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2018-2019學年高二數(shù)學上學期期末考試試卷 理(含解析) (I) 一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.雙曲線的焦點坐標為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 雙曲線中，且焦點在y軸上， 所以，解得. 所以雙曲線的焦點坐標為. 故選C. 2.已知命題，，則命題的否定為（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)全程命題的否定是特稱命題，這一規(guī)則書寫即可. 【詳解】全稱命題“?n∈N?，n2>12n?1”的否定為特稱命題，故命題的否定為“?n∈N?，n2≤12n?1”. 故答案為：A. 【點睛】這個題目考查了全稱命題的否定的寫法，換量詞否結論，不變條件. 3.經(jīng)過點2,4的拋物線的標準方程為（ ） A. y2=8x B. x2=y C. y2=8x或x2=y D. 無法確定 【答案】C 【解析】 【分析】 分情況設出拋物線的方程，代入已知點即可得到具體方程。 【詳解】由題設知拋物線開口向右或開口向上，設其方程為y2=2pxp>0或x2=2pyp>0，將點2,4代入可得p=4或p=12，所以所求拋物線的標準方程為y2=8x或x2=y. 故選C. 【點睛】這個題目考查了拋物線方程的求法，可成為待定系數(shù)法，較為基礎. 4.已知空間向量m=1,3,x，n=x2,?1,2，則“x=1”是“m⊥n”的（ ） A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)向量垂直的點積運算得到x的值，進而得到結果. 【詳解】∵m⊥n，∴x2+2x?3=0，∴x=1或-3.故x=1是m⊥n的充分不必要條件. 故答案為：B. 【點睛】這個題目考查了向量垂直的坐標表示，也考查了充分必要條件的判斷，題目基礎. 判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系． 5.已知ΔMAB的周長為10，且A?2,0，B2,0，則頂點M的軌跡方程為（ ） A. x29+y25=1 B. y29+x25=1 C. y29+x2=1 D. x29+y25=1y≠0 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)橢圓定義可得到軌跡是橢圓，又因為三點不共線故去掉兩個點. 【詳解】由題6>4，故點M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，2a=6，c=2，故b2=a2?c2=5，故橢圓x29+y25=1的方程為，又M,A,B不共線，所以M的軌跡方程為x29+y25=1y≠0 .故選D. 【點睛】求軌跡方程，一般是問誰設誰的坐標然后根據(jù)題目等式直接求解即可，而對于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉化為等式，例如NA?NB=0，可以轉化為向量坐標進行運算也可以轉化為斜率來理解，然后借助韋達定理求解即可運算此類題計算一定要仔細. 6.若命題p:“?x0∈R,x02?ax0+1≤0”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. ?2,2 B. ?∞,?2∪2,+∞ C. ?2,2 D. ?∞,?2∪2,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)題干得到需滿足Δ=a2?4≥0，解出不等式即可. 【詳解】命題p:“?x0∈R,x02?ax0+1≤0”是真命題，則需滿足Δ=a2?4≥0，解得a≥2或a≤?2. 故選B. 【點睛】這個題目考查了已知命題的真假，求參的問題.涉及二次函數(shù)在R上有解的問題，開口向上，只需要判別式大于等于0即可. 7.已知雙曲線C:x2a2?y220=1a>0的一條漸近線方程為5x+2y=0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左，右焦點，點P在雙曲線C上，且PF1=9，則PF2=（ ） A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)漸近線的斜率為ba得到a值，再由雙曲線定義得到結果. 【詳解】依題意，有25a=52，所以a=4.因為PF1=9，所以點P在雙曲線的左支上，故有PF2?PF1=2a，解得PF2=17. 故選B. 【點睛】這個題目考查了雙曲線的標準方程的應用和概念的應用，較為簡單. 8.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線B1C1與平面AB1D1所成角的正弦值為（ ） A. 13 B. 223 C. 33 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】 通過題干條件得到面的法向量，BC//B1C1，求法向量和BC的夾角即可. 【詳解】由題知，A1C為平面AB1D1的一個法向量，又因為BC//B1C1，所以cos∠BCA1=1+3?223=33. 故答案為：C. 【點睛】求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可。 