北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料第二章綜合素質(zhì)檢測(cè)時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知拋物線C：y2x與直線l：ykx1，“k0”是“直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案B解析由(kx1)2x，得k2x2(2k1)x10，則當(dāng)k0時(shí)，(2k1)24k24k1>0，得k<且k0.故“k0”推不出“直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”，但“直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”能推出“k0”故選B.2若直線ykx1與雙曲線x2y24有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A1，1，B(，)(，)C，D(，1)，)答案A解析由得(1k2)x22kx50，所以1k20或，解得k1或k.3(2014洛陽市期末)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(，0)，直線yx與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則橢圓方程為()A.y21Bx21C.1D1答案C解析由橢圓過點(diǎn)(2,2)，排除A、B、D，選C.4(2015新課標(biāo)文，5)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y28x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|()A3B6C9D12答案B解析因?yàn)閥28x，拋物線方程為y22px，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，所以焦點(diǎn)為(2,0)因?yàn)镋右焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)重合，所以c2，設(shè)橢圓方程為1，離心率e，所以a4，b2a2c2164，則橢圓方程為1，拋物線準(zhǔn)線為x2，當(dāng)x2時(shí)，y3，則|AB|236.故本題正確答案為B.5(2015湖南文，6)若雙曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則此雙曲線的離心率為()A.BC.D答案D解析由題利用雙曲線的漸近線方程經(jīng)過的點(diǎn)(3，4)，得到a、b關(guān)系式，然后求出雙曲線的離心率即可因?yàn)殡p曲線1的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，3b4a，9(c2a2)16a2，e，故選D.6(2014寧夏銀川一中二模)從拋物線y24x上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則MPF的面積()A5B10C20D答案B解析設(shè)P(x0，y0)，則由拋物線定義知x015，x04故y04，所以SMPF5410.7已知a>b>0，e1，e2分別為圓錐曲線1和1的離心率，則lge1lge2()A大于0且小于1B大于1C小于0D等于1答案C解析lge1lge2lglglg<lglg10，lge1lge2<0.8探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口的直徑為60cm，燈深40cm，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是()Ay2xBy2xCx2yDx2y答案C解析如果設(shè)拋物線的方程為y22px(p>0)，則拋物線過點(diǎn)(40,30)，3022p40,2p，所以拋物線的方程應(yīng)為y2x，所給選項(xiàng)中沒有y2x，但方程x2y中的“2p”值為，所以選項(xiàng)C符合題意9(2014山東省煙臺(tái)市期末)若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線yx22相切，則此雙曲線的離心率等于()A2B3C.D9答案B解析由題意雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為yx，代入拋物線方程yx22整理得x2x20，因漸近線與拋物線相切，()280，即()28，此雙曲線的離心率e3.故選B.10已知橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1且傾斜角為45的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，對(duì)以下結(jié)論：ABF2的周長為8；原點(diǎn)到l的距離為1；|AB|.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A3B2C1D0答案A解析由橢圓的定義，得|AF1|AF2|4，|BF1|BF2|4，又|AF1|BF1|AB|，所以ABF2的周長|AB|AF2|BF2|8，正確；由條件，得F1(，0)，因?yàn)檫^F1且傾斜角為45的直線l的斜率為1，故直線l的方程為yx，原點(diǎn)到l的距離d1，故正確；由，消去y，得3x24x0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1x2，x1x20，所以|AB|，故正確二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上)11若拋物線y2mx與橢圓1有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，則m_.答案8解析橢圓焦點(diǎn)為(2,0)和(2,0)，因?yàn)閽佄锞€與橢圓有一個(gè)共同焦點(diǎn)，故m8.12已知雙曲線1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與該雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|5，則ABF1的周長為_答案26解析由雙曲線的定義，知|AF1|AF2|2a8，|BF1|BF2|8，|AF1|BF1|(|AF2|BF2|)16.