2a2，m2n24c28，2mn4，(|PF1|PF2|)2(mn)2(mn)24mn12，|PF1|PF2|2.充分利用PF1PF2, 將|PF1|PF2|2a，轉(zhuǎn)化到|PF1|PF2|是解決本題的關(guān)鍵6若雙曲線x2y21右支上一點(diǎn)P(a，b)到直線yx的距離是，則ab_.答案解析由條件知，或，a>0且a>|b|，ab.三、解答題7.已知C為圓(x)2y24的圓心，點(diǎn)A(，0)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP所在直線上，且·0，2.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程分析畫出圖形，由條件可得QM是AP的中垂線，先利用等腰三角形邊長相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用雙曲線的定義即可求出點(diǎn)Q的軌跡方程解析圓(x)2y24的圓心為C(，0)，半徑r2.·0，2，MQAP，點(diǎn)M是AP的中點(diǎn)，即QM是AP的中垂線，連接AQ，則|AQ|QP|.|r2，又|2>2，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(，0)，A(，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線，由c，a1，得b21，因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2y21.總結(jié)反思(1)本題是一個(gè)?？嫉睦脠A錐曲線定義求解圓錐曲線方程的例子，用定義法求軌跡的方法小巧而精致，是近幾年來高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)(2)在本題的解答過程中，我們要有解題的預(yù)見性，從C(，0)，A(，0)兩個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱性，我們應(yīng)該優(yōu)先考慮到圓錐曲線的定義，所以思維的入手點(diǎn)，應(yīng)該去嘗試動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和或者是距離之差的絕對(duì)值，從而達(dá)到利用定義順利解題的目的8已知橢圓1(a1>b1>0)與雙曲線1(a2>0，b2>0)有公共焦點(diǎn)F1、F2，設(shè)P是它們的一個(gè)交點(diǎn)(1)試用b1，b2表示F1PF2的面積；(2)當(dāng)b1b2m(m>0)是常數(shù)時(shí)，求F1PF2的面積的最大值解析(1)如圖所示，令F1PF2.因|F1F2|2c，則ababc2.即aabb.由橢圓、雙曲線定義，得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2(令|PF1|>|PF2|)，所以|PF1|a1a2，|PF2|a1a2，cos.所以sin.所以SF1PF2|PF1|·|PF2|sin(aa)·b1b2.(2)當(dāng)b1b2m(m>0)為常數(shù)時(shí)SF1PF2b1b2()2，所以F1PF2面積的最大值為.