9.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=3x,它的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上，則雙曲線的方程為 A. x236?y2108=1 B. x29?y227=1 C. x2108?y236=1 D. x227?y29=1 【答案】B 【解析】 試題分析：由漸近線是y=3x得ba=3，拋物線y2=24x的準線為x=?6，∴a2+b2=36 ∴a2=9,b2=27，方程為x29?y227=1 考點：雙曲線標準方程及性質 點評：雙曲線拋物線幾何性質的綜合考查 10.已知命題p1:?x∈R，使得x2+x+1<0；p2:?x∈[1,2]，使得x2?1≥0．以下命題為真命題的為 A. p1∧p2 B. p1∨p2 C. p1∧p2 D. p1∧p2 【答案】D 【解析】 ∵Δ=(?1)2?4=?3<0,∴x2+x+1<0的解集為空集，故命題p1為假命題，p1 為真命題；∵x2?1≥0,∴x≥1或x≤1, ∴?x∈[1,2]，使得x2?1≥0恒成立，故p2為真命 題，p2為假命題；因p1為真命題，p2為真命題，故p1∧p2為真命題，答案為C。 11.如圖，在三棱錐C?OAB中，OA⊥OB，OC⊥平面OAB，OA=6，OB=OC=8，CE=14CB，D,F分別為AB,BC的中點，則異面直線DF與OE所成角的余弦值為（ ） A. 1010 B. 61025 C. 3030 D. 3020 【答案】B 【解析】 【分析】 建立空間坐標系，求得兩直線的方向向量即可得到夾角. 【詳解】以OA,OB,OC為單位正交基底建立空間直角坐標系Oxyz，則D3,4,0，F(xiàn)0,4,4，E0,2,6，DF=?3,0,4，OE=0,2,6，∴cos=DF?OEDF?OE=245?210=61025，∴異面直線DF與OE所成角的余弦值為61025. 故選B. 【點睛】這個題目考查的是異面直線的夾角的求法；常見方法有：將異面直線平移到同一平面內，轉化為平面角的問題；或者證明線面垂直進而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線垂直的時候. 12.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，上頂點為B，過橢圓C的右焦點作x軸的垂線交直線AB于點D，若直線OD的斜率是直線AB的斜率的k(k>4)倍，其中，O為坐標原點，則橢圓C的離心率的取值范圍為（ ） A. (14,1) B. (0,14) C. (13,1) D. (0,13) 【答案】D 【解析】 由題意得直線AB的方程為y=ba(x+a)，當x=c時，y=b+bca，所以點D的坐標為 (c,b+bca)。因此直線OD的斜率為ab+bcac，由題意得ab+bcac=k?ba，整理得k=a+cc>4，∴a>3c，故e=ca<13，所以01，則x>1”，在其逆命題，否命題，逆否命題中，真命題的個數(shù)是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】 根據(jù)原命題和逆否命題真假性相同可得到逆否命題的真假；寫出命題的否命題和逆命題可得到其真假性. 【詳解】易知命題“若x2>1，則x>1”為假命題，故其逆否命題也為假命題；逆命題為“若x>1，則x2>1”是真命題；否命題為“若x2≤1，則x≤1”，也為真命題. 故答案為：2. 【點睛】這個題目考查了命題的逆否命題和逆命題，和否命題的書寫以及真假的判斷，否命題既否條件又否結論，命題的否定是只否結論. 14.已知平面α的一個法向量為n=?2,?1,3，M3,2,?1，N4,4,1，其中M∈α，N?α，則點N到平面α的距離為__________． 【答案】147 【解析】 【分析】 根據(jù)點面距離公式,再由向量的坐標運算得到結果即可. 【詳解】MN=1,2,2，平面α的法向量為n=?2,?1,3， 故所求距離d=MNnn=214=147. 故答案為：147. 【點睛】這個題目考查了點面距離的求法，方法一可以同這個題目一樣建系解決；方法二可以通過等體積法得到點面距離；方法三，如果題中條件有面面垂直的條件，可由點做面的垂線，垂足落在交線上. 15.若雙曲線x2a2?y2b2=1的一個焦點到一條漸近線的距離為2a，則雙曲線的離心率為__________． 【答案】5 【解析】 【分析】 雙曲線焦點到漸近線的距離為b，b=2a，再由a,b,c的關系得到離心率. 【詳解】雙曲線焦點到漸近線的距離為b，∴b=2a，∴b2=4a2，∴c2?a2=4a2，∴5a2=c2，∴e=5. 故答案為：5. 【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a,b,c的齊次式，結合b2=c2?a2轉化為a,c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或a2轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍). 16.已知曲線l1:x?y+3=0，直線l2:x=?3，則拋物線x=18y2上一個動點P到直線l1的距離與它到直線l2的距離之和的最小值為__________． 【答案】522+1 【解析】 【分析】 根據(jù)拋物線的定義得到，點P到直線l2的距離等于PF+1，所以點P到直線l1與到直線l2的距離之和等于P到直線l1的距離與PF+1之和。 