北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料【成才之路】高中數(shù)學(xué) 2.2.2拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)練習(xí) 北師大版選修1-1一、選擇題1頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，過(guò)點(diǎn)(2,3)的拋物線方程是()Ay2xBx2yCy2x或x2yDy2x或x2y答案D解析點(diǎn)(2,3)在第二象限，設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)或x22py(p>0)，又點(diǎn)(2,3)在拋物線上，94p，p，46p，p.2(2014山師大附中高二期中)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)恰好與橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則p()A1B2C4D8答案C解析橢圓中a29，b25，c2a2b24，c2，F(xiàn)1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F(，0)與F1重合，2，p4，故選C.3動(dòng)圓的圓心在拋物線y28x上，且動(dòng)圓恒與直線x20相切，則動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0，2)答案B解析圓心到直線x20的距離等于到拋物線焦點(diǎn)的距離，定點(diǎn)為(2,0)4拋物線y24x上點(diǎn)P(a,2)到焦點(diǎn)F的距離為()A1B2C4D8答案B解析點(diǎn)P(a,2)在拋物線上，4a4，a1，點(diǎn)P(1,2)又拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(1,0)，|PF|2.5P為拋物線y22px的焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)，A、B、P三點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離分別是|AA1|、|BB1|、|PP1|，則有()A|PP1|AA1|BB1|B|PP1|AB|C|PP1|>|AB|D|PP1|<|AB|答案B解析如圖，由題意可知|PP1|，根據(jù)拋物線的定義，得|AA1|AF|，|BB1|BF|，|PP1|AB|.6過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則A1FB1為()A45B60C90D120答案C解析設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)如圖，|AF|AA1|，|BF|BB1|，AA1FAFA1，BFB1FB1B.又AA1OxB1B，A1FOAF1A，B1FOFB1B，A1FB1AFB90.二、填空題7沿直線y2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2ax反射后，與x軸相交于點(diǎn)A(2,0)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)答案x2解析由拋物線的幾何性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行，及直線y2平行于拋物線的軸知A(2,0)為焦點(diǎn)，故準(zhǔn)線方程為x2.8一個(gè)正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2ax上，另一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，如果這個(gè)三角形的面積為36，則a_.答案2解析設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為x.由題意得，36x2sin60，x12.當(dāng)a>0時(shí)，將(6，6)代入y2ax，得a2.當(dāng)a<0時(shí)，將(6，6)代入y2ax，得a2，故a2.三、解答題9已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且與圓x2y24相交的公共弦長(zhǎng)等于2，求拋物線的方程答案y23x或y23x解析如圖，設(shè)所求拋物線的方程為y22px(p>0)或y22px(p>0)，設(shè)交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，則|y1|y2|2，即y1y22.由對(duì)稱性知y2y1，y1.將y1代入x2y24得x1，點(diǎn)(1，)、(1，)分別在拋物線y22px，y22px上32p或3(2p)(1)p.故所求拋物線的方程為y23x或y23x.10已知拋物線y2x與直線yk(x1)相交于A，B兩點(diǎn)(1)求證：OAOB；(2)當(dāng)OAB的面積等于時(shí)，求k的值答案(1)略(2)解析(1)如圖所示，由方程組，消去x得，ky2yk0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y21，y1y2.A，B在拋物線y2x上，yx1，yx2，yyx1x2.kOAkOB1，OAOB.(2)設(shè)直線與x軸交于N，顯然k0.令y0，則x1，即N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，SOAB1.SOAB，解得k.一、選擇題1拋物線yax2的準(zhǔn)線方程是y2，則a的值為()A.BC8D8答案B解析yax2x2y，由題意得2，a，故選B.2已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，y0)若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|OM|()A2B2C4D2答案B解析本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線定義的應(yīng)用等知識(shí)由于拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，y0)，可設(shè)方程為y22px，由點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距為3，則由拋物線定義得23，解得p2，則y24x，又M(2，y0)在拋物線y24x上，則y8，|OM|2.3(2014湖南省長(zhǎng)沙一中期中考試)已知拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作傾斜角為30的直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若(0,1)，則()A.BC.D答案C解析因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為(0，)，直線方程為yx，與拋物線方程聯(lián)立得x2pxp20，解方程得xAp，xBp，所以.故選C.4設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線有公共點(diǎn)，則此直線的斜率的取值范圍是()A，B2,2C1,1D4,4答案C解析準(zhǔn)線x2，Q(2,0)，設(shè)yk(x2)，由，得k2x24(k22)x4k20，當(dāng)k0時(shí)，x0，即交點(diǎn)為(0,0)；當(dāng)k0時(shí)，由0得，1k<0或0<k1，綜上，k的取值范圍是1,1，故選C.二、填空題5拋物線y24x的弦AB垂直于x軸，若AB的長(zhǎng)為4，則焦點(diǎn)F到AB的距離為_(kāi)答案2解析如圖所示，由于|AB|4，yA2，代入拋物線的方程，得x3，即xM3.由拋物線的方程y24x，知F(1,0)焦點(diǎn)F到AB的距離為2.6過(guò)點(diǎn)P(2,2)作拋物線y23x的弦AB，恰被P所平分，則AB所在的直線方程為_(kāi)答案3x4y20解析解法一：設(shè)以P為中點(diǎn)的弦AB端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有y3x1，y3x2，x1x24，y1y24.，得(y1y2)(y1y2)3(x1x2)將代入得y1y2(x1x2)，即，k.所求弦AB所在直線方程為y2(x2)，即3x4y20.解法二：設(shè)弦AB所在直線方程為yk(x2)2.由消去x，得ky23y6k60，此方程的兩根就是線段端點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得y1y2，又y1y24，k.所求弦AB所在直線方程為3x4y20.三、解答題7已知拋物線x24y，點(diǎn)P是此拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(12,6)，求點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到x軸的距離之和的最小值答案12解析將x12代入x24y得y36>6，點(diǎn)A在拋物線外部，拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線l：y1，過(guò)點(diǎn)P作PBl于B，交x軸于C，如上圖所示，則|PA|PC|PA|PB|1|PA|PF|1，要使|PA|PC|最小，只需P，A，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，此時(shí)，|PA|PF|AF|13.故|PA|PC|的最小值為12.8拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為135的直線，被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為8，試求拋物線方程答案y24x解析如圖所示，依題意設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，則直線方程為yxp.設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則由拋物線定義得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x28.又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線和直線的交點(diǎn)，由，消去y得x23px0，x1x23p.將其代入得p2，所求拋物線方程為y24x.當(dāng)拋物線方程設(shè)為y22px時(shí)，同理可求得拋物線方程為y24x.