新編數(shù)學北師大版精品資料第三章3.1第2課時 橢圓的簡單性質一、選擇題1已知橢圓的焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍且經(jīng)過定點M(3,0)，則橢圓的方程為()Ay21B1Cy21或1Dx21答案C解析(1)當焦點在x軸上時，由題意可知，a3，b1，此時橢圓的方程為y21.(2)當焦點在y軸上時，設橢圓的方程為1(a>b>0)，橢圓過點M(3,0)，得b3，a9，此時橢圓的方程為1.2若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()ABCD答案B解析本題考查了離心率的求法，這種題目主要是設法把條件轉化為含a，b，c的方程式，消去b得到關于e的方程，由題意得：4b2(ac)4b2(ac)23a22ac5c205e22e30(兩邊都除以a2)e或e1(舍)，故選B3(2014濰坊二中調(diào)研)如果方程1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是()A(3，)B(，2)C(3，)(，2)D(3，)(6，2)答案D解析由于橢圓的焦點在x軸上，所以即解得a>3或6<a<2，故選D4設F1、F2是橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點，P為直線x上一點，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為()ABCD答案C解析本題考查了橢圓的定義，幾何性質及離心率的求法F2PF1是底角為30的等腰三角形|PF2|F2F1|2(ac)2ce.注意數(shù)形結合思想是解析幾何的核心5橢圓1與1(0<k<9)的關系為()A有相等的長、短軸B有相等的焦距C有相同的焦點Dx，y有相同的取值范圍答案B解析0<k<9，0<9k<9,16<25k<25，25k9k16，故兩橢圓有相等的焦距6某宇宙飛船的運行軌道是以地球中心為焦點的橢圓，近地點A距地面m千米，遠地點B距離地面n千米，地球半徑為k千米，則飛船運行軌道的短軸長為()A2BCmnD2mn答案A解析由題意可得acmk，acnk，故(ac)(ac)(mk)(nk)即a2c2b2(mk)(nk)，所以b，所以橢圓的短軸長為2，故選A二、填空題7在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且ABF2的周長為16，那么C的方程為_答案1解析本題主要考查橢圓的定義及幾何性質依題意：4a16，即a4，又e，c2，b28.橢圓C的方程為1.8以正方形ABCD的相對頂點A，C為焦點的橢圓，恰好過正方形四邊的中點，則該橢圓的離心率為_答案解析如圖所示，假設正方形邊長為m，則cm，設橢圓與正方形在第一象限的交點為M，則M點坐標為，由M在橢圓上，所以1，又m22c2，化簡得c46a2c24a40，方程兩邊同除a4得：e46e240，解得e23，e.三、解答題9已知橢圓1(ab0)的離心率e，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.求橢圓的方程分析本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù)形結合的思想，考查運算能力和推理能力解析由e，得3a24c2，再由c2a2b2，得a2B由題意可知2a2b4，即ab2.解方程組得a2，b1，所以橢圓的方程為y21.10設橢圓C：1(a>b>0)過點(0,4)，離心率為.(1)求C的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標解析(1)將(0,4)代入C的方程得1，b4，又由e得，即1，a5，C的方程為1.(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y(x3)設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，x1x23，AB的中點坐標，(x1x26)，即中點為(，)一、選擇題1(2014全國大綱理)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點，若AF1B的周長為4，則C的方程為()A1By21C1D1答案A解析本題考查了橢圓的定義，離心率的計算，根據(jù)條件可知，且4a4，a，b22，故橢圓的方程為1.2橢圓1(a>b>0)的左、右頂點分別是A、B，左、右焦點分別是F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為()ABCD2答案B解析A、B分別為左右頂點，F(xiàn)1、F2分別為左右焦點，|AF1|ac，|F1F2|2c，|BF1|ac，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比數(shù)列得(ac)(ac)4c2，即a25c2，所以離心率e.3我們把離心率等于黃金比的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”設1(a>b>0)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它的左焦點和右頂點，B是它的短軸的一個端點，則ABF等于()A60B75C90D120答案C解析cosABF0ABF90，選C4若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為()A2B3C6D8答案C解析由題意，得F(1,0)，設點P(x0，y0)，則y3(1)(2x02)，所以x0(x01)yxx0yxx03(1)(x02)22，所以當x02時，取得最大值6.二、填空題5若橢圓1的離心率為，則k_.答案或1解析當焦點在x軸上時，a2k4，b24，c2k，e，即，k，當焦點在y軸上時，a24，b2k4，c2k，e，即，k1.綜上可知，k或k1.6橢圓1的左焦點為F，直線xm與橢圓相交于點A、B當FAB的周長最大時，F(xiàn)AB的面積是_答案3解析如圖，當直線xm，過右焦點(1,0)時，F(xiàn)AB的周長最大，由解得y，|AB|3.S323.三、解答題7如圖，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，F(xiàn)1AF260.(1)求橢圓C的離心率；(2)已知AF1B的面積為40，求a，b的值解析(1)由題意可知，AF1F2為等邊三角形，a2c，所以e.(2)a24c2，b23c2，直線AB的方程可為：y(xc)將其代入橢圓方程3x24y212c2，得B(c，c)所以|AB|c0|C由SAF1B|AF1|AB|sinF1ABaca240，解得a10，b5.8(2014江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓1(a>b>0)的左、右焦點，頂點B的坐標為(0，b)，連結BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結F1C(1)若點C的坐標為(，)，且BF2，求橢圓的方程；(2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值解析(1)由題意，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)，|BF2|a，又C(，)，1，解得b1.橢圓方程為y21.(2)直線BF2方程為1，與橢圓方程1聯(lián)立方程組，解得A點方程為(，b)，則C點坐標為(，b)，kF1C，又kAB，由F1CAB得()1，即b43a2c2c4，(a2c2)23a2c2c4，化簡得e.