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【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第8篇 能力提升練解析幾何

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【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練:第8篇 能力提升練解析幾何

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 能力提升練——解析幾何 (建議用時:90分鐘) 一、選擇題 1.(20xx山東省實驗中學(xué)診斷)已知兩條直線y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,則a等于 (  ). A.1或-3  B.-1或3 C.1或3  D.-1或3 解析 因為直線y=ax-2的斜率存在且為a,所以- (a+2)≠0,所以3x-(a+2)y+1=0的斜截式方程為y=x+,由兩直線平行,得=a且≠-2,解得a=1或a=-3. 答案 A 2.(20xx南昌模擬)橢圓+=1的焦距為 (  ). A.10  B.5  C.  D.2 解析 由題意知a2=16,b2=9,所以c2=a2-b2=16-9=7,所以c=,即焦距為2c=2. 答案 D 3.(20xx長沙模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,則弦AB的長等于 (  ). A.3  B.2  C.  D.1 解析 圓心到直線的距離d==1,弦AB的長l=2=2=2. 答案 B 4.(20xx武漢一模)已知圓C經(jīng)過A(5,2),B(-1,4)兩點,圓心在x軸上,則圓C的方程是 (  ). A.(x-2)2+y2=13 B.(x+2)2+y2=17 C.(x+1)2+y2=40 D.(x-1)2+y2=20 解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0),則|AC|=|BC|,即=,解得a=1,所以半徑r===2,所以圓C的方程是(x-1)2+y2=20. 答案 D 5.(20xx上饒模擬)設(shè)雙曲線-=1(a>0)的焦點為(5,0),則該雙曲線的離心率等于 (  ). A.  B.  C.  D. 解析 因為雙曲線的焦點為(5,0),所以c=5,又a2+9=c2=25,所以a2=16,a=4,所以離心率為e==. 答案 C 6.(20xx萍鄉(xiāng)一模)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點在直線x-2y-2=0上,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 (  ). A.x=-2  B.x=4 C.x=-8  D.y=-4 解析 拋物線的焦點坐標(biāo)為,代入直線x-2y-2=0方程,得-2=0,即p=4,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-=-=-2. 答案 A 7.(20xx鄭州模擬)以雙曲線-=1的右焦點為圓心且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是 (  ). A.(x-)2+y2=  B.(x-)2+y2=3 C.(x-3)2+y2=  D.(x-3)2+y2=3 解析 雙曲線的右焦點為(3,0),雙曲線的漸近線為y=x,不妨取漸近線y=x,即x-2y=0,所以圓心到漸近線的距離等于圓的半徑,即r====.所以圓的方程為(x-3)2+y2=3. 答案 D 8.(20xx萍鄉(xiāng)一模)若拋物線y2=2px的焦點與橢圓+=1的右焦點重合,則p的值為 (  ). A.-2  B.2  C.-4  D.4 解析 拋物線的焦點坐標(biāo)為,橢圓的右焦點為(2,0),所以由=2,得p=4. 答案 D 9.(20xx杭州模擬)已知兩點M(-5,0)和N(5, 0),若直線上存在點P,使|PM|-|PN|=6,則稱該直線為“R型直線”.給出下列直線:①y=x+1;②y=2;③y=x;④y=2x+1,其中為“R型直線”的是 (  ). A.①②  B.①③  C.①④  D.③④ 解析 由題意可知,點P的軌跡是在雙曲線的右支上,其中2a=6,a=3,c=5,所以b2=c2-a2=16.所以雙曲線方程為-=1(x>0).顯然當(dāng)直線y=x+1與y=2和雙曲線的右支有交點,所以為“R型直線”的是①②. 答案 A 10.(20xx鎮(zhèn)安中學(xué)模擬)已知拋物線y2=4px(p>0)與雙曲線-=1(a>0,b>0)有相同的焦點F,點A是兩曲線的交點,且AF⊥x軸,則雙曲線的離心率為 (  ). A.  B.+1  C.+1  D. 解析 依題意,得F(p,0),因為AF⊥x軸,設(shè)A(p,y),y>0,y2=4p2,所以y=2p.所以A(p,2p).又點A在雙曲線上,所以-=1.又因為c=p,所以-=1,化簡,得c4-6a2c2+a4=0,即4-62+1=0.所以e2=3+2,e=+1. 答案 B 二、填空題 11.(20xx蘭州一模)已知拋物線x2=4y上一點P到焦點F的距離是5,則點P的橫坐標(biāo)是________. 解析 由拋物線定義知,yP+1=5,即yP=4,所以有x=16,解得xP=4. 答案 4 12.(20xx上海卷)設(shè)AB是橢圓Γ的長軸,點C在Γ上,且∠CBA=.若AB=4,BC=,則Γ的兩個焦點之間的距離為________. 解析 設(shè)D在AB上,且CD⊥AB,AB=4,BC=,∠CBA=45,所以有CD=1,DB=1,AD=3,所以有C(1,1),把C(1,1)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得+=1,a2=b2+c2且2a=4,解得,b2=,c2=,則2c= . 答案  13.(20xx安徽卷)已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點.若該拋物線上存在點C,使得∠ACB為直角,則a的取值范圍為________. 解析 以AB為直徑的圓的方程為x2+(y-a)2=a. 由得y2+(1-2a)y+a2-a=0, 即(y-a)[y-(a-1)]=0.由已知解得a≥1. 答案 [1,+∞) 14.(20xx長安一中模擬)若雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1和F2,線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點分成5∶3兩段,則此雙曲線的離心率為________. 