北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料第二章2.6距離的計(jì)算一、選擇題1以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A兩平行平面之間的距離就是一個(gè)平面內(nèi)任一點(diǎn)到另一平面的距離B點(diǎn)P到面的距離公式是d|，其中A為面內(nèi)任一點(diǎn)，n為面的法向量C點(diǎn)P到直線l的距離公式是d|，其中A為直線l上任一點(diǎn)，a為l的法向量D異面直線l1與l2，在l1上任取一點(diǎn)P，在l2上任取一點(diǎn)Q，則|的最小值，就是l1與l2的距離答案C解析選項(xiàng)C中，a必須與l以及共面時(shí)，此公式才成立2二面角l等于120，A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面、內(nèi)，ACl，BDl，且ABACBD1，則CD的長(zhǎng)等于()A B C2D答案C解析如圖所示，|1，由得|2222|2|2|2232cos(180120)4，|2.3在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA11則點(diǎn)A到平面A1BC的距離為()ABCD答案B4在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC3，CC12，則平面A1BC1與平面ACD1的距離是()ABC3D2答案A5在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1、BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G(01)，則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為()ABCD答案D解析由A1B1平面D1EF知，點(diǎn)G到平面D1EF的距離即為直線A1B1 上任一點(diǎn)到平面D1EF的距離，可求點(diǎn)A1或B1到平面D1EF的距離6在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是線段BB1、B1C1的中點(diǎn)，則直線MN和平面ACD1的距離是()ABCD答案D解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，D1(0,0,1)，M(1,1，)，N(，1,1)，C(0,1,0)所以(1,0,1)，(，0，)所以.又直線AD1與MN不重合，所以.又MN平面ACD1，所以MN平面ACD1.因?yàn)?1,0,1)，(0,1，1)，(1,1,0)設(shè)平面ACD1的法向量n(x，y，z)，則所以 所以xyz.令x1，則n(1,1,1)又因?yàn)?1,1，)(1,0,0)(0,1，)，所以|.所以點(diǎn)M到平面ACD1的距離為.簡(jiǎn)解：延長(zhǎng)NM交CB的延長(zhǎng)線于H，連AH、D1H，MH平面ACD1，M到平面ACD的距離即為H到平面ACD1的距離則VD1AHCVHACD1hh.二、填空題7正方形ABCD與ABEF的邊長(zhǎng)都為a，若二面角EABC的大小為30，則EF到平面ABCD的距離為_(kāi)答案a解析EF到平面ABCD的距離即為點(diǎn)E到平面ABCD的距離，dA8在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是A1B1、CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面AEC1F的距離為_(kāi)答案解析以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，F(xiàn)(0，0)，E(1，1)，B(1,1,0)(0，1)，(1，0)設(shè)平面AEC1F的法向量為n(1，)，則n0，n0.n(1,2，1)又(0,1,0)，點(diǎn)B到平面AEC1F的距離d.三、解答題9如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1.求BF的長(zhǎng)解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)設(shè)F(0,0，z)，AEC1F為平行四邊形，由得(2,0，z)(2,0,2)z2，F(xiàn)(0,0,2)，(2，4,2)于是|2，即BF的長(zhǎng)為2.10已知三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為a，側(cè)棱垂直于底面，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，問(wèn)a為何值時(shí)，點(diǎn)C到平面AB1D的距離為1.解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題設(shè)可知A(a，0)，C(0，a,0)，B1(0,0，a)，D(0，a，)，于是有(a，a)，(0，a，)，(a，0)設(shè)n(x，y，z)為平面AB1D的法向量，則.令y1，可得n(，1,2)所以點(diǎn)C到平面AB1D的距離d|A令a1，解得a2.即a2時(shí)，點(diǎn)C到平面AB1D的距離為1.一、選擇題1正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是A1C1的中點(diǎn)，則O到平面ABC1D1的距離為()ABCD答案B解析以、為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，平面ABC1D1的法向量(1,0,1)，點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離d.2已知平面的一個(gè)法向量n(2，2,1)，點(diǎn)A(1,3,0)在內(nèi)，則P(2,1,4)到的距離為()A10B3CD答案D解析(1,2，4)，又平面的一個(gè)法向量為n(2，2,1)，所以P到的距離為|.3空間四點(diǎn)A、B、C、D每?jī)牲c(diǎn)的連線長(zhǎng)都等于a，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CD上，則點(diǎn)P到Q的最小距離為()ABaCaDa答案B解析如圖，求PQ的最小值，需先將PQ表示出來(lái)，再用代數(shù)方法確定最值由題設(shè)可知，、兩兩夾角均為60.