新版數(shù)學北師大版精品資料【成才之路】高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理單元綜合測試 北師大版選修2-3時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1如圖，從上往下讀(不能跳讀)構(gòu)成句子“構(gòu)建和諧社會，創(chuàng)美好未來”的不同讀法種數(shù)是()構(gòu)建建和和和諧諧諧諧社社社社社會會會會會會創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)美美美美好好好未未來A250B240C252D300答案C解析要組成題設(shè)中的句子，則每行讀一字，不能跳讀每一種讀法須10步完成(從上一個字到下一個字為一步)，其中5步是從左上角到右下角方向讀的，故共有不同讀法C252種2某單位擬安排6位員工在今年6月14日至16日(端午節(jié)假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位員工中的甲不值14日，乙不值16日，則不同的安排方法共有()A30種B36種C42種D48種答案C解析本題考查排列組合的基本知識，涉及分類，分步計算原理、特殊元素、特殊位置甲在16日，有CC24種；甲在15日，乙在15日有C6種甲在15日，乙在14日時有CC12種，所以總共2461242，故選C.3(1x)7的展開式中x2的系數(shù)是()A42B35C28D21答案D解析展開式中第r1項為Tr1Cxr，T3Cx2，x2的系數(shù)為C21，此題誤認為Tr1為第r項，導致失分4A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有()A60種B48種C36種D24種答案D解析把A，B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當于4人的全排列，A24種5設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a7b，則m()A5B6C7D8答案B解析ac，bc，又13a7b，13(m1)7(2m1)，m6.6.如圖，一圓形花圃內(nèi)有5塊區(qū)域，現(xiàn)有4種不同顏色的花從4種花中選出若干種植入花圃中，要求相鄰兩區(qū)域不同色，種法有()A324種B216種 C244種D240種答案D解析若1、4同色，共有C33272(種)若1、4不同色(里面分2與4同色不同色)，共有A2(1322)168(種)所以一共有16872240(種)7一排9個座位坐了3個三口之家， 若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()A33!B3(3！)3C(3！)4D9!答案C解析本題考查捆綁法排列問題由于一家人坐在一起，可以將一家三口人看作一個整體，一家人坐法3！，三個家庭即(3！)3，三個家庭又可全排列，因此(3！)4注意排列中在一起可用捆綁法，即相鄰問題8(xy)4的展示式中x3y3的系數(shù)為()A4B5C6D8答案C解析本題考查二項展開式的通項公式，以及二項展開式中項的系數(shù)(xy)4的展開式中的第(r1)項Tr1C(1)r(x)4r(y)rC(1)rx4y2令43得r2展開式中x3y3的系數(shù)為C(1)26.9已知碳元素有3種同位素12C、13C、14C，氧元素也有3種同位素16O、17O、18O，則不同的原子構(gòu)成的CO2分子有()A9種B27種C54種D81種答案B解析先選碳原子，再選第一個氧原子，最后選第二個氧原子根據(jù)乘法原理所以NCCC27種10.(2014福建理，10)用a代表紅球，b代表藍球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1a)(1b)的展開式1abab表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球，而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個有區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是()A(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5B(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)D(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)答案A解析從5個無區(qū)別的紅球中取出若干個球的所有情況為1aa2a3a4a5，從5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球的所有情況為(1c)(1c)(1c)(1c)(1c)，而所有藍球都取出或都不取出有1b5種情況，故選A.二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11若(x)8的展開式中x4的系數(shù)為7，則實數(shù)a_.答案解析由Tr1Cxr()8rCxa8r.令4，r5，則x4的系數(shù)為Ca37.解之得a.12若(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，則a1a2a3a4a5_(用數(shù)字作答)答案31解析已知(x2)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，令x1，得(12)5a5a4a3a2a1a01，令x0，得(02)5a032，所以a1a2a3a4a531.13一直線和圓相離，這條直線上有6個點，圓周上有4個點，通過任意兩點作直線，最少可作直線的條數(shù)是_答案19解析為了作的直線條數(shù)最少，應(yīng)出現(xiàn)3點或更多點共線的情況，由于直線與圓相離，應(yīng)讓圓上任意兩點都與直線上的一點共線圓周上有4點能連成C6條直線，而直線上恰有6個點，故這10個點中最多有6個三點共線和1個六點共線的情況，因此最少可作直線C6CC6119(條)14某藥品研究所研制了5種消炎藥a1、a2、a3、a4、a5,4種退燒藥b1、b2、b3、b4，現(xiàn)從中取出兩種消炎藥和一種退燒藥同時使用進行療效實驗，但又知a1、a2兩種藥必須同時使用，且a3、b4兩種藥不能同時使用，則不同的實驗方案有_種答案14解析當a1，a2兩種藥同時使用時，只要選一種退燒藥即可，有4種實驗方案；當取消炎藥a3時，另一消炎藥的選取有2種可能，退燒藥的選取有3種可能，有236種實驗方案；當取消炎藥a4、a5時，只要選一種退燒藥即可，有4種實驗方案；相加即可15電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有_種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示)答案48解析本題可以分兩步完成：首尾必須播放公益廣告的有2種；中間4個為不同的商業(yè)廣告有A24種，從而有22448種不同的播放方式三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16(1)化簡n(n1)(nm)；(2)求證：A5AA；(3)求n，使A10A.