北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料【成才之路】高中數(shù)學 第3章 2第2課時 最大值、最小值問題課時作業(yè) 北師大版選修2-2一、選擇題1函數(shù)f(x)x(1x2)在0,1上的最大值為()A BC D答案A解析f(x)xx3，f(x)13x2，令f(x)0得x(x舍去)，計算比較得最大值為f().2.一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10 km時燃料費是每小時6元 ，而其他與速度無關的費用是每小時96元，則此輪船的速度為_km/h航行時，能使行駛每公里的費用總和最小()A20B30C40D60答案A解析設船速為每小時x(x0)公里，燃料費為Q元，則Qkx3，由已知得：6k103，k，即Qx3.記行駛每公里的費用總和為y元，則y(x396)x2yx，令y0，即x0，解之得：x20.這就是說，該函數(shù)在定義域(0，)內(nèi)有唯一的極值點，該極值必有所求的最小值，即當船速為每小時20公里時，航行每公里的總費用最小，最小值為7.2元3已知函數(shù)f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()Am Bm>Cm Dm<答案A解析由f (x)2x36x20得，x0或x3，經(jīng)檢驗知x3是函數(shù)的一個最小值點，所以函數(shù)的最小值為f(3)3m，不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.4若函數(shù)f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍為()A1,1) B2,1)C2，1) D(2，)答案B解析由于f(x)x21 ，易知函數(shù)在(，1上遞減，在1,1上遞增，1，)上遞減，故若函數(shù)在(a,10a2)上存在最大值的條件為1a1或綜上可知a的取值范圍為2,1)5設直線xt與函數(shù)f(x)x2，g(x)lnx的圖像分別交于點M，N，則當|MN|達到最小時t的值為()A1 BC D答案D解析本小題考查內(nèi)容為導數(shù)的應用求函數(shù)的最小值令F(x)f(x)g(x)x2lnx，F(xiàn)(x)2x.令F(x)0，x，F(xiàn)(x) 在x處最小二、填空題6下列結(jié)論中正確的有_在區(qū)間a，b上，函數(shù)的極大值就是最大值；在區(qū)間a，b上，函數(shù)的極小值就是最小值；在區(qū)間a，b上，函數(shù)的最大值、最小值在xa和xb處取到；在區(qū)間a，b上，函數(shù)的極大(小)值有可能就是最大(小)值答案解析由函數(shù)最值的定義知，均不正確，正確故填.7函數(shù)f(x)ax44ax3b(a>0)在1,4上的最大值為3，最小值為6，則ab_.答案解析f(x)4ax312ax2(a>0，x1,4)由f(x)0，得x0(舍)，或x3，可得x3時，f(x)取得最小值為b27A又f(1)b3a，f(4)b，f(4)為最大值由解得ab.8.設函數(shù)f(x)ax33x1(xR)，若對于任意x1,1，都有f(x)0成立，則實數(shù)a的值為_答案4解析本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運用若x0，則不論a取何值，f(x)0顯然成立；當x>0即x(0,1時，f(x)ax33x10可化為a，設g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x) maxg4，從而a4；當x<0即x1,0，f(x)ax33x10可化為a，g(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增，因此g(x)ming(1)4，從而a4，綜上a4.三、解答題9.(2014江西理，18)已知函數(shù)f(x)(x2bxb)(bR)(1)當b4時，求f(x)的極值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，求b的取值范圍解析(1)當b4時，f(x)(x2)2的定義域為(，)，f (x)，由f (x)0得x2或x0.當x(，2)時，f (x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x(2,0)時，f (x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x(0，)時，f (x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故f(x)在x2取極小值f(2)0，在x0取極大值f(0)4.(2)f (x)，因為當x(0，)時，<0，依題意當x(0，)時，有5x(3b2)0，從而(3b2)0.所以b的取值范圍為(，10.(2014三峽名校聯(lián)盟聯(lián)考)時下，網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢，假設某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價格x(單位：元/套)滿足的關系式y(tǒng)4(x6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套(1)求m的值；(2)假設網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大(保留1位小數(shù))解析(1)因為x4時，y21，代入關系式y(tǒng)4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量y4(x6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤f(x)(x2)4(x6)2104(x6)2(x2)4x356x2240x278(2<x<6)，從而f (x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2<x<6)令f (x)0，得x，且在(0，)上，f (x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(，6)上，f (x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以x是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點，所以當x3.3時，函數(shù)f(x)取得最大值故當銷售價格為3.3元/套時，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.