新編數(shù)學北師大版精品資料第二章2.4用向量討論垂直與平行一、選擇題1若平面，的一個法向量分別為(1,2,4)，(x，1，2)，并且，則x的值為()ABC10D10答案D解析，它們的法向量也互相垂直，(1,2,4)(x，1，2)0，解得x10，故選D2(2014四川省成都七中期末)已知直線l過點P(1,0，1)且平行于向量a(2,1,1)，平面過直線l與點M(1,2,3)，則平面的法向量不可能是()A(1，4,2)B(，1，)C(，1，)D(0，1,1)答案D解析因為(0,2,4)，直線l平行于向量a，若n是平面的法向量，則必須滿足，把選項代入驗證，只有選項D不滿足，故選D3在如圖所示的坐標系中，ABCDA1B1C1D1為正方體，給出下列結論：直線DD1的一個方向向量為(0,0,1)直線BC1的一個方向向量為(0,1,1)平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0)平面B1CD的一個法向量為(1,1,1)其中正確的個數(shù)為()A1個B2個C3個D4個答案C解析DD1AA1，(0,0,1)；BC1AD1，(0,1,1)，直線AD平面ABB1A1，(0,1,0)；C1點坐標為(1,1,1)，與平面B1CD不垂直，錯4已知平面內(nèi)有一點A(2，1,2)，它的一個法向量為n(3,1,2)，則下列點P中，在平面內(nèi)的是()A(1，1,1)B(1,3，)C(1，3，)D(1,3，)答案B解析要判斷點P是否在平面內(nèi)，只需判斷向量與平面的法向量n是否垂直，即判斷n是否為0即可，因此，要對各個選項進行逐個檢驗對于選項A，(1,0,1)，則n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；對于選項B，(1，4，)，則n(1，4，)(3,1,2)0，故選B5已知直線l1的方向向量a(2,4，x)，直線l2的方向向量為b(2，y,4)，且l1l2，則xy()A1B1C0D無法確定答案A解析l1l2，ab，ab0，44y4x0，即xy1.6若直線l的方向向量為a(1,1,1)，向量b(1，1,0)和向量c(0,1，1)所在的直線都與平面平行，則()AlBlClD以上都不對答案A解析(1,1,1)(1，1,0)0，(1,1,1)(0,1，1)0，ab，ac，又b與c不平行且b、c所在的直線都與平面平行，l.二、填空題7已知a(x,2，4)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a，b，c兩兩垂直，則實數(shù)x_，y_，z_.答案642617解析因為a，b，c兩兩垂直，所以abbcca0，即，解得.8已知空間三點A(0,0,1)，B(1,1,1)，C(1,2，3)，若直線AB上一點M，滿足CMAB，則點M的坐標為_答案(，1)解析設M(x，y，z)，又(1,1,0)，(x，y，z1)，(x1，y2，z3)，由題意得x，y，z1，點M的坐標為(，1)三、解答題9如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中點，作EFPB于點F.(1)證明PA平面EDB；(2)證明PB平面EFD證明如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設DCA(1)連接AC、AC交BD于G，ABCD為正方形，G為AC中點，連接EG.簡解：又E為PC中點PAGE又GE平面BDE，PA平面BDEPA平面BDE(2)依題意，得B(a，a,0)，P(0,0，a)，E(0，)(a，a，a)又(0，)，故00.PBDE.又EFPB，且EFDEE.PB平面EFD10如圖， 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為2，側棱長為4，E、F分別是棱AB、BC的中點，EFBDG.求證：平面B1EF平面BDD1B1.證明以D為原點，DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，由題意知：D(0,0,0)，B1(2，2，4)，E(2，0)，F(xiàn)(，2，0)，(0，4)，(，0)設平面B1EF的一個法向量為n(x，y，z)則ny4z0，nxy0.解得xy，zy，令y1得n(1,1，)，又平面BDD1B1的一個法向量為(2，2，0)，而n1(2)12()00，即n.平面B1EF平面BDD1B1.一、選擇題1如圖，已知ADB和ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，且ADBDCD，BAC60，E為AC的中點，那么以下向量為平面ACD的法向量的是()ABCD答案B解析方法一：判斷平面ACD的法向量，可以從平面ACD中找出，中的兩個向量，分別與選項中的向量求數(shù)量積，判斷垂直而得方法二：直接利用已知邊角關系判斷線面垂直設AD1，則BDCD1.因為ADB和ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，所以ABAC.又因為BAC60，所以BC.所以BCD也是直角三角形，且BDCD，從而可得BD平面ACD2已知a(1,2，y)，b(x,1,2)，且(a2b)(2ab)，則()Ax，y1Bx，y4Cx2，yDx1，y1答案B解析a2b(2x1,4,4y)，2ab(2x,3，2y2)，(a2b)(2ab)，3若直線l1，l2的方向向量分別為a(1,2，2)，b(2，3,2)，則()Al1l2Bl1l2Cl1，l2相交但不垂直Dl1，l2的關系不能確定答案B解析ab1(2)23(2)20，aBl1l2.4已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的一個單位法向量是()A(，)B(，)C(，)D(，)答案D解析(1,1,0)，(1,0,1)，(0，1,1)設平面ABC的一個單位法向量為u(x，y，z)，則u0，u0，得x，y，z之間的關系，且x2y2z21，求值即可二、填空題5已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)對于結論：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正確的是_答案解析2(1)(1)2(4)(1)2240，則.4(1)2200，則，A，平面ABCD，故是平面ABCD的一個法向量6如圖，已知矩形ABCD，PAAB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQQD，則a的值等于_答案2解析先建立如圖所示的空間直角坐標系，設|b，則A(0,0,0)，Q(1，b,0)，P(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，所以(1，b，1)，(1，ab,0)，b2ab10.b只有一解，0，可得a2.三、解答題7如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD中點(1)求證：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由證明(1)以A為原點，、的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖)設ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E(，1,0)，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(，1，1)，(a,0,1)，(，1,0)011(1)10，B1E AD1.(2)假設在棱AA1上存在一點P(0,0，z0)，使得DP平面B1AE.此時(0，1，z0)又設平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n ，n，得取x1，得平面B1AE的一個法向量n(1，a)要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在點P，滿足DP平面B1AE，此時AP.8在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱DD1上是否存在點P，使得平面APC1平面ACC1？證明你的結論解析假設點P存在，以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體邊長為a，DPm(0ma)，則由正方體的性質知，CC1BD，ACBD，CC1ACC，BD平面ACC1，因此，(a，a,0)是平面ACC1的一個法向量平面APC1平面ACC1，在平面APC1內(nèi)或與平面APC1平行，存在實數(shù)x與y，使得xy.(a，a，a)，(a,0，m)，解得.點P存在，且當點P為DD1的中點時，平面APC1平面ACC1.