新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第3章 2第2課時(shí) 最大值、最小值問(wèn)題課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2一、選擇題1函數(shù)f(x)x(1x2)在0,1上的最大值為()A BC D答案A解析f(x)xx3，f(x)13x2，令f(x)0得x(x舍去)，計(jì)算比較得最大值為f().2.一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時(shí)10 km時(shí)燃料費(fèi)是每小時(shí)6元 ，而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，則此輪船的速度為_(kāi)km/h航行時(shí)，能使行駛每公里的費(fèi)用總和最小()A20B30C40D60答案A解析設(shè)船速為每小時(shí)x(x0)公里，燃料費(fèi)為Q元，則Qkx3，由已知得：6k103，k，即Qx3.記行駛每公里的費(fèi)用總和為y元，則y(x396)x2yx，令y0，即x0，解之得：x20.這就是說(shuō)，該函數(shù)在定義域(0，)內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，該極值必有所求的最小值，即當(dāng)船速為每小時(shí)20公里時(shí)，航行每公里的總費(fèi)用最小，最小值為7.2元3已知函數(shù)f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()Am Bm>Cm Dm<答案A解析由f (x)2x36x20得，x0或x3，經(jīng)檢驗(yàn)知x3是函數(shù)的一個(gè)最小值點(diǎn)，所以函數(shù)的最小值為f(3)3m，不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.4若函數(shù)f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A1,1) B2,1)C2，1) D(2，)答案B解析由于f(x)x21 ，易知函數(shù)在(，1上遞減，在1,1上遞增，1，)上遞減，故若函數(shù)在(a,10a2)上存在最大值的條件為1a1或綜上可知a的取值范圍為2,1)5設(shè)直線(xiàn)xt與函數(shù)f(x)x2，g(x)lnx的圖像分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為()A1 BC D答案D解析本小題考查內(nèi)容為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的最小值令F(x)f(x)g(x)x2lnx，F(xiàn)(x)2x.令F(x)0，x，F(xiàn)(x) 在x處最小二、填空題6下列結(jié)論中正確的有_在區(qū)間a，b上，函數(shù)的極大值就是最大值；在區(qū)間a，b上，函數(shù)的極小值就是最小值；在區(qū)間a，b上，函數(shù)的最大值、最小值在xa和xb處取到；在區(qū)間a，b上，函數(shù)的極大(小)值有可能就是最大(小)值答案解析由函數(shù)最值的定義知，均不正確，正確故填.7函數(shù)f(x)ax44ax3b(a>0)在1,4上的最大值為3，最小值為6，則ab_.答案解析f(x)4ax312ax2(a>0，x1,4)由f(x)0，得x0(舍)，或x3，可得x3時(shí)，f(x)取得最小值為b27A又f(1)b3a，f(4)b，f(4)為最大值由解得ab.8.設(shè)函數(shù)f(x)ax33x1(xR)，若對(duì)于任意x1,1，都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案4解析本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用若x0，則不論a取何值，f(x)0顯然成立；當(dāng)x>0即x(0,1時(shí)，f(x)ax33x10可化為a，設(shè)g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x) maxg4，從而a4；當(dāng)x<0即x1,0，f(x)ax33x10可化為a，g(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增，因此g(x)ming(1)4，從而a4，綜上a4.三、解答題9.(2014江西理，18)已知函數(shù)f(x)(x2bxb)(bR)(1)當(dāng)b4時(shí)，求f(x)的極值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，求b的取值范圍解析(1)當(dāng)b4時(shí)，f(x)(x2)2的定義域?yàn)?，)，f (x)，由f (x)0得x2或x0.當(dāng)x(，2)時(shí)，f (x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(2,0)時(shí)，f (x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(0，)時(shí)，f (x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)在x2取極小值f(2)0，在x0取極大值f(0)4.(2)f (x)，因?yàn)楫?dāng)x(0，)時(shí)，<0，依題意當(dāng)x(0，)時(shí)，有5x(3b2)0，從而(3b2)0.所以b的取值范圍為(，10.(2014三峽名校聯(lián)盟聯(lián)考)時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣大學(xué)生的喜愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷(xiāo)售量y(單位：千套)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位：元/套)滿(mǎn)足的關(guān)系式y(tǒng)4(x6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)已知銷(xiāo)售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開(kāi)銷(xiāo)折合為每套題2元(只考慮銷(xiāo)售出的套數(shù))，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)最大(保留1位小數(shù))解析(1)因?yàn)閤4時(shí)，y21，代入關(guān)系式y(tǒng)4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套題每日的銷(xiāo)售量y4(x6)2，所以每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)f(x)(x2)4(x6)2104(x6)2(x2)4x356x2240x278(2<x<6)，從而f (x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2<x<6)令f (x)0，得x，且在(0，)上，f (x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(，6)上，f (x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以x是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)x3.3時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值故當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為3.3元/套時(shí)，網(wǎng)校每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)最大.