北師大版 2019-2020 學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 (時(shí)間：100 分鐘，滿分：120 分) 一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1已知向量 a、b，且ABa2b，BC5a6b，CD7a2b，則一定共線的三點(diǎn)是( ) AA、B、D BA、B、C CB、C、D DA、C、D 解析：選 A.BDBCCD2(a2b)2AB，B 為公共點(diǎn)， A、B、D 三點(diǎn)共線 2化簡PMPNMN所得的結(jié)果是( ) A.PM BNP C0 DMN 解析：選 C.PMPNMNNMMN0. 3若向量MA，MB，MC的起點(diǎn) M 和終點(diǎn) A，B，C 互不重合且無三點(diǎn)共線，則能使向量MA，MB，MC成為空間一組基底的關(guān)系是( ) A.OM13OA13OB13OC B.MAMBMC C.OMOAOBOC D.MA2MBMC 解析：選 C.對于選項(xiàng) A，由結(jié)論OMxOAyOBzOC(xyz1)M，A，B，C 四點(diǎn)共面知，MA，MB，MC共面；對于 B，D 選項(xiàng)，易知MA，MB，MC共面，故只有選項(xiàng) C中MA，MB，MC不共面 4 平行六面體ABCDA1B1C1D1中， 若AC1xAB2yBC3zC1C， 則xyz等于( ) A1 B76 C.56 D23 解析：選 B.在平行六面體中，AC1xAB2yBC3zC1CABBCCC1ABBCC1C. 比較系數(shù)知 x1，y12，z13， xyz76. 5已知兩個(gè)平面的一個(gè)法向量分別是 m(1，2，1)，n(1，1，0)，則這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角的余弦值為( ) A36 B36 C36或36 D33或33 解析：選 C.cosm，nm n|m|n|16 236， 由于兩平面所成角的二面角與m，n相等或互補(bǔ)故選 C. 6已知 a(2，1，2)，b(2，2，1)，則以 a、b 為鄰邊的平行四邊形的面積為( ) A. 65 B652 C4 D8 解析：選 A.cosa，ba b|a|b|43349， sina，b1492659， S|a|b|sina，b9659 65. 7在正方體 ABCD- A1B1C1D1中，棱長為 a，M，N 分別為 A1B，AC 的中點(diǎn)，則 MN 與平面 B1BCC1的位置關(guān)系是( ) A相交 B平行 C垂直 D不能確定 解析：選 B. 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， C1D1(0，a，0)為平面 B1BCC1的一個(gè)法向量， M(a，12a，12a)， N(12a，12a，a)， MN(12a，0，12a)， 由于C1D1MN0，且 MN平面 B1BCC1， MN平面 B1BCC1. 8 如圖，在ABC 中，ABBC4，ABC30，AD 是邊 BC 上的高，則ADAC的值等于( ) A0 B94 C4 D94 解析：選 C.在ABC 中，由余弦定理得，|AC|24242244cos 303216 3， |AC|2( 6 2)， cosCADcos AD， AC cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 306 24， 又 AD12AB2， ADAC|AD|AC|cosAD，AC4( 6 2)6 244，故選 C. 9在正方體 ABCD- A1B1C1D1中，直線 BC1與平面 A1BD 所成的角的正弦值是( ) A.24 B23 C.63 D32 解析：選 C. 以 D 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長為 1，則 D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1) DA1(1，0，1)，DB(1，1，0)，BC1(1，0，1) 設(shè) n(x，y，z)是平面 DA1B 的一個(gè)法向量， 則DA1n0，DBn0，即xz0，xy0， xyz. 令 x1，得 n(1，1，1) 設(shè)直線 BC1與平面 A1BD 所成的角為 ， 則 sin |cosn，BC1|n BC1|n|BC1|23 263. 10四棱錐 P- ABCD 中，四邊形 ABCD 為正方形，PA平面 ABCD，PAAB2，E，F(xiàn) 分別為 PB，PD 的中點(diǎn)，則 P 到直線 EF 的距離為( ) A1 B22 C.32 D62 解析：選 D.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 設(shè) AC 與 BD 的交點(diǎn)為 O，|PB|PD|， POBD， 又 O(1，1，0)， P 點(diǎn)到 BD 的距離為|PO| （10）2（10）2（02）2 6， 又 EF 綊12BD， P 到 EF 的距離為62. 二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分，把答案填在題中橫線上) 11已知向量 a(0，1，1)，b(4，1，0)，|ab| 29，且 0，則 _ 解析：ab(0，1，1)(4，1，0)(4，1，)，由已知得|ab|42（1）22 29，且 0，解得 3. 答案：3 12若 A(x，5x，2x1)，B(1，x2，2x)，當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，x 的值等于_ 解析：AB(1x，2x3，3x3)， 所以|AB|（1x）2（2x3）2（3x3）2 14x232x1914（x87）257， 當(dāng) x87時(shí)，|AB|取得最小值 答案：87 13已知 a(3，2，3)，b(1，x1，1)，且 a 與 b 的夾角為鈍角，則 x 的取值范圍是_ 解析：a b32(x1)32x4，由題意知 cosa，b(1，0)，即12x422 x22x30，解之得 x2 且 x53. 答案：(2，53)(53，) 14在三棱柱 ABC- A1B1C1中，各側(cè)面均為正方形，側(cè)面 AA1C1C 的對角線相交于點(diǎn) M，則 BM 與平面 AA1C1C 所成角的大小是_ 解析：法一：取 AC 的中點(diǎn) D，連接 BD，MD，由于 BD平面 AA1C1C，故BMD 即為所求直線與平面所成角，設(shè)三棱柱棱長為 a，其中 BD32a，DMa2， 故 tanBMDBDDM 3，解得BMD60. 