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2018-2019學年高二數學上學期期末考試試卷 文(含解析) (III) 一．選擇題（125分=60分） 1.一元二次不等式的解集是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 將不等式左邊因式分解，然后利用一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【詳解】不等式可因式分解為，對應一元二次方程的兩個根為，故不等式的解集為.故選C. 【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查二次三項式的因式分解，屬于基礎題. 2.已知函數，為的導函數，則的值為（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用乘法的求導法則對函數進行求導，將x=1代入導函數，求得正確選項. 【詳解】依題意fx=exlnx+exx，故f1=e，所以選B. 【點睛】本小題主要考查兩個函數相乘的導數的運算，考查基本初等函數的導數，屬于基礎題. 3.等比數列an的前n項和為Sn，且4a1， 2a2， a3成等差數列，若a1=1，則s4=（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 試題分析：設等比數列{an}的公比為q，4a1,2a2,a3成等差數列，則4a1+a3=4a2即4a1+a1q2=4a1q，解得q=2，a1=1，則S4=1?241?2=15； 考點：等比數列；等差中項； 4.ΔABC的內角A，B，C的對邊分別為，b，，已知b=2，B=π6，C=π4，則ΔABC的面積為（ ） A. 2+23 B. 3+1 C. 23?2 D. 3?1 【答案】B 【解析】 試題分析：根據正弦定理，，解得，，并且，所以 考點：1．正弦定理；2．面積公式． 【此處有視頻，請去附件查看】 5.設aab>b2 C. a2b2>ab 【答案】B 【解析】 【分析】 令a=?2,b=?1，計算a2,ab,b2的值，由此得出正確選項. 【詳解】令a=?2,b=?1，則a2=4,b2=1,ab=2故a2>ab>b2，所以選B. 【點睛】本小題主要考查不等式的基本性質，考查利用特殊值解法比較大小，屬于基礎題. 6.已知{an}為等差數列，且a7?2a4=?1，a3=0，則公差d=（ ） A. -2 B. ?12 C. 12 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用等差數列的通項公式，結合已知條件列出關于a1，d的方程組，求解即可． 【詳解】設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，由等差數列的通項公式以及已知條件得 a1+6d-2(a1+3d)=-1a1+2d=0，即a1=1a1+2d=0， 解得d=﹣12， 故選：B． 【點睛】本題考查了等差數列的通項公式，熟記公式是解題的關鍵，同時注意方程思想的應用． 7.設F1,F2是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，且F1F2=8,PF1+PF2=10,則ΔPF1F2面積的最大值為 ( ) A. 6 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】 根據F1F2=8,PF1+PF2=10，以及a2=b2+c2，計算出a,b,c的值.由于ΔPF1F2底邊F1F2長度一定，故高最高的時候取得最大值，高最高為b，由此求得三角形面積的最大值. 【詳解】根據F1F2=8,PF1+PF2=10可知2c=8,2a=10，故b2=a2?c2=9，所以b=3.由于ΔPF1F2底邊F1F2長度一定，故高最高的時候取得最大值，高最高為b=3，所以三角形面積的最大值為12?F1F2?b=12.故選B. 【點睛】本小題主要考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的定義，考查三角形面積的最大值的求法.屬于基礎題.在橢圓的有關概念中，橢圓的定義理解為橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為定值，也即是2a，焦距為2c，并且橢圓里面b2=a2?c2，這個條件經常用在求橢圓標準方程的題目上. 8.