一、選擇題1給出下面四個(gè)命題：函數(shù)yx25x4，x1,1的最大值為10，最小值為；函數(shù)y2x24x1(2<x<4)的最大值為17，最小值為1；函數(shù)yx312x(3<x<3)的最大值為16，最小值為16；函數(shù)yx312x(2<x<2)無(wú)最大值，也無(wú)最小值其中正確的命題有()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)答案B解析正確2已知不等式對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(0,1 B(，1C0,2 D(0,2答案A解析令y，則y，可以驗(yàn)證當(dāng)y0即kxe，x時(shí)，ymax，又y對(duì)于x0恒成立，得k1又kx0，x0，k0，0k1.3.(2014江西文，10)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)yax2x與ya2x32ax2xa(aR)的圖像不可能的是()答案B解析若a0時(shí)，兩函數(shù)分別為yx和yx，選項(xiàng)D此時(shí)合適，若a0時(shí)，設(shè)f1(x)ax2x，設(shè)f2(x)a2x32ax2xaf2(x)3a2x24ax1(3ax1)(ax1)，若a>0，易知f2(x)的極大值為f()a，極小值為f()a，而f1(x)圖象此時(shí)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x>0且f1()f1(0)，f2(0)a，A、C均適合(2)若a<0，f1(x)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x<0 ，f()f1(0)<0，而f2()>a<0，比較知0>>a，也就是說(shuō)當(dāng)x時(shí)函數(shù)f2(x)圖象為極大值而此時(shí)f1(x)圖象對(duì)應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)該在(，f2()上方，而B(niǎo)選項(xiàng)中顯然右下方，因而B(niǎo)不可能4以長(zhǎng)為10的線(xiàn)段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為()A10 B15C25 D50答案C解析如圖，設(shè)NOB，則矩形面積S5sin25cos50sincos25sin 2，故Smax25.二、填空題5.已知函數(shù)yxf(x)的圖像如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，給出以下說(shuō)法：函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)；函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上無(wú)單調(diào)性；函數(shù)f(x)在x處取得極大值；函數(shù)f(x)在x1處取得極小值其中正確的說(shuō)法有_答案解析從圖像上可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x(1，)時(shí)，xf(x)>0 ，所以f(x)>0，故f(x)在(1，)上是增函數(shù)，正確；當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(1，1)上是減函數(shù)，所以，錯(cuò)誤；當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)在區(qū)間(0,1)上遞減，而在(1，)上遞增，故f(x)在x1處取極小值，故正確6.已知函數(shù)f(x)loga，當(dāng)x1,4時(shí)，f(x)2恒成立，則a的取值范圍是_答案1a4解析要使得當(dāng)x1,4時(shí)，f(x)2恒成立，只需保證當(dāng)x1,4時(shí)，f(x)min2即可，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先求函數(shù)f(x)loga在區(qū)間1,4上的最小值，再結(jié)合不等式求得a的取值范圍考慮到f(x)loga的導(dǎo)數(shù)不好求，可以先采用換元的辦法，利用導(dǎo)數(shù)法求出真數(shù)的最值，再考慮函數(shù)f(x)的最小值，但要注意對(duì)底數(shù)a加以討論令h(x)4x16，x1,4h(x)4，x1,4當(dāng)1x2時(shí)，h(x)0，當(dāng)2x4時(shí)，h(x)0.h(x)在1,2上是單調(diào)減函數(shù)，在2,4上是單調(diào)增函數(shù)，h(x)minh(2)32，h(x)maxh(1)h(4)36.當(dāng)0a1時(shí)，有f(x)minloga36，當(dāng)a1 時(shí)，有f(x)minloga32.當(dāng)x1,4時(shí)，f(x)2恒成立，f(x)min2.滿(mǎn)足條件的a的值滿(mǎn)足下列不等式組：或不等式組的解集為空集，解不等式組得1a4.綜上所述，滿(mǎn)足條件的a的取值范圍是：1a4.三、解答題7.(2014全國(guó)大綱，22)函數(shù)f(x)ln(x1)(a>1)討論f(x)的單調(diào)性；解析f(x)的定義域?yàn)?1，)，f(x).當(dāng)1<a<2時(shí)，若x(1，a22a)，則f(x)>0，f(x)在(1，a22a)是增函數(shù)；若x(a22a,0)，則f(x)<0，f(x)在(a22a,0)是減函數(shù)；若x(0，)，則f(x)>0，f(x)在(0，)是增函數(shù)當(dāng)a2時(shí)，f(x)0，f(x)0成立當(dāng)且僅當(dāng)x0，f(x)在(1，)是增函數(shù)當(dāng)a>2時(shí)，若x(1,0)，則f(x)>0，f(x)在(1,0)是增函數(shù)；若x(0，a22a)，則f(x)<0，f(x)在(0，a22a)是減函數(shù)；若x(a22a，)，則f(x)>0，f(x)在(a22a，)是增函數(shù)8.設(shè)f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)討論g(x)與g()的大小關(guān)系；(3)求a的取值范圍，使得g(a)g(x)<對(duì)任意x>0成立分析(1)先求f(x)，寫(xiě)出g(x)，對(duì)g(x)求導(dǎo)，g(x)>0求得增區(qū)間，g(x)<0求得減區(qū)間；(2)作差構(gòu)造函數(shù)h(x)g(x)g()，對(duì)h(x)求導(dǎo)，判定其單調(diào)性，進(jìn)一步求出最值，與0比較大??；(3)利用(1)的結(jié)論求解解析(1)f(x)lnx，f(x)，g(x)lnx.g(x)，令g(x)0得x1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)<0，(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)>0.(1，)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間因此當(dāng)x1時(shí)g(x)取極小值，且x1是唯一極值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)所以g(x)最小值為g(1)1.(2)g()lnxx令h(x)g(x)g()2lnxx，h(x)，當(dāng)x1時(shí)，h(1)0，即g(x)g()，當(dāng)x(0,1)(1，)時(shí)h(x)<0，h(1)0，所以h(x)在(0，)單調(diào)遞減當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)>h(1)0，即g(x)>g()當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)<h(1)0，即g(x)<g()綜上知，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)>g()，當(dāng)x1時(shí)，g(x)g()當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<g()(3)由(1)可知g(x)最小值為1，所以g(a)g(x)<對(duì)任意x>0成立等價(jià)于g(a)1<，即lna<1，解得0<a<e.所以a的取值范圍是(0，e)點(diǎn)評(píng)本題考查了求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不等式恒成立等知識(shí)以及分類(lèi)計(jì)論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等