解析(1)由排列數(shù)公式的階乘形式可得n(n1)(nm)A.(2)證明：A5A7654357654(35)765487654A，故等式得證(3)由A10A得2n(2n1)(2n2)10n(n1)(n2)，即4n(2n1)(n1)10n(n1)(n2)，4(2n1)10(n2)(n3，n是正整數(shù))，解得n8.17把4個男同志和4個女同志均分成4組，到4輛公共汽車里參加售票勞動，如果同樣兩人在不同汽車上服務(wù)算作不同情況(1)有幾種不同的分配方法？(2)每個小組必須是一個男同志和一個女同志有幾種不同的分配方法？(3)男同志與女同志分別分組，有幾種不同分配方法？解析(1)男女合在一起共有8人，每輛車上2人，可以分四個步驟完成，先安排2人上第一輛車，共有C種，再上第二車共有C種，再上第三車共有C種，最后上第四車共有C種，這樣不同分配方法，按分步計數(shù)原理有CCCC2520(種)(2)要求男女各1人，因此先把男同志安排上車，共有A種不同方法，同理，女同志也有A種方法，由分步計數(shù)原理，男女各1人上車的不同分配方法為AA576(種)(3)男女分別分組，4個男的平分成兩組共有3(種)，4個女的分成兩組也有3(種)不同分法，這樣分組方法就有339(種)，對于其中每一種分法上4部車，又有A種上法，因而不同分配方法為9A216(種)18把7個大小完全相同的小球，放置在三個盒子中，允許有的盒子一個也不放(1)如果三個盒子完全相同，有多少種放置方法？(2)如果三個盒子各不相同，有多少種放置方法？解析(1)小球的大小完全相同，三個盒子也完全相同，把7個小球分成三份，比如分成3個、2個、2個這樣三份放入三個盒子中，不論哪一份小球放入哪一個盒子均是同一種放法，因此，只需將7個小球分成如下三份即可，即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2)共計有8種不同的放置方法(2)設(shè)三個盒子中小球的個數(shù)分別為x1、x2、x3，顯然有：x1x2x37，于是，問題就轉(zhuǎn)化為求這個不定方程的非負整數(shù)解，若令yixi1(i1,2,3)由y1y2y310，問題又成為求不定方程y1y2y310的正整數(shù)解的組數(shù)的問題，在10個1中間9個空檔中，任取兩個空檔作記號，即可將10分成三組，不定方程的解有C36組有36種放置方法19.在產(chǎn)品質(zhì)量檢驗時，常從產(chǎn)品中抽出一部分進行檢查，現(xiàn)有100件產(chǎn)品，其中有98件正品，2件次品，從中任意抽出3件檢查，(1)共有多少種不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少種？(3)至少有一件是次品的抽法有多少種？解析(1)所求的不同抽法數(shù)，即從100個不同元素中任取3個元素的組合數(shù)，共有C161700(種)(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的這件事，可以分兩步完成第一步：從2件次品中任取1件，有C種方法；第二步：從98件正品中任取2件，有C種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，不同的抽取方法共有CC247539506(種)(3)方法一：抽出的3件中至少有一件是次品的這件事，分為兩類：第一類：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有CC種；第二類：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有CC種根據(jù)分類加法計數(shù)原理，不同的抽法共有CCCC9506989604(種)方法二：從100件產(chǎn)品中任取3件的抽法有C種，其中抽出的3件中至少有一件是次品的抽法共有CC1617001520969 604(種)反思總結(jié)本題考查了計數(shù)原理和組合知識的應(yīng)用20.求(x23x2)5的展開式中x項的系數(shù)解析方法一：因為(x23x2)5(x2)5(x1)5(Cx5Cx42C25)(Cx5Cx4C)展開后x項為Cx24CC25Cx240x.所以(x23x2)5展開式中x項的系數(shù)為240.方法二：因為(x23x2)5x2(3x2)5，設(shè)Tr1C(x2)5r(3x2)r，在(3x2)r中，設(shè)Tk1C(3x)rk2k，Tr1C(x2)5rC(3x)rk2kCC3rk2kx10rk，依題意可知10rk1，即rk9.又0kr5，r，kN，所以r5，k4.則Tr1CC324x240x.所以(x23x2)5展開式中x項的系數(shù)為240.方法三：把(x23x2)5看成5個x23x2相乘，每個因式各取一項相乘得到展開式中的一項，x項可由1個因式取3x,4個因式取2相乘得到，即C3xC24240x.所以(x23x2)5展開式中x項的系數(shù)為240.反思總結(jié)本題考查利用轉(zhuǎn)化的思想求三項展開式的特定項三項式求特定項的思路有：(1)分解因式法：通過因式分解將三項式變成兩個二項式，然后再用二項式定理分別展開(2)逐層展開法：將三項式分成兩組，用二項式定理展開，再把其中含兩項的一組展開(3)利用組合知識：把三項式看成幾個因式的積，利用組合知識分析項的構(gòu)成，注意最后應(yīng)把各個同類項相合并21.已知n(nN*)的展開式的各項系數(shù)之和等于5的展開式中的常數(shù)項，求n的展開式中a1項的二項式系數(shù)解析對于5：Tr1C(4)5rrC(1)r45r5b.若Tr1為常數(shù)項，則105r0，所以r2，此時得常數(shù)項為T3C(1)2435127.令a1，得n展開式的各項系數(shù)之和為2n.由題意知2n27，所以n7.對于7：Tr1C7r()rC(1)r37ra.若Tr1為a1項，則1，所以r3.所以n的展開式中a1項的二項式系數(shù)為C35.