新編數(shù)學北師大版精品資料【成才之路】高中數(shù)學 第1章 4數(shù)學歸納法課時作業(yè) 北師大版選修2-2一、選擇題1用數(shù)學歸納法證明等式123(n3)(nN)時，驗證n1時，左邊應取的項是()A1B12C123 D1234答案D2如果1×2×32×3×43×4×5n(n1)·(n2)n(n1)(na)(nb)對一切正整數(shù)n都成立，則a，b的值應該等于()Aa1，b3 Ba1，b1Ca1，b2 Da2，b3答案D解析當n1時，上式可化為abab11；當n2時，上式可化為ab2(ab)16.由可得ab5，ab6，驗證可知只有選項D適合3(2014·揭陽一中高二期中)用數(shù)學歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用歸納假設證nk1時的情況，只需展開()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3答案A解析因為從nk到nk1的過渡，增加了(k3)3，減少了k3，故利用歸納假設，只需將(k3)3展開，證明余下的項9k227k27能被9整除4某個命題與正整數(shù)n有關，若nk(kN*)時該命題成立，那么可推知nk1時該命題也成立，現(xiàn)已知當n5時該命題不成立，那么可推得()A當n6時該命題不成立B當n6時該命題成立C當n4時該命題不成立D當n4時該命題成立答案C解析若原命題正確，則其逆否命題正確，所以若nk(kN*)時該命題成立，那么可推得nk1時該命題也成立，可推得若nk1時命題不成立可推得nk(kN*)時命題不成立，所以答案為C5(2014·合肥一六八中高二期中)觀察下列各式：已知ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則歸納猜測a7b7()A26 B27C28 D29答案D解析觀察發(fā)現(xiàn)，134,347,4711,71118,111829，a7b729.二、填空題6(2014·吉林長春一模，13)用數(shù)學歸納法證明等式123(2n1)(n1)(2n1)時，當n1時左邊表達式是_；從kk1需增添的項是_答案123；4k5(或(2k2)(2k3)解析因為用數(shù)學歸納法證明等式123(2n1)(n1)(2n1)時，當n1時，2n13，所以左邊表達式是123；從kk1需增添的項的是4k5或(2k2)(2k3)7使|n25n5|1不成立的最小的正整數(shù)是_答案5解析從n1,2,3,4,5，取值逐個驗證即可8凸k邊形有f(k)條對角線，則凸k1邊形的對角線條數(shù)f(k1)f(k)_.答案k1解析設原凸k邊形的頂點為A1，A2，Ak，增加一個頂點Ak1，增加Ak1與A2、A3，Ak1共k2條再加上A1與Ak的一條連線共k1條三、解答題9數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*)(1)計算a1，a2，a3，并猜想an的通項公式；(2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想解析(1)當n1時，a1S12a1，a11；當n2時，a1a2S22×2a2，a2；當n3時，a1a2a3S32×3a3，a3.由此猜想an(nN*)(2)證明：當n1時，a11結論成立，假設nk(k1，且kN*)時結論成立，即ak，當nk1時，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12akak1，當nk1時結論成立，于是對于一切的自然數(shù)nN*，an成立10求證：>(n2，nN)證明(1)當n2時，左邊>，不等式成立(2)假設當nk(k2，kN)時不等式成立，即>，則當nk1時，>>.所以當nk1時不等式也成立由(1)(2)可知原不等式對一切n(n2，nN)都成立.一、選擇題1(2014·秦安縣西川中學高二期中)用數(shù)學歸納法證明1aa2an1(nN*，a1)，在驗證n1時，左邊所得的項為()A1 B1aa2C1a D1aa2a3答案B解析因為當n1時，an1a2，所以此時式子左邊1aa2.故應選B.2(2014·衡水一模，6)利用數(shù)學歸納法證明不等式1<f(n)(n2，nN)的過程，由nk到nk1時，左邊增加了()A1項 Bk項C2k1項 D2k項答案D解析1(1)，共增加了2k項3設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是()A若f(1)1成立，則f(10)100成立B若f(2)4成立，則f(1)1成立C若f(3)9成立，則當k1時，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，則當k4時，均有f(k)k2成立答案D解析對于A，因為“原命題成立，否命題不一定成立”，所以若f(1)1成立，則f(10)100不一定成立；對于B，因為“原命題成立，則逆否命題一定成立”，所以只能得出：若f(2)4成立，則f(1)1成立，不能得出：若f(2)4成立，則f(1)1成立；對于C，當k1或2時，不一定有f(k)k2成立；對于D，因為f(4)2516，所以對于任意的k4，均有f(k)k2成立故選D.4(2014·湖北重點中學高二期中聯(lián)考)用數(shù)學歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n·1·3(2n1)(nN*)時，從“nk到nk1”左邊需增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C D答案B解析nk時，等式為(k1)(k2)(kk)2k·1·3··(2k1)，nk1時，等式左邊為(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(2k)·(2k1)·(2k2)，右邊為2k1·1·3··(2k1)(2k1)左邊需增乘2(2k1)，故選B.二、填空題5設f(n)1(nN)，那么f(n1)f(n)_.答案解析f(n1)1，f(n1)f(n).6若不等式對nN*都成立，則正整數(shù)m的最大值為_答案11解析設f(n)，f(n1)f(n)()f(n)f(n)，f(n1)f(n)f(1)，m11.三、解答題7用數(shù)學歸納法證明：1.證明當n1時，左邊1右邊，當n1時，等式成立假設nk時等式成立，即1.則當nk1時，左邊1()()()右邊nk1時等式成立由知等式對任意nN都成立點評在利用歸納假設論證nk1等式成立時，注意分析nk與nk1的兩個等式的差別nk1時，等式左邊增加兩項，右邊增加一項，而且右式的首項由變到.因此在證明中，右式中的應與合并，才能得到所證式因此，在論證之前，把nk1時等式的左右兩邊的結構先作一下分析是有效的8已知函數(shù)f(x)(x0)設數(shù)列an滿足a11，an1f(an)，數(shù)列bn滿足bn|an|，用數(shù)學歸納法證明：bn.證明當x0時，f(x)1>1.因為a11，所以an1(nN)下面用數(shù)學歸納法證明不等式bn.(1)當n1時，b11，不等式成立(2)假設當nk(k1)時，不等式成立即bk，那么bk1|ak1|bk.所以，當nk1時，不等式也成立根據(jù)(1)和(2)，可知不等式對任意nN都成立