新版數(shù)學北師大版精品資料新版數(shù)學北師大版精品資料 學業(yè)水平訓練 1已知 a，bR，且 a2b24，那么 ab( ) A有最大值 2，有最小值2 B有最大值 2，但無最小值 C有最小值 2，但無最大值 D有最大值 2，有最小值 0 解析：選 A.這里沒有限制 a，b 的正負，則由 a2b24，a2b22|ab|，得|ab|2，所以2ab2，可知 ab 的最大值為 2，最小值為2. 2若 x4，則函數(shù) yx1x4( ) A有最大值6 B有最小值 6 C有最大值2 D有最小值 2 解析：選 B.x4，x40，yx1x4(x4)1x44246.當且僅當 x41x4，即 x5 時，取“”號 3已知 x、y 為正實數(shù)，且 x4y1，則 xy 的最大值為( ) A.14 B.18 C.116 D.132 解析：選 C.x、y 為正實數(shù)，xy14x4y14x4y22116，當且僅當 x4y 且 x4y1，即 x12，y18時取等號 4點 P(x，y)是直線 x3y20 上的動點，則代數(shù)式 3x27y有( ) A最大值 8 B最小值 8 C最小值 6 D最大值 6 解析：選 C.點 P(x，y)在直線 x3y20 上， x3y2. 3x27y3x33y2 3x33y2 3x3y2 326.當且僅當 x3y，即 x1，y13時，等號成立代數(shù)式 3x27y有最小值 6. 5將一根鐵絲切割成三段，做一個面積為 2 m2、形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費最少)的是( ) A6.5 m B6.8 m C7 m D7.2 m 解析：選 C.設兩直角邊分別為 a、b，直角三角形的框架的周長為 l，則12ab2，lab a2b22 ab 2ab42 26.828(m)故選 C. 6已知 x，y 都是正數(shù)， (1)如果 xy15，則 xy 的最小值是_； (2)如果 xy15，則 xy 的最大值是_ 解析：(1)因為 x，y 都是正數(shù)，且 xy15，由基本不等式得 xy2 xy2 15.當且僅當 xy 15時，取等號 (2)因為 x，y 都是正數(shù)，且 xy15，由基本不等式得 xyxy2215222254.當且僅當 xy7.5 時，取等號 答案：(1)2 15 (2)2254 7一批救災物資隨 26 輛汽車從某市以 v 千米/時的速度勻速直達災區(qū)，已知兩地公路線長 400 千米，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于v202千米，那么這批物資全部到達災區(qū)，最少需要_小時 解析： 從第一輛車出發(fā)到最后一輛車到達目的地共需要的時間 y400v25v202v400v25v4002400v25v40010.當且僅當 v80 時，等號成立 答案：10 8有下面四個推導過程： a，b(0，)， baab2baab2； x，y(0，)， lg xlg y2 lg xlg y； aR，a0， 4aa24aa4； x，yR，xy0， xyyxxyyx 2xyyx2. 其中正確推導過程的序號為_ 解析：從基本不等式成立的條件考慮 a，b(0，)， ba，ab(0，)，符合基本不等式的條件，故推導正確； 雖然 x，y(0，)，但當 x(0，1)時，lg x 是負數(shù)，y(0，1)時，lg y 是負數(shù)， 故的推導過程是錯誤的； 的推導過程中 aR，不符合基本不等式的條件， 故4aa24aa4 是錯誤的 對于，由 xy0，求證：x22x132. 證明：x0，x120，x22x1x1x12x121x12122x121x121232.當且僅當 x121x12，即 x12時等號成立 10用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為 2 平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖所示)，設容器高為 h 米，蓋子邊長為 a 米 (1)求 a 關于 h 的解析式； (2)設容器的容積為 V 立方米，則當 h 為何值時，V 最大？并求出 V 的最大值(求解本題時，不計容器厚度) 解：(1)設 h是正四棱錐的斜高，由題設，得 a2412ha2，h214a2h2，消去 h， 解得 a1h21(a0) (2)由 V13a2hh3（h21）(h0)， 得 V13h1h.而 h1h2h1h2. 所以 V16，當且僅當 h1h，即 h1 時，等號成立 故當 h1 米時，V 有最大值，V 的最大值為16立方米 高考水平訓練 1在區(qū)間12，2 上，函數(shù) f(x)x2bxc(b，cR)與 g(x)x2x1x在同一點取得相同的最小值，那么 f(x)在區(qū)間12，2 上的最大值是( ) A.134 B4 C8 D.54 解析：選 B.g(x)x2x1xx1x13，當且僅當 x1 時，等號成立，即當 x1 時取最小值 3，所以 f(x)的對稱軸是 x1，所以 b2.再把(1，3)代入即得 c4.所以 f(x)x22x4，易得在12，2 上的最大值是 f(2)4444. 2若實數(shù) a，b，c 滿足 2a2b2ab，2a2b2c2abc，則 c 的最大值是_ 解析：2a2b2ab， 2ab2a2b2 2a2b2 2ab，即 2ab2 2ab. 2ab4. 又2a2b2c2abc， 2ab2c2ab2c，即 2c2ab()2c1 . 2c2c12ab4，即2c2c14，432c2c10， 2c43，clog2432log23， c 的最大值為 2log23. 答案：2log23 3(1)若 x、yR，且 2x8yxy0，求 xy 的最小值； (2)若 x1，求 yx23x3x1的最小值 解：(1)由 2x8yxy0，得 2x8yxy， x、yR，2y8x1， xy(xy)8x2y108yx2xy1024yxxy10224yxxy18. 當且僅當4yxxy，即 x2y 時取等號，又 2x8yxy0， 當 x12，y6 時，xy 取最小值 18. (2)法一：yx23x3x1（x1）2x2x1 （x1）2（x1）1x1(x1)1x11. x1，x10.y(x1)1x11213. 當且僅當 x11x1，即 x0 時，函數(shù)有最小值 3. 法二：令 x1t，則 xt1. yx23x3x1（t1）23（t1）3t t2t1tt1t1. x1，tx10. yt1t12t1t13. 當且僅當 t1t，即 t1，即 x0 時，函數(shù)有最小值 3. 4 某工廠擬建一座平面圖為矩形， 面積為 200 m2， 高度一定的三段污水處理池(如圖) 由于受地形限制，其長、寬都不能超過 16 m，如果池的外壁的建造費單價為 400 元/m，池中兩道隔墻的建造費單價為 248 元/m，池底的建造費單價為 80 元/m2，試設計水池的長 x 和寬y(xy)，使總造價最低，并求出這個最低造價 解：設污水池長為 x m，則寬 y200 x m，且 0 x16，0200 x，設總造價為Q(x)，則 Q(x)400(2x2200 x)2482200 x80200800(x324x)16 0001 600 x324x16 00044 800.當且僅當 x324x(x0)，即 x18 時取等號，44 800 不是最小值 又0 x16，0200 x， 10 2x16，而 Q(x)在(10 2，16上單調(diào)遞減， Q(x)Q(16)800(1632416)16 00045 000(元) 故水池長為 16 m，寬為 12.5 m 時，其總造價最低，最低造價為 45 000 元