法二：由題意知此三棱柱為各棱長均相等的正三棱柱，設(shè)棱長為 2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則 B( 3，1，0)，M(0，1，1)，BM( 3，0，1)， 取平面 ACC1A1的一個(gè)法向量 n(1，0，0)， cosBM，n 32132， 設(shè) BM 與平面 ACC1A1所成的角為 ， 則 sin 32，60. 答案：60 15.如圖所示，在棱長為 1 的正方體 ABCD- A1B1C1D1中，E，F(xiàn) 分別為棱 AA1，BB1的中點(diǎn)，G 為棱 A1B1上的一點(diǎn)，且 A1G(01)，則點(diǎn) G 到平面 D1EF 的距離為_ 解析：A1B1平面 D1EF， G 到平面 D1EF 之距等于 A1點(diǎn)到平面 D1EF 之距，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，F(xiàn)(1，1，12)，E(1，0，12)，設(shè)平面 D1EF 的法向量為 n(x，y，z)，由n EF0n ED10， 易求得平面 D1EF 的一個(gè)法向量 n(1，0，2)，A1E(0，0，12)， d|A1En|n| 55. 答案：55 三、解答題(本大題共 5 小題，共 55 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 16(本小題滿分 10 分)(2014 德州高二檢測)已知空間三點(diǎn) A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)，若向量 a 分別與向量AB，AC垂直，且|a| 3，求向量 a 的坐標(biāo) 解：AB(2，1，3)，AC(1，3，2)，設(shè) a(x，y，z)， 由題意知a AB0a AC0 x2y2z23，即2xy3z0 x3y2z0 x2y2z23， 解得x1y1z1或x1y1z1. a(1，1，1)或 a(1，1，1) 17(本小題滿分 10 分) 已知在空間四邊形 OABC 中，M，N 分別是對邊 OA，BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) G 在 MN 上，且MG2GN，如圖所示，記OAa，OBb，OCc，試用向量 a，b，c 表示向量OG. 解：ON12(bc)，OM12a，MN12b12c12a， MG2GN，MG23MN13b13c13a， OGOMMG12a13b13c13a16a13b13c. 18(本小題滿分 10 分)在正方體 ABCD- A1B1C1D1中，點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 是 AA1上靠近點(diǎn) A 的三等分點(diǎn)，在線段 DD1上是否存在一點(diǎn) G，使 CGEF？若存在，求出點(diǎn) G的位置，若不存在，說明理由 解： 存在 如圖所示， 建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正方體 ABCD- A1B1C1D1的棱長為 1，則 E(1，12，0)，F(xiàn)(1，0，13)，C(0，1，0)，假設(shè)在 DD1上存在一點(diǎn) G，使 CGEF，則CGEF，由于點(diǎn) G 在 z 軸上，設(shè) G(0，0，z)，EF(0，12，13)，CG(0，1，z) CGEF，CGEF，即(0，1，z)(0，12，13)， 00，112，z13，解得2，z23. 由于 z230，1，所以點(diǎn) G 在線段 DD1上，其坐標(biāo)為(0，0，23)， 故在線段 DD1上存在一點(diǎn) G，使 CGEF，點(diǎn) G 是 DD1上靠近點(diǎn) D1的三等分點(diǎn) 19(本小題滿分 12 分) 如圖，在三棱錐 P- ABC 中，PC底面 ABC，且ACB90，ACBCCP2. (1)求二面角 B- AP- C 的余弦值； (2)求點(diǎn) C 到平面 PAB 的距離 解：(1)如圖，以 C 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 則 C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2) 易得面 PAC 的法向量為 n1(1，0，0)， PA(0，2，2)，PB(2，0，2)， n2(x，y，z)為平面 PAB 的法向量， n2PA0n2PB0，即2y2z02x2z0. 可取 n2(1，1，1) cosn1，n2n1 n2|n1|n2|1333. 二面角 B- AP- C 的余弦值為33. (2)d|CAn2|n2|232 33， 點(diǎn) C 到平面 PAB 的距離為2 33. 20(本小題滿分 13 分) 已知在幾何體 A- BCED 中，ACB90，CE平面 ABC，平面 BCED 為梯形，且 ACCEBC4，DB1. (1)求異面直線 DE 與 AB 所成角的余弦值； (2)試探究在 DE 上是否存在點(diǎn) Q，使得 AQBQ，并說明理由 解：(1)由題知，CA，CB，CE 兩兩垂直，以 C 為原點(diǎn)，以 CA，CB，CE 所在直線分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 A(4，0，0)，B(0，4，0)，D(0，4，1)，E(0，0，4)， DE(0，4，3)，AB(4，4，0)， cosDE，AB2 25， 異面直線 DE 與 AB 所成角的余弦值為2 25. (2)設(shè)滿足題設(shè)的點(diǎn) Q 存在，其坐標(biāo)為(0，m，n)，則AQ(4，m，n)， BQ(0，m4，n)，EQ(0，m，n4)，QD(0，4m，1n) AQBQ，m(m4)n20， 點(diǎn) Q 在 ED 上，存在 R(0)使得EQQD， (0，m，n4)(0，4m，1n)，m41， n41. 由得41216（1）2， 28160，解得 4. m165，n85. 滿足題設(shè)的點(diǎn) Q 存在，其坐標(biāo)為0，165，85.