又|AF2|BF2|AB|5，|AF1|BF1|16521.ABF1的周長為|AF1|BF1|AB|21526.13(2014哈三中二模)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y28x的準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則雙曲線的離心率為_答案解析拋物線y28x的準(zhǔn)線方程x2，交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，雙曲線的漸近線方程yx，即，e.14曲線x2(y1)24與直線yk(x2)4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_答案(，)解析由得(1k2)x22k(32k)x(32k)240，4k2(32k)24(1k2)(32k)2448k20.>0，即k>時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)15一個(gè)正三角形三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y24x上，其中一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這個(gè)三角形的面積為_答案48解析設(shè)ABC的頂點(diǎn)C在原點(diǎn)，則直線ABx軸，由得A(12,4)，B(12，4)，SABC81248.三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)16求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與雙曲線1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(6，)的雙曲線；(2)以橢圓3x213y239的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線y為漸近線的雙曲線答案(1)1(2)1解析(1)雙曲線1的焦點(diǎn)為(2，0)，設(shè)所求雙曲線方程為：1(20a2>0)又點(diǎn)(6，)在雙曲線上，1，解得a218或80(舍去)，所求雙曲線方程為1.(2)橢圓3x213y239可化為1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，所求雙曲線的焦點(diǎn)為(，0)，設(shè)雙曲線方程為：1(a>0，b>0)雙曲線的漸近線為yx，a28，b22，即所求的雙曲線方程為：1.17如圖是拋物線形拱橋，設(shè)水面寬|AB|18m，拱頂離水面的距離為8m，一貨船在水面上的部分的橫斷面為一矩形CDEF.若矩形的長|CD|9m，那么矩形的高|DE|不能超過多少m才能使船通過拱橋？答案6m解析如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，過O且平行于AB的直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系則B(9，8)，設(shè)拋物線方程為x22py(p>0)點(diǎn)B在拋物線上，812p(8)，p，拋物線的方程為x2y，當(dāng)x時(shí)，y2，|DE|6，當(dāng)矩形的高|DE|不超過6m時(shí)，才能使船通過拱橋18已知過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)求證：(1)x1x2為定值；(2)為定值證明(1)拋物線y22px的焦點(diǎn)為F(，0)，設(shè)直線AB的方程為yk(x)(k0)由消去y，得k2x2p(k22)x0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2(定值)當(dāng)ABx軸時(shí)，x1x2，x1x2，也成立(2)由拋物線的定義，知|FA|x1，|FB|x2.(定值)當(dāng)ABx軸時(shí)，|FA|FB|p，上式仍成立19(2014云南景洪市一中期末)設(shè)F1、F2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列(1)求|AB|.(2)若直線l的斜率為1，求b的值答案(1)(2)解析(1)求橢圓定義知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)l的方程為yxc，其中c設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組消去y化簡得(1b2)x22cx12b20.則x1x2，x1x2.因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以|AB|x2x1|即|x2x1|.則(x1x2)24x1x2，解得b.20已知雙曲線1的離心率e，過A(a,0)，B(0，b)的直線到原點(diǎn)的距離是.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線ykx5(k0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D，且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值答案(1)y21(2)解析(1)雙曲線的離心率e.過A，B的直線為1，即bxayab0.原點(diǎn)到直線AB的距離為，由，得b1.1.a23，雙曲線的方程為y21.(2)由，得(13k2)x230kx780.x1x2.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中點(diǎn)M(x0，y0)，則x0，y0kx05.MB的斜率kMB.x0ky0k0，即k0.解得k27，k.21在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說明理由答案(1)(2)k值不存在解析(1)由已知條件，直線l的方程為ykx，代入橢圓方程整理得x22kx10.直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，8k244k22>0，解得k<或k>.即k的取值范圍為.(2)設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)，由方程，x1x2.又y1y2k(x1x2)2.又A(，0)，B(0,1)，(，1)與共線，x1x2(y1y2)，將代入式，解得k.由(1)知k<或k>，故沒有符合題意的常數(shù)k.