【詳解】拋物線的標準方程為y2=8x，焦點F2,0，所以點P到直線l2的距離等于PF+1，所以點P到直線l1與到直線l2的距離之和等于P到直線l1的距離與PF+1之和，其最小值為12?10+312+12+1=522+1. 故答案為：522+1. 【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質．解題的關鍵是利用了拋物線的定義。一般和拋物線有關的小題，很多時可以應用結論來處理的；平時練習時應多注意拋物線的結論的總結和應用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關，實現(xiàn)點點距和點線距的轉化. 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知雙曲線C的中心在原點，對稱軸為坐標軸，根據(jù)下列條件分別求雙曲線C的標準方程. （1）漸近線方程為y=53x，且過點3,10； （2）與雙曲線x2?y2=1的離心率相同，與x25+y2=1共焦點. 【答案】（1）y275?x227=1；（2）x22?y22=1 【解析】 【分析】 （1）設出雙曲線的方程，代入已知點即可得到方程；（2）根據(jù)題意得到雙曲線C的離心率為2，焦點為-2,0，2,0，由a2+b2=4，a2+b2a=2，即可得到參數(shù)值. 【詳解】（1）設雙曲線的方程為x29-y225=λλ≠0， 將點3,10代入可得99-10025=-3=λ，故雙曲線的方程為x29-y225=-3， 故雙曲線C的方程為y275-x227=1. （2）由題意可知雙曲線C的離心率為2，焦點為-2,0，2,0，所以可設雙曲線C的標準方程為x2a2-y2b2=1a>0,b>0，則a2+b2=4，a2+b2a=2，解得a2=b2=2， 所以雙曲線C的標準方程為x22-y22=1. 【點睛】這個題目考查了雙曲線的標準方程的求法，一般需要求出a,b，c的關系式，再由三者的關系式a2+b2= c2得到參數(shù)值. 18.已知關于x的不等式x+24-x≥0的解為條件p，關于x的不等式x2-3x-m2-m+2<0m>0的解為條件q. （1）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍； （2）若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍. 【答案】（1）0,2；（2）3,+∞ 【解析】 【分析】 (1)先解出命題p，q所對應的集合A和B，再由p是q的必要不充分條件，得到集合B是集合A的真子集，列式求解即可；（2）p是q的必要不充分條件，則集合A是集合B的真子集，所以1-m<-2,m+2>4,m>0,求解即可. 【詳解】（1）設條件p對應的集合為A，則A=x|-2≤x≤4， 設條件q對應的集合為B，則B=x|1-m0, 解得04,m>0, 解得m>3，所以實數(shù)m的取值范圍是3,+∞. 【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應用，根據(jù)不等式的關系是解決本題的關鍵．P是q的充分非必要條件，則p所對應的解集是q所對應的解集的真子集. 19.如圖，在底面為矩形的四棱錐P?ABCD中，PB⊥AB. （1）證明：平面PBC⊥平面PCD； （2）若異面直線PC與BD所成角為60°，PB=AB，PB⊥BC，求二面角B?PD?C的大小. 【答案】(1)證明見解析；(2) 60°. 【解析】 試題分析： (1)由題意結合幾何關系可證得CD⊥平面PBC，結合面面垂直的判斷定理即可證得平面PBC⊥平面PCD. (2)建立空間直角坐標系，結合半平面的法向量可得二面角B-PD-C的大小是60°. 試題解析： （1）證明：由已知四邊形ABCD為矩形，得AB⊥BC， ∵PB⊥AB，PB∩BC=B，∴AB⊥平面PBC. 又CD//AB，∴CD⊥平面PBC. ∵CD?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD. （2）解：以B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz. 設PB=AB=1，BC=a(a>0)，則B(0,0,0)，C(0,0,a)，P(1,0,0)，D(0,1,a)， 所以PC=(-1,0,a)，BD=(0,1,a)，則|PC?BD|PC||BD||=cos60°，即a21+a2=12， 解得a=1（a=-1舍去）. 設n=(x1,y1,z1)是平面PBD的法向量，則n?BP=0n?BD=0，即x1=0y1+z1=0， 可取n=(0,1,-1). 設m=(x2,y2,z2)是平面PCD的法向量，則m?PD=0m?CD=0即-x2+y2+z2=0y2=0， 可取m=(1,0,1)，所以cos=n?m|n||m|=-12， 由圖可知二面角B-PD-C為銳角，所以二面角B-PD-C的大小為60°. 20.已知拋物線x2=2pyp>0，焦點到準線的距離為4. （1）求拋物線的方程； （2）若拋物線上存在兩點關于直線y=2x+m對稱，且兩點的橫坐標之積為2，求m的值. 【答案】（1）x2=8y；（2）194 【解析】 【分析】 (1)根據(jù)題干得到p=4，進而得到方程；（2）設存在兩點分別為Ax1,y1，Bx2,y2，則根據(jù)對稱性得到直線AB的斜率為-12，代入AB的中點坐標得到18x1+x22-2x1x2=2x1+x2+2m，再由兩根的和與積得到參數(shù)值. 