已知數列an為等差數列,bn為等比數列，且滿足：a2+a2018=π，b1?b2019=2，f(x)=cosx,f(x)為f(x)的導函數，則f(a1+a20191+b2?b2018)= （　 ） A. ?32 B. 12 C. 32 D. ?12 【答案】A 【解析】 【分析】 根據等差數列的性質求得a1+a2019，根據等比數列的性質求得b2?b2018，求得函數的導函數后，計算出相應的導數值. 【詳解】根據等差數列的性質由a1+a2019=a2+a2018=π，根據等比數列的性質有b2?b2018=b1?b2019=2.fx=?sinx.fa1+a20191+b2?b2018=fπ3=?sinπ3=?32.故本題選A. 【點睛】本小題主要考查等差數列的性質，考查等比數列的性質，考查基本初等函數的導函數以及導數的計算，屬于基礎題. 等差數列的性質是：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，若m+n=2q，則am+an=2aq.如果數列是等比數列，則數列的性質為：若m+n=p+q，則am?an=ap?aq，若m+n=2q，則am?an=aq2 9.已知雙曲線C：??x2a2?y2b2=1(a>0?，??b>0)的離心率為2，則點(4,0)到C的漸近線的距離為 A. 2 B. 2 C. 322 D. 22 【答案】D 【解析】 分析：由離心率計算出ba，得到漸近線方程，再由點到直線距離公式計算即可。 詳解：∵e=ca=1+(ba)2=2 ∴ba=1 所以雙曲線的漸近線方程為xy=0 所以點（4，0）到漸近線的距離d=41+1=22 故選D 點睛：本題考查雙曲線的離心率，漸近線和點到直線距離公式，屬于中檔題。 10.若x，y滿足x≤3，x+y≥2，y≤x， 則x + 2y的最大值為 A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 試題分析：如圖，畫出可行域， z=x+2y表示斜率為?12的一組平行線，當z=x+2y過點C3,3時，目標函數取得最大值zmax=3+23=9，故選D. 【名師點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃．解決此類問題的關鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數賦予幾何意義.求目標函數的最值的一般步驟為：一畫、二移、三求．常見的目標函數類型有：（1）截距型：形如z=ax+by.求這類目標函數的最值時常將函數z=ax+by轉化為直線的斜截式：y=?abx+zb，通過求直線的截距zb的最值間接求出的最值；（2）距離型：形如z=x?a2+y?b2；（3）斜率型：形如z=y?bx?a，而本題屬于截距形式. 11.以下判斷正確的是 （ ） A. 函數y=f(x)為R上的可導函數，則f(x0)=0是x0為函數f(x)極值點的充要條件 B. 若命題p∧q為假命題，則命題p與命題q均為假命題 C. 若a>b，則1a<1b的逆命題為真命題 D. 在ΔABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的充要條件 【答案】D 【解析】 【分析】 根據極值點的定義，判斷A選項是否正確.根據含有簡單邏輯聯(lián)結詞命題的真假，判斷B選項是否正確.寫出原命題的逆命題并判斷真假，由此得出C選項是否正確.根據三角形大角對大邊以及正弦定理，判斷D選項是否正確. 【詳解】對于A選項，由于導數為零的點不一定是極值點，故A選項錯誤.對于B選項，由于p∧q為假命題，則p,q至少有一個為假命題，故B選項錯誤.對于C選項，原命題的逆命題為“若1a<1b，則a>b”，顯然1?1<11，但是?1<1，故逆命題為假命題，所以C選項錯誤.對于D選項，根據三角形中大角對大邊，及正弦定理有a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB，所以D選項正確.故選D. 【點睛】本小題主要考查極值點的概念，考查含有簡單邏輯聯(lián)結詞命題真假性判斷，考查逆命題真假性的判斷，考查正弦定理以及充要條件等知識，屬于中檔題. 12.已知拋物線y2=4x，圓F:(x?1)2+y2=1，過點F作直線，自上而下順次與上述兩曲線交于點A,B,C,D（如圖所示），則AB?CD的值正確的是 ( ) A. 等于4 B. 最小值是1 C. 等于1 D. 最大值是4 【答案】C 【解析】 【分析】 當直線斜率不存在時，直線方程為x=1，代入拋物線和圓的方程，求得A,B,C,D四個點的坐標，由此求得AB?CD的值.