新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料活頁(yè)作業(yè)(四)數(shù)學(xué)歸納法1用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對(duì)于nn0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2B3C5D6解析：當(dāng)n取1,2,3,4時(shí)2nn21不成立，當(dāng)n5時(shí)，253252126，第一個(gè)能使2nn21的n值為5.答案：C2用數(shù)學(xué)歸納法證明1n(nN，n1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A12B12C13D13解析：n1且nN，n取的第一個(gè)值n02.第一步應(yīng)驗(yàn)證：12.答案：B3設(shè)Sk，則Sk1為()ASkBSkCSkDSk解析：Sk1SkSk.答案：C4若f(n)1(nN)，則n1時(shí)f(n)是()A1BC1D以上答案均不正確解析：f(n)共有2n1項(xiàng)，當(dāng)n1時(shí)有213項(xiàng)，即f(1)1.答案：C5已知f(n)，則()Af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)解析：觀察分母的首項(xiàng)為n，最后一項(xiàng)為n2，公差為1，項(xiàng)數(shù)為n2n1.答案：D6用數(shù)學(xué)歸納法證明等式123(n3)(nN)時(shí)，第一步驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)為_(kāi)解析：當(dāng)n1時(shí)，左邊要從1加到n3，即1234.答案：12347已知每項(xiàng)都大于零的數(shù)列an中，首項(xiàng)a11，前n項(xiàng)和Sn滿足SnSn12(n2)，則a81_.解析：SnSn12，S1a11，S29，S325，Sn(2n1)2.利用數(shù)學(xué)歸納法可證明Sn(2n1)2.a81S81S80640.答案：6408已知f(n)1，nN，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)時(shí)，f(2n1)f(2n)_.解析：f(n)有n項(xiàng)，最后一項(xiàng)為，f(2n)有2n項(xiàng)，最后一項(xiàng)為，f(2n1)有2n1項(xiàng)，最后一項(xiàng)為，f(2n1)比f(wàn)(2n)多出的項(xiàng)為.答案：9設(shè)a0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN.(1)寫(xiě)出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論(1)解：因?yàn)閍11，所以a2f(a1)f(1)，a3f(a2)，a4f(a3).猜想an(nN)(2)證明：易知，當(dāng)n1時(shí)，由猜想知正確假設(shè)當(dāng)nk時(shí)正確，即ak，則ak1f(ak).這說(shuō)明，當(dāng)nk1時(shí)也正確由，可知對(duì)于任何nN，都有an.10試比較2n2與n2的大小(nN)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解：當(dāng)n1時(shí)，212412，當(dāng)n2時(shí)，222622，當(dāng)n3時(shí)，2321032，當(dāng)n4時(shí)，2421842，由此可以猜想，2n2n2(nN)成立用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊2124，右邊1，左邊右邊，不等式成立當(dāng)n2時(shí)，左邊2226，右邊224，左邊右邊，不等式成立當(dāng)n3時(shí)，左邊23210，右邊329，左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k3且kN)時(shí)，不等式成立，即2k2k2，那么當(dāng)nk1時(shí)，2k1222k22(2k2)22k22.要證當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立，只需證2k22(k1)2，即證k22k30，即證(k1)(k3)0.又k10，k30，(k1)(k3)0.當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由(1)和(2)，可知nN時(shí)，2n2n2.11用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除時(shí)，當(dāng)nk1時(shí)，對(duì)于34(k1)152(k1)1可變形為()A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)解析：當(dāng)nk時(shí)，34k152k1可被8整除；當(dāng)nk1時(shí)，34(k1)152(k1)134k13452k1525634k125(34k152k1)答案：A12平面幾何中，有邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和為定值a，類比上述命題棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為()AaBaCaDa解析：利用等體積法，四面體內(nèi)一點(diǎn)和四個(gè)頂點(diǎn)連線將四面體分成四個(gè)四面體，這四個(gè)四面體體積之和等于大的四面體體積答案：B13用數(shù)學(xué)歸納法證明135(1)n(2n1)(1)nn時(shí)，第二步中nk1時(shí)，要證明的式子應(yīng)為_(kāi).解析：當(dāng)nk1時(shí)，左邊135(1)k12(k1)1135(1)k1(2k1)答案：135(1)k1(2k1)(1)k1(k1)14設(shè)f(n)n3(n1)3(n2)3(nN)，則用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被9整除的過(guò)程中，f(k1)f(k)_.解析：f(k1)(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k39k227k27f(k)9k227k27.答案：9k227k2715由下列不等式：1，11,1，12，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明解：猜想第n個(gè)不等式，即一般不等式為：1(nN)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，1，猜想成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，猜想成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，1.即當(dāng)nk1時(shí)，猜想也正確，所以對(duì)任意的nN，不等式成立16一種計(jì)算裝置，有一數(shù)據(jù)入口A和一個(gè)運(yùn)算出口B，按照某種運(yùn)算程序：當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時(shí)，從B口得到，記為f(1)；當(dāng)從A口輸入自然數(shù)n(n2)時(shí)，在B口得到的結(jié)果f(n)是前一個(gè)結(jié)果f(n1)的倍(1)當(dāng)從A口分別輸入自然數(shù)2,3,4時(shí)，從B口分別得到什么數(shù)？試猜想f(n)的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論；(2)記Sn為數(shù)列f(n)的前n項(xiàng)和，當(dāng)從B口得到16 192 575的倒數(shù)時(shí)，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的Sn的值解：(1)由已知得f(n)f(n1)(n2，nN)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)f(1)，同理可得f(3)，f(4)，猜想f(n).(*)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n1,2,3,4時(shí)，由上面的計(jì)算結(jié)果知(*)成立假設(shè)nk(k4，kN)時(shí)，(*)成立，即f(k)，那么當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)f(k)，即f(k1)，當(dāng)nk1時(shí)，(*)也成立綜合所述，對(duì)所有的nN，f(n)恒成立(2)由(1)可得，n2 012.f(n)，S2 012.