一、選擇題1給出下面四個命題：函數(shù)yx25x4，x1,1的最大值為10，最小值為；函數(shù)y2x24x1(2<x<4)的最大值為17，最小值為1；函數(shù)yx312x(3<x<3)的最大值為16，最小值為16；函數(shù)yx312x(2<x<2)無最大值，也無最小值其中正確的命題有()A1個 B2個C3個 D4個答案B解析正確2已知不等式對任意的正實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是()A(0,1 B(，1C0,2 D(0,2答案A解析令y，則y，可以驗證當y0即kxe，x時，ymax，又y對于x0恒成立，得k1又kx0，x0，k0，0k1.3.(2014江西文，10)在同一直角坐標系中，函數(shù)yax2x與ya2x32ax2xa(aR)的圖像不可能的是()答案B解析若a0時，兩函數(shù)分別為yx和yx，選項D此時合適，若a0時，設f1(x)ax2x，設f2(x)a2x32ax2xaf2(x)3a2x24ax1(3ax1)(ax1)，若a>0，易知f2(x)的極大值為f()a，極小值為f()a，而f1(x)圖象此時開口向上，對稱軸為x>0且f1()f1(0)，f2(0)a，A、C均適合(2)若a<0，f1(x)圖象開口向下，對稱軸為x<0 ，f()f1(0)<0，而f2()>a<0，比較知0>>a，也就是說當x時函數(shù)f2(x)圖象為極大值而此時f1(x)圖象對應的點應該在(，f2()上方，而B選項中顯然右下方，因而B不可能4以長為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為()A10 B15C25 D50答案C解析如圖，設NOB，則矩形面積S5sin25cos50sincos25sin 2，故Smax25.二、填空題5.已知函數(shù)yxf(x)的圖像如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，給出以下說法：函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)；函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上無單調(diào)性；函數(shù)f(x)在x處取得極大值；函數(shù)f(x)在x1處取得極小值其中正確的說法有_答案解析從圖像上可以發(fā)現(xiàn)，當x(1，)時，xf(x)>0 ，所以f(x)>0，故f(x)在(1，)上是增函數(shù)，正確；當x(1,1)時，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(1，1)上是減函數(shù)，所以，錯誤；當0<x<1時，f(x)在區(qū)間(0,1)上遞減，而在(1，)上遞增，故f(x)在x1處取極小值，故正確6.已知函數(shù)f(x)loga，當x1,4時，f(x)2恒成立，則a的取值范圍是_答案1a4解析要使得當x1,4時，f(x)2恒成立，只需保證當x1,4時，f(x)min2即可，因此問題轉(zhuǎn)化為先求函數(shù)f(x)loga在區(qū)間1,4上的最小值，再結(jié)合不等式求得a的取值范圍考慮到f(x)loga的導數(shù)不好求，可以先采用換元的辦法，利用導數(shù)法求出真數(shù)的最值，再考慮函數(shù)f(x)的最小值，但要注意對底數(shù)a加以討論令h(x)4x16，x1,4h(x)4，x1,4當1x2時，h(x)0，當2x4時，h(x)0.h(x)在1,2上是單調(diào)減函數(shù)，在2,4上是單調(diào)增函數(shù)，h(x)minh(2)32，h(x)maxh(1)h(4)36.當0a1時，有f(x)minloga36，當a1 時，有f(x)minloga32.當x1,4時，f(x)2恒成立，f(x)min2.滿足條件的a的值滿足下列不等式組：或不等式組的解集為空集，解不等式組得1a4.綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是：1a4.三、解答題7.(2014全國大綱，22)函數(shù)f(x)ln(x1)(a>1)討論f(x)的單調(diào)性；解析f(x)的定義域為(1，)，f(x).當1<a<2時，若x(1，a22a)，則f(x)>0，f(x)在(1，a22a)是增函數(shù)；若x(a22a,0)，則f(x)<0，f(x)在(a22a,0)是減函數(shù)；若x(0，)，則f(x)>0，f(x)在(0，)是增函數(shù)當a2時，f(x)0，f(x)0成立當且僅當x0，f(x)在(1，)是增函數(shù)當a>2時，若x(1,0)，則f(x)>0，f(x)在(1,0)是增函數(shù)；若x(0，a22a)，則f(x)<0，f(x)在(0，a22a)是減函數(shù)；若x(a22a，)，則f(x)>0，f(x)在(a22a，)是增函數(shù)8.設f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)討論g(x)與g()的大小關系；(3)求a的取值范圍，使得g(a)g(x)<對任意x>0成立分析(1)先求f(x)，寫出g(x)，對g(x)求導，g(x)>0求得增區(qū)間，g(x)<0求得減區(qū)間；(2)作差構(gòu)造函數(shù)h(x)g(x)g()，對h(x)求導，判定其單調(diào)性，進一步求出最值，與0比較大??；(3)利用(1)的結(jié)論求解解析(1)f(x)lnx，f(x)，g(x)lnx.g(x)，令g(x)0得x1，當x(0,1)時，g(x)<0，(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間當x(1，)時，g(x)>0.(1，)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間因此當x1時g(x)取極小值，且x1是唯一極值點，從而是最小值點所以g(x)最小值為g(1)1.(2)g()lnxx令h(x)g(x)g()2lnxx，h(x)，當x1時，h(1)0，即g(x)g()，當x(0,1)(1，)時h(x)<0，h(1)0，所以h(x)在(0，)單調(diào)遞減當x(0,1)時，h(x)>h(1)0，即g(x)>g()當x(1，)時，h(x)<h(1)0，即g(x)<g()綜上知，當x(0,1)時，g(x)>g()，當x1時，g(x)g()當x(1，)時，g(x)<g()(3)由(1)可知g(x)最小值為1，所以g(a)g(x)<對任意x>0成立等價于g(a)1<，即lna<1，解得0<a<e.所以a的取值范圍是(0，e)點評本題考查了求導公式、導數(shù)應用、不等式恒成立等知識以及分類計論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等