【詳解】（1）由題意可得拋物線的焦點到準線的距離為p，∴p=4. ∴拋物線方程是x2=8y. （2）設存在兩點分別為Ax1,y1，Bx2,y2，則直線AB的斜率k=y1-y2x1-x2=-12， 又∵A,B兩點在拋物線上， ∴y1-y2=18x12-x22， ∴x1+x2=-4. 又AB的中點x1+x22,y1+y22在直線y=2x+m上， 即y1+y22=2?x1+x22+m， ∴y1+y2=2x1+x2+2m. ∴18x12-x22=2x1+x2+2m， 即18x1+x22-2x1x2=2x1+x2+2m. 又∵x1+x2=-4，x1?x2=2， ∴m=194. 【點睛】當題目中已知直線與圓錐曲線相交和被截的線段的中點坐標時，可以設出直線和雙曲線的兩個交點坐標，代入圓錐曲線的方程中，運用點差法，求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程．（2）“點差法”的常見題型有：求中點弦方程、求（過定點、平行弦）弦中點軌跡、垂直平分線問題． 21.如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，點E,F,G分別為AB,AD,PC的中點. （1）求證：PC⊥平面EFG； （2）求二面角E?PC?F的余弦值. 【答案】（1）見解析；（2）12 【解析】 【分析】 （1）建立空間坐標系得到直線的方向向量和面的法向量，證得兩個向量垂直，即可得到線面垂直；（2）求兩個面的法向量，求解兩個法向量的夾角或其補角，即二面角的大小。 【詳解】（1）證明：以AB,AD,AP為一組正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，設A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0，P0,0,2，D0,2,0，E1,0,0，F(xiàn)0,1,0，G1,1,1， ∴GE=0,-1,-1，GF=-1,0,-1，PC=2,2,-2. ∴GE?PC=02+-12+-1-2=0， ∴GE⊥PC. 又∵GE∩GF=G， ∴PC⊥平面EFG. （2）解：∵PE=1,0,-2，EC=1,2,0，PF=0,1,-2，CF=-2,-1,0. 設平面PEC的一個法向量為n1=x1,y1,z1， ∴n1?PE=0,n1?EC=0, ∴x1-2z1=0,x1+2y1=0,即z1=12x1,y1=-12x1,取x1=2，n1=2,-1,1. 設平面PCF的一個法向量為n2=x2,y2,z2， ∴n2?PF=0,n2?CF=0, ∴x2-2z2=0,-2x2-y2=0,即z2=y22,x2=-y22,取y2=2， 則n2=-1,2,1. 設二面角E-PC-F的平面角為， ∴cosθ=n1?n2n1n2=36?6=12. ∵θ∈0,π2，∴cosθ=12. 【點睛】傳統(tǒng)方法求線面角和二面角，一般采用“一作，二證、三求”三個步驟，首先根據(jù)二面角的定義結合幾何體圖形中的線面關系作出線面角或二面角的平面角，進而求出；而角的計算大多采用建立空間直角坐標系，寫出向量的坐標，利用線面角和二面角公式，借助法向量求空間角. 22.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為32，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為6. （1）求橢圓C的方程. （2）過橢圓左頂點的兩條斜率之積為?14的直線分別與橢圓交于M,N點.試問直線MN是否過某定點？若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由. 【答案】（1）x212+y23=1；（2）見解析 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)題意得到ca=32,c=3,解得a=23，再由a,b,c的關系得到結果；（2）設出直線AM，聯(lián)立直線和橢圓，表示出點M的坐標，設直線AN的斜率為k，則kk=-14，即k=-14k，把點M坐標中k的替換為-14k，得到點N的坐標，利用兩點坐標表示出直線MN即可得到直線過定點. 【詳解】（1）由題意知ca=32,c=3,解得a=23. 又∵a2=b2+c2， ∴b2=3， ∴橢圓方程為x212+y23=1. （2）設左頂點A-23,0，根據(jù)已知得直線AM,AN的斜率存在且不為零， 設AM:y=kx+23，代入橢圓方程，得1+4k2x2+163k2x+48k2-12=0， 設Mx1,y1，則-23x1=48k2-121+4k2，即x1=23-83k21+4k2，y1=kx1+23=43k1+4k2， 即M23-83k21+4k2,43k1+4k2. 設直線AN的斜率為k，則kk=-14，即k=-14k，把點M坐標中k的替換為-14k，得. 當?shù)臋M坐標不相等，即時，，直線的方程為，即，該直線恒過定點. 當時，、的橫坐標為零，直線也過定點. 綜上可知，直線過定點. 【點睛】圓錐曲線中的定點、定值問題是考查的重點，一般難度較大，計算較復雜，考查較強的分析能力和計算能力.求定值問題常見的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個定值與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.解題時，要將問題合理的進行轉化，轉化成易于計算的方向.