當直線斜率存在時，設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，利用拋物線的定義和圓的半徑求得AB?CD的表達式，由此求得AB?CD的取值范圍，進而得出正確選項. 【詳解】當直線斜率不存在時，直線方程為x=1，代入拋物線方程和圓的方程，求得A,B,C,D的縱坐標分別為2,1,?1,?2，故AB?CD=11=1.當直線的斜率不存在時，設直線的方程為y=kx?1，代入拋物線方程并化簡得k2x2?2k2+4x+k2=0，xA?xB=1.根據拋物線的定義以及圓的半徑可知AB?CD=xA+p2?r?xB+p2?r x1?x2=x1x2=1.故選C. 【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查拋物線的幾何性質以及圓的性質，考查化歸與轉化的數學思想方法.屬于中檔題.由于題目所給直線沒有說明直線斜率是否存在，所以首先要對直線斜率分成斜率存在和斜率不存在兩種情況來討論.拋物線的定義在解有關過拋物線焦點的弦問題時，要重點考慮. 二．填空題（45=20分） 13.命題“? x0>?1,x02+x0?2019>0”的否定是_____. 【答案】?x>?1,x2+x?2019≤0 【解析】 【分析】 根據特稱命題的否定是全稱命題，寫出原命題的否定. 【詳解】原命題是特稱命題，故其否定是全稱命題，為“?x>-1,x2+x-2019≤0” 【點睛】本小題主要考查全稱命題與特稱命題，考查特稱命題的否定是全稱命題.屬于基礎題. 14.若雙曲線x2?y2m=1的離心率為3，則實數m=__________． 【答案】2 【解析】 a2=1,b2=m,e2=c2a2=a2+b2a2=1+m=3，m=2.漸近線方程是y=mx=2x. 15.若直線xa+yb=1(a＞0，b＞0)過點（1,2）,則2a+b的最小值為______. 【答案】8 【解析】 ∵1a+2b=1∴2a+b=(2a+b)(1a+2b)=4+ba+4ab≥4+2ba?4ab=8 ，當且僅當b=2a 時取等號. 點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤. 16.已知直線y=kx+b與曲線y=ax2+2019?lnx相切于點P1,2020，則b的值為____. 【答案】xx 【解析】 【分析】 將切點代入曲線方程求得，將切點代入直線方程，將切點橫坐標代入曲線對應函數的導函數，求得切線的斜率，由此列方程組，解方程組求得k,b的值. 【詳解】將點P坐標代入曲線方程得2020=a+2019,a=1，曲線方程為y=x2+2019?lnx，對應函數的導數為fx=2x?1x.依題意得2020=k+b2?11=k，解得k=1，b=2019. 【點睛】本小題主要考查函數導數與切線方程，考查待定系數法求曲線的解析式，屬于中檔題. 三．解答題（70分） 17.已知an是公差不為零的等差數列,a1=1,a1,a3,a9成等比數列. （1）求數列an的通項; （2）求數列bn=1anan+1的前n項和. 【答案】(1)an=n(2) nn+1 【解析】 分析：（1）由題設知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9 成等比數列，可得1+2d1?=1+8d1+2d，解出即可得出． (2) 1an?an+1=1n(n+1)=1n-1n+1，利用“裂項求和”即可求得Sn． 詳解： (1)由題設知公差d≠0， 由a1=1,???a1,???a3,??a9?成等比數列得1+2d1?=1+8d1+2d, 解得d＝1，d＝0(舍去)， 故{an}的通項an=1+(n-1)1=n. (2) ∵1an?an+1=1n(n+1)=1n-1n+1, ∴Sn=(11-12)+(12-13)+?+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1. 點睛：本題考查了“裂項求和”方法、等差數列與等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 18.?ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c. （1）求C； （2）若a=1,b=2，求c. 【答案】（1）π3（2）3 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化簡已知條件，求得cosC的值，由此求得C的大小.（2）利用余弦定理求得的值. 