設(shè)，則()(1).|22(1)222(1)2(1)22a2a22a22a22a2a2a2a22a2a2a2(221)a2()2()2.|A4已知平面平面，線段AB、CD夾在、之間，AB13，CD5，且它們?cè)趦?nèi)的射影之差為2，則和之間的距離為()A3B4C5D6答案C解析如圖所示，設(shè)A、C在平面上的射影為A、C，則設(shè)、之間的距離AACCa，且BA、DC分別為AB、CD在內(nèi)的射影在RtAAB中，AB13，則AB.在RtCCD中，CD5，則CD.又CD與AB相差為2，即ABCD2，a5，平面和之間的距離為5.二、填空題5在底面是直角梯形的四棱錐PABCD中，側(cè)棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，則AD到平面PBC的距離為_(kāi)答案解析由已知AB，AD，AP兩兩垂直以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，(2,0，2)，(0,2,0)，設(shè)平面PBC的法向量為n(a，b，c)，則n(1,0,1)，又(2,0,0)，d.簡(jiǎn)解：由題意易知AD平面PAB且AD平面PBC，取PB的中點(diǎn)H，則AH平面PBC且AHPB，故AD到平面PBC的距離為.6在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為1，則點(diǎn)B1到平面ABC1的距離為_(kāi)答案解析解法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，則，(0,1,0)，(0,1，1)，設(shè)平面ABC1的法向量為n(x，y,1)，則有解得n，則d.解法二：VB1ABC1VABB1C1，VABB1C1SBB1C1AB，又VB1ABC1SABC1h，SABC1AB，h.簡(jiǎn)解：由題意可知B1到平面ABC的距離等于C到平面ABC的距離由VC1ABCVCABC1知，h，即B1到平面ABC的距離為.三、解答題7如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)(1)證明：直線MN平面OCD；(2)求異面直線AB與MD所成角的大??；(3)求點(diǎn)B到平面OCD的距離解析方法1(綜合法)：(1)取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE，MEAB，ABCD，MECD又NEOC，MENEE，平面MNE平面OCD又MN平面MNE，MN平面OCD(2)CDAB，MDC為異面直線AB與MD所成的角(或其補(bǔ)角)作APCD于點(diǎn)P，連接MP，OA平面ABCD，CDMP，ADP，DP.MD，cosMDP，MDCMDP.所以，AB與MD所成角的大小為.(3)AB平面OCD，點(diǎn)B和點(diǎn)A到平面OCD的距離相等連接OP，過(guò)點(diǎn)A作AQOP于點(diǎn)Q.APCD，OACD，CD平面OAP，AQCD又AQOP，AQ平面OCD，線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離OP，APDP，AQ，所以，點(diǎn)B到平面OCD的距離為.方法2(向量法)：作APCD于點(diǎn)P，如圖，分別以AB、AP、AO所在直線為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，0)，D(，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1，0)(1)(1，1)，(0，2)，(，2)設(shè)平面OCD的法向量為n(x，y，z)，則n0，n0.即，取z，解得n(0,4，)n(1，1)(0,4，)0.又MN平面OCD，MN平面OCD(2)設(shè)AB與MD所成角為，(1,0,0)，(，1)，cos，.AB與MD所成角的大小為.(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為d，則d為在向量n(0,4，)上的投影的絕對(duì)值由(1,0，2)，得d.所以，點(diǎn)B到平面OCD的距離為.8(2014北京理)如圖，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2，B、C分別為AM、MD的中點(diǎn)在五棱錐PABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD、PC分別交于點(diǎn)G、H.(1)求證：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長(zhǎng)解析(1)在正方形AMDE中，因?yàn)锽是AM的中點(diǎn)，所以ABDE.又因?yàn)锳B平面PDE，所以AB平面PDE.因?yàn)锳B平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.(2)因?yàn)镻A底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)，(1,1,0)設(shè)平面ABF的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，則y1，所以n(0，1,1)設(shè)直線BC與平面ABF所成角為，則sin|cosn，|.因此直線BC與平面ABF所成角的大小為.設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(u，v，w)因?yàn)辄c(diǎn)H在棱PC上，所以可設(shè)(0<<1)，即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u(píng)2，v，w22，因?yàn)閚是平面ABF的法向量，所以n0，即(0，1,1)(2，22)0，解得，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為(，)所以PH2.