解析 拋物線的焦點坐標(biāo)為,由題意知 =,c=2b,所以c2=4b2=4(c2-a2),即4a2=3c2,所以2a=c,所以e===. 答案  三、解答題 15.(20xx廣東卷)已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點. (1)求拋物線C的方程; (2)當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程. 解 (1)依題意,設(shè)拋物線C的方程為x2=4cy, 則=,c>0,解得c=1. 所以拋物線C的方程為x2=4y. (2)拋物線C的方程為x2=4y, 即y=x2, 求導(dǎo)得y′=x,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則切線PA,PB的斜率分別為x1,x2, 所以切線PA的方程為y-y1=(x-x1), 即y=x-+y1, 即x1x-2y-2y1=0. 同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0, 又點P(x0,y0)在切線PA和PB上, 所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0, 所以(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x-2y0-2y=0 的兩組解, 所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0. 16.(20xx新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程; (2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當(dāng)圓P的半徑最長時,求|AB|. 解 (1) 設(shè)圓P的半徑為r,則|PM|=1+r,|PN|=3-r,∴|PM|+|PN|=4>|MN|,∴P的軌跡是以M,N為焦點的橢圓(左頂點除外),且2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3. ∴P的軌跡曲線C的方程為+=1(x≠-2). (2)由(1)知2r=(|PM|-|PN|)+2≤|MN|+2=4, ∴圓P的最大半徑為r=2.此時P的坐標(biāo)為(2,0). 圓P的方程為(x-2)2+y2=4. ①當(dāng)l的傾斜角為90,方程為x=0時,|AB|=2, ②當(dāng)l的傾斜角不為90, 設(shè)l的方程為y=kx+b(k∈R), 解得或∴l(xiāng)的方程為y=x+,y=-x-.聯(lián)立方程化簡得7x2+8x-8=0,∴x1+x2=-,x1x2=-, ∴|AB|==. 當(dāng)k=-時,由圖形的對稱性可知|AB|=. 綜上,|AB|=2或. 17.(20xx東北三校聯(lián)考)如圖,已知點E(m,0)(m>0)為拋物線y2=4x內(nèi)一個定點,過E作斜率分別為k1,k2的兩條直線交拋物線于點A,B,C,D,且M,N分別是AB,CD的中點. (1)若m=1,k1k2=-1,求△EMN面積的最小值; (2)若k1+k2=1,求證:直線MN過定點. 解 (1)當(dāng)m=1時,E為拋物線y2=4x的焦點, ∵k1k2=-1,∴AB⊥CD. 設(shè)直線AB的方程為y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 由得k1y2-4y-4k1=0, y1+y2=,y1y2=-4. ∵M(jìn),∴M, 同理,點N(2k+1,-2k1), ∴S△EMN=|EM||EN|==2≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)k=,即k1=1時,△EMN的面積取得最小值4. (2)設(shè)直線AB的方程為y=k1(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2), 由得k1y2-4y-4k1m=0, y1+y2=,y1y2=-4m, ∵M(jìn),∴M, 同理,點N, ∴kMN==k1k2. ∴直線MN的方程為 y-=k1k2,即y=k1k2(x-m)+2, ∴直線MN恒過定點(m,2). 18.(20xx山東卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C的中心在原點O,焦點在x軸上,短軸長為2,離心率為. (1)求橢圓C的方程; (2)A,B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點,E為線段AB的中點,射線OE交橢圓C于點P.設(shè)=t,求實數(shù)t的值. 解 (1)設(shè)橢圓C的方程為:+=1(a>b>0), 由題意知解得a=,b=1,因此橢圓C的方程為+y2=1. (2)(ⅰ)當(dāng)A,B兩點關(guān)于x軸對稱時,設(shè)直線AB的方程為x=m,由題意得-<m<0或0<m<. 將x=m代入橢圓方程+y2=1,得|y|=, 所以S△AOB=|m|=. 解得m2=或. ① 又=t=t(+)=t(2m,0)=(mt,0), 因為P為橢圓C上一點,所以=1. ② 由①②,得t2=4或. 又因為t>0,所以t=2或. (ⅱ)當(dāng)A,B兩點關(guān)于x軸不對稱時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+h, 將其代入橢圓的方程+y2=1,得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由判別式Δ>0可得1+2k2>h2, 此時x1+x2=-,x1x2=, y1+y2=k(x1+x2)+2h=. 所以|AB|= =2. 因為點O到直線AB的距離d=. 所以S△AOB=|AB|d =2. =|h|. 又S△AOB=, 所以|h|=. ③ 令n=1+2k2,代入③整理得3n2-16h2n+16h4=0. 解得n=4h2或h2, 即1+2k2=4h2或1+2k2=h2. ④ 又=t=t(+)=t(x1+x2, y1+y2)=. 因為P為橢圓C上一點, 所以t2=1, 即t2=1.⑤ 將④代入⑤得t2=4或, 又知t>0,故t=2或, 經(jīng)檢驗,適合題意. 綜合(ⅰ)(ⅱ)得t=2或

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