新版數學北師大版精品資料【成才之路】高中數學 2.2.2拋物線的簡單性質練習 北師大版選修1-1一、選擇題1頂點在坐標原點，對稱軸為坐標軸，過點(2,3)的拋物線方程是()Ay2xBx2yCy2x或x2yDy2x或x2y答案D解析點(2,3)在第二象限，設拋物線方程為y22px(p>0)或x22py(p>0)，又點(2,3)在拋物線上，94p，p，46p，p.2(2014山師大附中高二期中)拋物線y22px(p>0)的焦點恰好與橢圓1的一個焦點重合，則p()A1B2C4D8答案C解析橢圓中a29，b25，c2a2b24，c2，F1(2,0)，F2(2,0)，拋物線y22px(p>0)的焦點F(，0)與F1重合，2，p4，故選C.3動圓的圓心在拋物線y28x上，且動圓恒與直線x20相切，則動圓必過定點()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0，2)答案B解析圓心到直線x20的距離等于到拋物線焦點的距離，定點為(2,0)4拋物線y24x上點P(a,2)到焦點F的距離為()A1B2C4D8答案B解析點P(a,2)在拋物線上，4a4，a1，點P(1,2)又拋物線的焦點F坐標為(1,0)，|PF|2.5P為拋物線y22px的焦點弦AB的中點，A、B、P三點到拋物線準線的距離分別是|AA1|、|BB1|、|PP1|，則有()A|PP1|AA1|BB1|B|PP1|AB|C|PP1|>|AB|D|PP1|<|AB|答案B解析如圖，由題意可知|PP1|，根據拋物線的定義，得|AA1|AF|，|BB1|BF|，|PP1|AB|.6過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若點A、B在拋物線準線上的射影分別為A1，B1，則A1FB1為()A45B60C90D120答案C解析設拋物線方程為y22px(p>0)如圖，|AF|AA1|，|BF|BB1|，AA1FAFA1，BFB1FB1B.又AA1OxB1B，A1FOAF1A，B1FOFB1B，A1FB1AFB90.二、填空題7沿直線y2發(fā)出的光線經拋物線y2ax反射后，與x軸相交于點A(2,0)，則拋物線的準線方程為_答案x2解析由拋物線的幾何性質：從焦點發(fā)出的光線經拋物線反射后與軸平行，及直線y2平行于拋物線的軸知A(2,0)為焦點，故準線方程為x2.8一個正三角形的兩個頂點在拋物線y2ax上，另一個頂點在坐標原點，如果這個三角形的面積為36，則a_.答案2解析設正三角形邊長為x.由題意得，36x2sin60，x12.當a>0時，將(6，6)代入y2ax，得a2.當a<0時，將(6，6)代入y2ax，得a2，故a2.三、解答題9已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為x軸，且與圓x2y24相交的公共弦長等于2，求拋物線的方程答案y23x或y23x解析如圖，設所求拋物線的方程為y22px(p>0)或y22px(p>0)，設交點A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，則|y1|y2|2，即y1y22.由對稱性知y2y1，y1.將y1代入x2y24得x1，點(1，)、(1，)分別在拋物線y22px，y22px上32p或3(2p)(1)p.故所求拋物線的方程為y23x或y23x.10已知拋物線y2x與直線yk(x1)相交于A，B兩點(1)求證：OAOB；(2)當OAB的面積等于時，求k的值答案(1)略(2)解析(1)如圖所示，由方程組，消去x得，ky2yk0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數的關系得y1y21，y1y2.A，B在拋物線y2x上，yx1，yx2，yyx1x2.kOAkOB1，OAOB.(2)設直線與x軸交于N，顯然k0.令y0，則x1，即N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，SOAB1.SOAB，解得k.一、選擇題1拋物線yax2的準線方程是y2，則a的值為()A.BC8D8答案B解析yax2x2y，由題意得2，a，故選B.2已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經過點M(2，y0)若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|()A2B2C4D2答案B解析本題考查了拋物線的標準方程，拋物線定義的應用等知識由于拋物線關于x軸對稱，頂點在坐標原點且經過點M(2，y0)，可設方程為y22px，由點M到拋物線焦點的距為3，則由拋物線定義得23，解得p2，則y24x，又M(2，y0)在拋物線y24x上，則y8，|OM|2.3(2014湖南省長沙一中期中考試)已知拋物線x22py(p>0)的焦點為F，過F作傾斜角為30的直線，與拋物線交于A，B兩點，若(0,1)，則()A.BC.D答案C解析因為拋物線的焦點為(0，)，直線方程為yx，與拋物線方程聯立得x2pxp20，解方程得xAp，xBp，所以.故選C.4設拋物線y28x的準線與x軸相交于點Q，若過點Q的直線與拋物線有公共點，則此直線的斜率的取值范圍是()A，B2,2C1,1D4,4答案C解析準線x2，Q(2,0)，設yk(x2)，由，得k2x24(k22)x4k20，當k0時，x0，即交點為(0,0)；當k0時，由0得，1k<0或0<k1，綜上，k的取值范圍是1,1，故選C.二、填空題5拋物線y24x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4，則焦點F到AB的距離為_答案2解析如圖所示，由于|AB|4，yA2，代入拋物線的方程，得x3，即xM3.由拋物線的方程y24x，知F(1,0)焦點F到AB的距離為2.6過點P(2,2)作拋物線y23x的弦AB，恰被P所平分，則AB所在的直線方程為_答案3x4y20解析解法一：設以P為中點的弦AB端點坐標為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有y3x1，y3x2，x1x24，y1y24.，得(y1y2)(y1y2)3(x1x2)將代入得y1y2(x1x2)，即，k.所求弦AB所在直線方程為y2(x2)，即3x4y20.解法二：設弦AB所在直線方程為yk(x2)2.由消去x，得ky23y6k60，此方程的兩根就是線段端點A、B兩點的縱坐標，由韋達定理和中點坐標公式，得y1y2，又y1y24，k.所求弦AB所在直線方程為3x4y20.三、解答題7已知拋物線x24y，點P是此拋物線上的動點，點A的坐標為(12,6)，求點P到點A的距離與到x軸的距離之和的最小值答案12解析將x12代入x24y得y36>6，點A在拋物線外部，拋物線的焦點為F(0,1)，準線l：y1，過點P作PBl于B，交x軸于C，如上圖所示，則|PA|PC|PA|PB|1|PA|PF|1，要使|PA|PC|最小，只需P，A，F三點在一條直線上，此時，|PA|PF|AF|13.故|PA|PC|的最小值為12.8拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經過焦點且傾斜角為135的直線，被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程答案y24x解析如圖所示，依題意設拋物線方程為y22px(p>0)，則直線方程為yxp.設直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則由拋物線定義得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x28.又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線和直線的交點，由，消去y得x23px0，x1x23p.將其代入得p2，所求拋物線方程為y24x.當拋物線方程設為y22px時，同理可求得拋物線方程為y24x.