【詳解】由正弦定理得2cosCsinAcosB+sinBcosA=sinC，即2cosCsinA+B=sinC，即2cosCsinC=sinC，由于在三角形中sinC>0，故2cosC=1,cosC=12,C=π3.（2）由余弦定理得c=a2+b2?2abcosC=1+4?2=3. 【點睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查兩角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，屬于基礎題. 19.設A，B為曲線C：y=x24上兩點，A與B的橫坐標之和為4. （1）求直線AB的斜率； （2）設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，求M點的坐標及切線方程. 【答案】（1）1（2）M(2,1),y=x?1 【解析】 【分析】 （1）設出直線AB的方程，代入拋物線方程，化簡后寫出韋達定理，利用A,B橫坐標和為4列方程，求得直線AB的斜率.（2）令導數等于直線AB的斜率，解方程求得切點的橫坐標，進而求得切點坐標以及切線方程. 【詳解】（1）由于直線和開口向上的拋物線相交于兩點，故直線AB的斜率存在，設直線方程為y=kx+b，代入拋物線方程并整理得x2?4kx?4b=0，所以xA+xB=4k=4,k=1，即直線AB斜率為1.（1）依題意fx=x2=1,x=2，代入拋物線方程求得y=1，故切點坐標為2,1，且斜率為1，由點斜式得y?1=x?2，即y=x?1. 【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查利用導數求曲線的切點坐標以及切線方程，屬于中檔題. 20.設函數f(x)=x3+ax2?12x. （1）當a=0時，求f(x)的極值; （2）是否存在，使f(x)在R上恒為增函數，如存在，求出的范圍，如不存在，說明理由. 【答案】（1）當x=2時取極小值-16，當x=?2時取極大值16，（2）不存在 【解析】 【分析】 （1）當a=0時，利用導數求得函數的單調區(qū)間，由此求得函數的極值.（2）求得函數的導數，利用判別式判斷函數導數必定有減區(qū)間，由此判斷出不存在相應的值. 【詳解】（1）當a=0時，fx=x3?12x，fx=3x2?12=3x+2x?2，故函數在區(qū)間?∞,?2,2,+∞上遞增，在?2,2上遞減，所以當x=2時取得極小值為f2=?16，當x=?2時取得極大值f?2=16.（2）由于fx=3x2+2ax?12，其判別式Δ=4a2+144>0，故導函數圖像與x軸有兩個交點，原函數必有減區(qū)間，故不存在，使得fx為R上遞增函數. 【點睛】本小題主要考查利用函數導數求函數的單調區(qū)間以及極值，考查存在性問題的判斷，屬于中檔題. 21.已知橢圓M:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為63，焦距為22．斜率為k的直線與橢圓M有兩個不同的交點A,B． （1）求橢圓M的方程； （2）若過橢圓左焦點且k=1，求AB. 【答案】（1）x23+y2=1，（2）3 【解析】 【分析】 （1）利用離心率和焦距列方程組，結合a2=b2+c2，解方程組求得a,b的值，即求得橢圓方程.（2）求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡后寫出韋達定理，利用弦長公式求得弦長AB. 【詳解】（1）依題意得a2=b2+c2ca=632c=22，解得a2=3,b2=1,c2=2，所以橢圓方程為x23+y2=1.（2）由（1）知，橢圓左焦點坐標為?2,0，故直線的方程為y=x+2，代入橢圓方程并化簡得4x2+62x+3=0，x1+x2=?322,x1?x2=34，故AB=1+12??3222?434=3. 【點睛】本小題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓相交所得弦長公式的求法，屬于中檔題. 22.已知函數f(x)=lnxx． （1）求在處的切線方程； （2）求的單調區(qū)間. 【答案】（1）（2）在上遞增，在上遞減 【解析】 【分析】 （1）對函數求導后求得函數在點處切線的斜率，根據點斜式寫出切線方程.（2）求導后，根據導函數的正負，求得函數的遞減區(qū)間. 【詳解】函數的定義域為，.（1），由點斜式得切線方程為.（2）當時，，當時.故函數在上遞增，在上遞減. 【點睛】本小題主要考查除法的導數，考查切線方程的求法，考查利用導數求函數的單調區(qū)間，屬于基礎題.